En teoría matemática de grupos , el multiplicador de Schur o multiplicador de Schur es el segundo grupo de homología de un grupo G . Fue introducido por Issai Schur ( 1904 ) en su trabajo sobre representaciones proyectivas .
Ejemplos y propiedades
El multiplicador de Schur de un grupo finito G es un finito grupo abeliano cuyo exponente divide el orden de G . Si un Sylow p -subgroup de G es cíclico por alguna p , entonces el orden deno es divisible por p . En particular, si todo Sylow p -subgroups de G son cíclicos, entonces es trivial.
Por ejemplo, el multiplicador de Schur del grupo no beliano de orden 6 es el grupo trivial ya que cada subgrupo de Sylow es cíclico. El multiplicador de Schur del grupo abeliano elemental de orden 16 es un grupo abeliano elemental de orden 64, lo que muestra que el multiplicador puede ser estrictamente mayor que el grupo mismo. El multiplicador de Schur del grupo de cuaterniones es trivial, pero el multiplicador de Schur de 2 grupos diédricos tiene orden 2.
Los multiplicadores de Schur de los grupos simples finitos se dan en la lista de grupos simples finitos . Los grupos de cobertura de los grupos alternos y simétricos son de considerable interés reciente.
Relación con representaciones proyectivas
La motivación original de Schur para estudiar el multiplicador era clasificar las representaciones proyectivas de un grupo, y la formulación moderna de su definición es el segundo grupo de cohomología. . Una representación proyectiva es muy parecida a una representación de grupo, excepto que en lugar de un homomorfismo en el grupo lineal general , se toma un homomorfismo en el grupo lineal general proyectivo . En otras palabras, una representación proyectiva es una representación módulo el centro .
Schur ( 1904 , 1907 ) mostró que cada grupo finito G ha asociado al mismo al menos un grupo finito C , llamado cubierta de Schur , con el propiedad de que cada representación proyectiva de G puede ser levantado a una representación ordinaria de C . La portada de Schur también se conoce como grupo de cobertura o Darstellungsgruppe . Se conocen las cubiertas de Schur de los grupos simples finitos , y cada una es un ejemplo de un grupo cuasimple . La cobertura de Schur de un grupo perfecto está determinada de forma única hasta el isomorfismo, pero la cobertura de Schur de un grupo finito general sólo se determina hasta el isoclinismo .
Relación con las extensiones centrales
El estudio de tales grupos de cobertura condujo naturalmente al estudio de las extensiones centrales y del tallo .
Una extensión central de un grupo G es una extensión
dónde es un subgrupo de la centro de C .
Una extensión del tallo de un grupo G es una extensión
dónde es un subgrupo de la intersección del centro de C y el subgrupo derivado de C ; esto es más restrictivo que central. [1]
Si el grupo G es finito y sólo se considera vástago extensiones, a continuación, hay un tamaño más grande para un tal grupo C , y por cada C de ese tamaño del subgrupo K es isomorfo al multiplicador Schur de G . Si el grupo finito G es además perfecto , entonces C es único hasta el isomorfismo y es él mismo perfecto. Tales C a menudo se denominan extensiones centrales perfectas universales de G , o grupo de cobertura (ya que es un análogo discreto del espacio de cobertura universal en topología). Si el grupo finito G no es perfecto, entonces sus grupos de cobertura de Schur (todos los C de orden máximo) son solo isoclínicos .
También se le llama más brevemente una extensión central universal , pero tenga en cuenta que no hay una extensión central más grande, ya que el producto directo de G y un grupo abeliano forman una extensión central de G de tamaño arbitrario.
Stem extensiones tienen la propiedad agradable que cualquier elevación de un grupo electrógeno de G es un grupo electrógeno de C . Si el grupo G se presenta en términos de un grupo libre F en un conjunto de generadores, y un subgrupo normal R generado por un conjunto de relaciones en los generadores, entonces, entonces el grupo de cobertura en sí puede presentarse en términos de F pero con un subgrupo normal más pequeño S , es decir,. Dado que las relaciones de G especifican elementos de K cuando se consideran parte de C , uno debe tener.
