Paradoja de Painlevé

La paradoja de Painlevé (también llamada por Jean Jacques Moreau paroxismos de fricción ) es un ejemplo bien conocido de Paul Painlevé en la dinámica del cuerpo rígido que mostró que la dinámica del cuerpo rígido con fricción de contacto y fricción de Coulomb es inconsistente. Este resultado se debe a una serie de discontinuidades en el comportamiento de los cuerpos rígidos y las discontinuidades inherentes a la ley de fricción de Coulomb, especialmente cuando se trata de grandes coeficientes de fricción. [1] Sin embargo, existen ejemplos simples que demuestran que las paradojas Painlevé pueden aparecer incluso con una pequeña fricción realista.

Modelar cuerpos rígidos y fricción simplifica enormemente aplicaciones tales como animación, robótica y biomecánica, es solo una aproximación a un modelo elástico completo que requiere sistemas complejos de ecuaciones diferenciales parciales . La suposición de cuerpo rígido también permite aclarar muchas características que de otro modo permanecerían ocultas; Las paradojas de Painlevé son una de ellas. Además, los modelos de carrocería rígida se pueden simular de manera confiable y eficiente, evitando problemas rígidos y problemas relacionados con la estimación de modelos de contacto / impacto compatibles, que a menudo es un asunto bastante delicado.

La paradoja física fue resuelta matemáticamente en la década de 1990 por David E. Stewart. [2] La paradoja de Painlevé no solo ha sido resuelta por DE Stewart desde el punto de vista matemático (es decir, Stewart ha demostrado la existencia de soluciones para el ejemplo clásico de Painlevé que consiste en una barra que se desliza sobre un plano rugoso en 2 dimensiones), pero ha sido explicado desde un punto de vista más mecánico por Franck Génot y Bernard Brogliato. [3] Génot y Brogliato han estudiado con gran detalle la dinámica de la barra en la vecindad de un punto singular del espacio de fase, cuando la barra se desliza. Las ecuaciones dinámicas son entonces una ecuación diferencial ordinaria singular particular con campo vectorial f ( x ) / g ( x ), donde tanto f como g pueden desaparecer en un cierto punto (ángulo y velocidad angular). Uno de los resultados es que en este punto singular la fuerza de contacto puede crecer sin límites, sin embargo, su impulso permanece siempre limitado (esto puede explicar por qué los métodos numéricos escalonados en el tiempo como el esquema de Moreau pueden manejar estas situaciones, ya que estiman el impulso, no la fuerza [4] ). Por tanto, la fuerza de contacto infinita no es en absoluto un obstáculo para la integración. Otra situación (diferente a la primera) es que las trayectorias pueden llegar a una zona en el espacio de fase, donde el problema de complementariedad lineal (LCP) que da la fuerza de contacto, no tiene solución. Entonces la solución (es decir, la velocidad angular de la varilla) tiene que saltar a un área donde el LCP tiene una solución. De hecho, esto crea una especie de "impacto" con discontinuidad de velocidad. Los lectores interesados ​​también pueden echar un vistazo a la Sección 5.5 del libro de Brogliato [5] y a la figura 5.23, donde se describen las diversas áreas importantes de la dinámica.

Es de destacar que JJ Moreau ha demostrado en su artículo seminal [6] a través de la simulación numérica con su esquema de pasos en el tiempo (luego llamado esquema de Moreau) que las paradojas de Painlevé pueden ser simuladas con métodos adecuados de pasos en el tiempo, por las razones mencionadas más adelante por Génot y Brogliato.

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Walter Lewin dibujando una línea de puntos con tiza, mostrando el efecto de rebote

Dado que la mecánica es ante todo una ciencia experimental, es de suma importancia que los experimentos validen la teoría. A menudo se cita el ejemplo clásico de la tiza (cuando se le obliga a deslizarse sobre una pizarra negra, una tiza tiene la tendencia a rebotar en la pizarra). Dado que las paradojas de Painlevé se basan en un modelo mecánico de fricción de Coulomb (multivalor a velocidad tangencial cero) que es quizás un modelo simplificado de contacto pero que, sin embargo, encapsula los principales efectos dinámicos de la fricción (como zonas de adherencia y deslizamiento), lógicamente debería poseer algún significado mecánico y no debería ser solo un alboroto matemático. Las paradojas de Painlevé se han evidenciado experimentalmente varias veces, ver por ejemplo. [7]

  1. ^ Paul Painlevé (1895). "Sur le lois frottement de glissemment". CR Acad. Sci . 121 : 112-115.
  2. ^ Stewart, David E. (2000). "Dinámica de cuerpo rígido con fricción e impacto" . Revisión SIAM . 42 (1): 3–39. Código Bibliográfico : 2000SIAMR..42 .... 3S . doi : 10.1137 / S0036144599360110 .
  3. ^ Franck Génot, Bernard Brogliato (1999). "Nuevos resultados sobre las paradojas de Painlevé" (PDF) . Revista Europea de Mecánica A . 18 (4): 653–678. Código Bibliográfico : 1999EJMS ... 18..653G . doi : 10.1016 / S0997-7538 (99) 00144-8 .
  4. ^ Vincent Acary, Bernard Brogliato (2008). Métodos numéricos para sistemas dinámicos no suaves . Apuntes de clases en Mecánica Aplicada y Computacional. 65 . Heidelberg: Springer Verlag.
  5. ^ Brogliato, Bernard (2016). 3ra (ed.). Mecánica no suave . Ingeniería de Comunicaciones y Control. Londres: Springer Verlag.
  6. ^ Moreau, J. J. (1988). "Contacto unilateral y fricción seca en dinámicas de libertad finita". En Moreau, JJ; Panagiotopoulos, PD (eds.). Mecánica y aplicaciones no suaves . Centro Internacional de Ciencias Mecánicas (Cursos y Conferencias). 302 . Viena: Springer.
  7. ^ Zhen, Zhao; Liu, Caishan; Ma, Wei; Chen, Bin; et al. (2008). "Investigación experimental de la paradoja Painlevé en un sistema robótico". Revista de Mecánica Aplicada . 75 (4): 041006. Bibcode : 2008JAM .... 75d1006Z . CiteSeerX  10.1.1.1027.4938 . doi : 10.1115 / 1.2910825 .