En matemáticas , la dimensión de empaquetamiento es uno de varios conceptos que se pueden usar para definir la dimensión de un subconjunto de un espacio métrico . La dimensión de empaque es en cierto sentido dual a la dimensión de Hausdorff , ya que la dimensión de empaque se construye "empaquetando" pequeñas bolas abiertas dentro del subconjunto dado, mientras que la dimensión de Hausdorff se construye cubriendo el subconjunto dado por tales pequeñas bolas abiertas. La dimensión de empaque fue introducida por C. Tricot Jr. en 1982.
Definiciones
Sea ( X , d ) un espacio métrico con un subconjunto S ⊆ X y sea s ≥ 0 un número real. La premedida de empaquetamiento s -dimensional de S se define como
Desafortunadamente, esto es solo una medida previa y no una medida verdadera en subconjuntos de X , como se puede ver al considerar subconjuntos densos y contables . Sin embargo, la medida previa conduce a una medida de buena fe : la medida de empaquetamiento s -dimensional de S se define como
es decir, la medida de embalaje de S es el infimum de la empaquetadura pre-medidas de las tapas contables de S .
Una vez hecho esto, la dimensión de empaquetamiento dim P ( S ) de S se define de forma análoga a la dimensión de Hausdorff:
Un ejemplo
El siguiente ejemplo es la situación más simple en la que Hausdorff y las dimensiones del empaque pueden diferir.
Arreglar una secuencia tal que y . Definir inductivamente una secuencia anidada de subconjuntos compactos de la línea real de la siguiente manera: Sea . Para cada componente conectado de (que será necesariamente un intervalo de longitud ), elimine el intervalo medio de longitud , obteniendo dos intervalos de longitud , que se tomarán como componentes conectados de . A continuación, defina. Luegoes topológicamente un conjunto Cantor (es decir, un espacio perfecto compacto totalmente desconectado). Por ejemplo, será el conjunto habitual de Cantor de tercios medios si .
Es posible demostrar que el Hausdorff y las dimensiones de embalaje del conjunto se dan respectivamente por:
Se deduce fácilmente que los números dados , se puede elegir una secuencia como el anterior, de modo que el conjunto Cantor asociado (topológico) tiene dimensión de Hausdorff y dimensión de embalaje .
Generalizaciones
Se pueden considerar funciones de dimensión más generales que "diámetro a la s ": para cualquier función h : [0, + ∞) → [0, + ∞], sea la premedida de empaquetamiento de S con la función de dimensión h dada por
y defina la medida de empaque de S con la función de dimensión h por
Se dice que la función h es una función de dimensión exacta ( empaquetamiento ) para S si P h ( S ) es tanto finito como estrictamente positivo.
Propiedades
- Si S es un subconjunto del espacio euclidiano n- dimensional R n con su métrica habitual, entonces la dimensión de empaquetamiento de S es igual a la dimensión de caja modificada superior de S : Este resultado es interesante porque muestra cómo una dimensión derivada de una medida (dimensión de empaque) concuerda con una derivada sin usar una medida (la dimensión de caja modificada).
Sin embargo, tenga en cuenta que la dimensión del embalaje no es igual a la dimensión de la caja. Por ejemplo, el conjunto de racionales Q tiene una dimensión de caja uno y una dimensión de embalaje cero.
Ver también
Referencias
- Tricot, Jr., Claude (1982). "Dos definiciones de dimensión fraccionaria". Procedimientos matemáticos de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 91 (1): 57–74. doi : 10.1017 / S0305004100059119 . SEÑOR633256