De hecho, si G es perfecto, esto es todo lo que se necesita: C ≅ [ F , F ] / [ F , R ] y M ( G ) ≅ K ≅ R / [ F , R ]. Debido a esta simplicidad, exposiciones como ( Aschbacher 2000 , §33) manejan primero el caso perfecto. El caso general para el multiplicador de Schur es similar pero asegura que la extensión es una extensión de la raíz al restringir al subgrupo derivado de F : M ( G ) ≅ ( R ∩ [ F , F ]) / [ F , R ]. Todos estos son resultados ligeramente posteriores de Schur, quien también dio una serie de criterios útiles para calcularlos de manera más explícita.
Relación con presentaciones eficientes
En la teoría combinatoria de grupos , un grupo a menudo se origina a partir de una presentación . Un tema importante en esta área de las matemáticas es estudiar presentaciones con la menor cantidad de relaciones posible, como los grupos de un relator como los grupos Baumslag-Solitar . Estos grupos son grupos infinitos con dos generadores y una relación, y un resultado antiguo de Schreier muestra que en cualquier presentación con más generadores que relaciones, el grupo resultante es infinito. El caso límite es, por tanto, bastante interesante: se dice que los grupos finitos con el mismo número de generadores que relaciones tienen una deficiencia cero. Para que un grupo tenga deficiencia cero, el grupo debe tener un multiplicador de Schur trivial porque el número mínimo de generadores del multiplicador de Schur es siempre menor o igual a la diferencia entre el número de relaciones y el número de generadores, que es el negativo. deficiencia. Un grupo eficiente es aquel en el que el multiplicador de Schur requiere este número de generadores. [2]
Un tema de investigación bastante reciente es encontrar presentaciones eficientes para todos los grupos finitos simples con multiplicadores de Schur triviales. Estas presentaciones son agradables en cierto sentido porque suelen ser breves, pero es difícil encontrarlas y trabajar con ellas porque no se adaptan bien a métodos estándar como la enumeración de clases laterales .
Relación con la topología
En topología , los grupos a menudo pueden ser descritos como finitamente presentados grupos y una cuestión fundamental es calcular su homología integral. En particular, la segunda homología juega un papel especial y esto llevó a Heinz Hopf a encontrar un método eficaz para calcularla. El método en ( Hopf 1942 ) también se conoce como fórmula de homología integral de Hopf y es idéntico a la fórmula de Schur para el multiplicador de Schur de un grupo finito:
dónde y F es un grupo libre. La misma fórmula también se aplica cuando G es un grupo perfecto. [3]
El reconocimiento de que estas fórmulas eran las mismas llevó a Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane a la creación de una cohomología de grupos . En general,
donde la estrella denota el grupo dual algebraico. Además, cuando G es finito, hay un isomorfismo antinatural
La fórmula de Hopf para se ha generalizado a dimensiones superiores. Para conocer un enfoque y referencias, consulte el artículo de Everaert, Gran y Van der Linden que se enumeran a continuación.
Un grupo perfecto es aquel cuya primera homología integral desaparece. Un grupo superperfecto es aquel cuyos dos primeros grupos de homología integral desaparecen. Las cubiertas de Schur de grupos finitos perfectos son superperfectas. Un grupo acíclico es un grupo cuya homología integral reducida desaparece.
Aplicaciones
El segundo grupo K algebraico K 2 ( R ) de un anillo conmutativo R se puede identificar con el segundo grupo de homología H 2 ( E ( R ), Z ) del grupo E ( R ) de matrices elementales (infinitas) con entradas en R . [4]
Ver también
- Grupo quasisimple
Las referencias de Clair Miller dan otra visión del multiplicador de Schur como el núcleo de un morfismo κ: G ∧ G → G inducido por el mapa del conmutador.
