Hijo de HC Bourke, de Amana, Ballina , Condado de Mayo , Irlanda , Bourke se educó en Mount St Mary's College, Chesterfield y Trinity College, Dublín (Mod. BA, LLB). Fue llamado al Irish Bar en King's Inns en 1928.
Se incorporó al Colonial Legal Service como Asesor Jurídico y Fiscal de la Corona en las Seychelles en 1933, donde fue miembro de los Consejos Ejecutivo y Legislativo. Luego se desempeñó en Palestina , como magistrado jefe en 1936 y presidente suplente de un tribunal de distrito en 1941, y presidente de un tribunal de distrito en 1945. Luego fue juez del Tribunal Supremo de Kenia en 1946, presidente del Tribunal Supremo de Sierra Leona de 1955 a 1957; Presidente del Tribunal Supremo de Chipre de 1957 a 1960. Fue llamado al English Bar en Gray's Inn en 1957, y fue nombrado caballero ese mismo año.
Al retirarse del Colonial Service, regresó a Dublín y se convirtió en Abogado Principal del Colegio de Abogados de Irlanda en 1961. Luego se convirtió, a tiempo parcial, en juez de los Tribunales de Apelación de las Bahamas, Bermudas desde 1965, y de Belice desde 1968; fue presidente de estos tribunales de 1970 a 1975. También fue juez de apelación en Gibraltar de 1970 a 1976, y se desempeñó como presidente del Tribunal Supremo interino de Gibraltar de octubre a diciembre de 1965.
Fue secuestrado en Dublín en 1975, pero logró escapar en la frontera con Irlanda del Norte . Más tarde se retiró a la casa de su hija en Cranbrook , Columbia Británica , Canadá , donde murió.
Bourke se casó en 1936 con Susan Dorothy (de soltera Killeen), que había sido novia de Michael Collins ; tuvieron tres hijos y una hija. Lady Bourke murió en 1982. Era tío de la presidenta irlandesa Mary Robinson .