En matemáticas , la noción de una función de dimensión ( exacta ) (también conocida como función de calibre ) es una herramienta en el estudio de fractales y otros subconjuntos de espacios métricos . Las funciones de dimensión son una generalización de la simple ley de potencia del " diámetro a la dimensión " utilizada en la construcción de la medida de Hausdorff en s -dimensional .
Motivación: medida s -dimensional de Hausdorff
Considere un espacio métrico ( X , d ) y un subconjunto E de X . Dado un número s ≥ 0, la medida s- dimensional de Hausdorff de E , denotada μ s ( E ), se define por
dónde
μ δ s ( E ) se puede considerar como una aproximación al área / volumen s -dimensional "verdadero" de E dado calculando el área / volumen mínimo s -dimensional de una cubierta de E por conjuntos de diámetro como máximo δ .
En función del aumento de s , μ s ( E ) no es creciente. De hecho, para todos los valores de s , excepto posiblemente uno, H s ( E ) es 0 o + ∞; este valor excepcional se llama la dimensión de Hausdorff de E , aquí denotado dim H ( E ). Hablando intuitivamente, μ s ( E ) = + ∞ para s
La idea de una función de dimensión es usar funciones de diámetro diferentes a las de diam ( C ) s para algunos s , y buscar la misma propiedad de que la medida de Hausdorff sea finita y distinta de cero.
Definición
Sea ( X , d ) un espacio métrico y E ⊆ X . Sea h : [0, + ∞) → [0, + ∞] ser una función. Defina μ h ( E ) por
dónde
Entonces h se denomina función de dimensión ( exacta ) (o función de calibre ) para E si μ h ( E ) es finito y estrictamente positivo. Existen muchas convenciones en cuanto a las propiedades que debe tener h : Rogers (1998), por ejemplo, requiere que h debe ser monótonamente creciente para t ≥ 0, estrictamente positivo para t > 0 y continuo a la derecha para todo t ≥ 0 .
Dimensión de embalaje
La dimensión del empaque se construye de una manera muy similar a la dimensión de Hausdorff, excepto que uno "empaqueta" E desde el interior con bolas disjuntas por pares de diámetro como máximo δ . Al igual que antes, se pueden considerar las funciones h : [0, + ∞) → [0, + ∞] más generales que h ( δ ) = δ sy llamar a h una función de dimensión exacta para E si la h -medida de empaquetado de E es finito y estrictamente positivo.
Ejemplo
Es casi seguro que una trayectoria de muestra X del movimiento browniano en el plano euclidiano tiene una dimensión de Hausdorff igual a 2, pero la medida de Hausdorff bidimensional μ 2 ( X ) es cero. La función de dimensión exacta h viene dada por la corrección logarítmica
Es decir, con probabilidad uno, 0 < μ h ( X ) <+ ∞ para una trayectoria browniano X en R 2 . Para el movimiento browniano en euclidiano n -espacio R n con n ≥ 3, la función de dimensión exacta es
Referencias
- Olsen, L. (2003). "Las funciones exactas de la dimensión de Hausdorff de algunos conjuntos de Cantor". No linealidad . 16 (3): 963–970. doi : 10.1088 / 0951-7715 / 16/3/309 .
- Rogers, CA (1998). Medidas de Hausdorff . Biblioteca Matemática de Cambridge (Tercera ed.). Cambridge: Cambridge University Press. págs. xxx + 195. ISBN 0-521-62491-6.