Notas
- ^ Rotman 1994 , p. 553
- ^ Johnson y Robertson 1979 , págs. 275-289
- ^ Rosenberg 1994 , Teoremas 4.1.3, 4.1.19
- ^ Rosenberg 1994 , Corolario 4.2.10
Referencias
- Aschbacher, Michael (2000), teoría de grupos finitos , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 10 (2a ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-78145-9, MR 1777008 , Zbl 0.997,20001
- Hopf, Heinz (1942), "Fundamentalgruppe und zweite Bettische Gruppe", Commentarii Mathematici Helvetici , 14 : 257–309, doi : 10.1007 / BF02565622 , ISSN 0010-2571 , MR 0006510 , Zbl 0027.09503
- Johnson, David Lawrence; Robertson, Edmund Frederick (1979), "Grupos finitos de deficiencia cero", en Wall, CTC (ed.), Homological Group Theory , London Mathematical Society Lecture Note Series, 36 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-22729-2, Zbl 0423.20029
- Kuzmin, Leonid Viktorovich (2001) [1994], "Multiplicador Schur" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Rosenberg, Jonathan (1994), Teoría K algebraica y sus aplicaciones , Textos de posgrado en matemáticas , 147 , Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94248-3, MR 1282290 , Zbl 0801.19001 ErrataCS1 maint: posdata ( enlace )
- Rotman, Joseph J. (1994), Introducción a la teoría de grupos , Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94285-8
- Schur, Issai (1904), "Über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen". , Journal für die reine und angewandte Mathematik (en alemán), 127 : 20–50, ISSN 0075-4102 , JFM 35.0155.01
- Schur, Issai (1907), "Untersuchungen über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen". , Journal für die reine und angewandte Mathematik (en alemán), 1907 (132): 85-137, doi : 10.1515 / crll.1907.132.85 , ISSN 0075-4102 , JFM 38.0174.02
- Van der Kallen, Wilberd (1984), "Revisión: F. Rudolf Beyl y Jürgen Tappe, extensiones de grupo, representaciones y el multiplicador de Schur" , Boletín de la American Mathematical Society , 10 (2): 330-3, doi : 10.1090 / s0273-0979-1984-15273-x
- Wiegold, James (1982), "El multiplicador de Schur: un enfoque elemental", Groups – St. Andrews 1981 (St. Andrews, 1981) , London Math. Soc. Lecture Note Ser., 71 , Cambridge University Press , págs. 137-154, MR 0679156 , Zbl 0502.20003
- Miller, Clair (1952), "La segunda homología de un grupo", Proc. Amer. Matemáticas. Soc. , 3 (4): 588–595, doi : 10.1090 / s0002-9939-1952-0049191-5 , Zbl 0047.25703
- Dennis, RK (1976), En busca de nuevos functores de "homología" que tengan una relación cercana con la teoría K , Universidad de Cornell
- Brown, R .; Johnson, DL; Robertson, EF (1987), "Algunos cálculos de productos tensoriales no abelianos de grupos", J. Algebra , 111 : 177-202, doi : 10.1016 / 0021-8693 (87) 90248-1 , Zbl 0626.20038
- Ellis, GJ; Leonard, F. (1995), "Computación de multiplicadores de Schur y productos tensoriales de grupos finitos", Actas de la Real Academia Irlandesa , 95A (2): 137-147, ISSN 0035-8975 , JSTOR 20490165 , Zbl 0863.20010
- Ellis, GJ (1998), "El multiplicador de Schur de un par de grupos", Appl. Categ. Struct. , 6 (3): 355–371, doi : 10.1023 / A: 1008652316165 , Zbl 0948.20026
- Eick, Bettina; Nickel, Werner (2008), "Calcular el multiplicador de Schur y el tensor cuadrado no beliano de un grupo policíclico", J. Algebra , 320 (2): 927–944, doi : 10.1016 / j.jalgebra.2008.02.041 , Zbl 1163.20022
- Everaert, Tomas; Gran, Marino; Van der Linden, Tim (2008), "Fórmulas de Hopf superiores para la homología a través de la teoría de Galois", Adv. Matemáticas. , 217 (5): 2231–67, arXiv : math / 0701815 , doi : 10.1016 / j.aim.2007.11.001 , Zbl 1140.18012