Dinámica corporal rígida

Parte de una serie sobre
Mecanica clasica
${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d}{dt}}(m{\textbf {v}})}$ Segunda ley del movimiento
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Fundamentos Aceleración Momento angular Pareja Principio de D'Alembert Energía cinético potencial Fuerza Marco de referencia Marco de referencia inercial Impulso Inercia  / Momento de inercia Masa Potencia mecánica Trabajo mecánico Momento Impulso Espacio Velocidad Hora Esfuerzo de torsión Velocidad Trabajo virtual
Formulaciones Leyes del movimiento de Newton Mecánica analítica Mecánica lagrangiana Mecánica hamiltoniana Mecánica routhiana Ecuación de Hamilton-Jacobi Ecuación de movimiento de Appell Mecánica de Koopman – von Neumann
Temas centrales Relación de amortiguación Desplazamiento Ecuaciones de movimiento Leyes del movimiento de Euler Fuerza ficticia Fricción Oscilador armónico Marco de referencia inercial  / no inercial Mecánica del movimiento de partículas planas Movimiento  ( lineal ) Ley de Newton de la gravitación universal Leyes del movimiento de Newton Velocidad relativa Cuerpo rígido dinámica Ecuaciones de Euler Movimiento armónico simple Vibración
Rotación Movimiento circular Marco de referencia giratorio Fuerza centrípeta Fuerza centrífuga reactivo fuerza Coriolis Péndulo Velocidad tangencial Velocidad rotacional Aceleración angular  / desplazamiento  / frecuencia  / velocidad
Científicos Kepler Galileo Huygens Newton Horrocks Halley Daniel Bernoulli Johann Bernoulli Euler d'Alembert Clairaut Lagrange Laplace Hamilton Poisson Cauchy Routh Liouville Appell Gibbs Koopman von Neumann
Categorias ► Mecánica clásica
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El movimiento de cada uno de los componentes de la máquina de vapor Boulton & Watt (1784) se puede describir mediante un conjunto de ecuaciones de cinemática y cinética.

En la ciencia física de la dinámica , la dinámica de cuerpos rígidos estudia el movimiento de sistemas de cuerpos interconectados bajo la acción de fuerzas externas . La suposición de que los cuerpos son rígidos (es decir, que no se deforman bajo la acción de fuerzas aplicadas) simplifica el análisis, al reducir los parámetros que describen la configuración del sistema a la traslación y rotación de los marcos de referencia adjuntos a cada cuerpo. ^{[1] [2]} Esto excluye los cuerpos que muestran fluidos , altamente elásticos y plásticos. comportamiento.

La dinámica de un sistema de cuerpo rígido se describe mediante las leyes de la cinemática y mediante la aplicación de la segunda ley de Newton ( cinética ) o su forma derivada, la mecánica de Lagrange . La solución de estas ecuaciones de movimiento proporciona una descripción de la posición, el movimiento y la aceleración de los componentes individuales del sistema y, en general, del sistema en sí, en función del tiempo . La formulación y solución de la dinámica de cuerpos rígidos es una herramienta importante en la simulación por computadora de sistemas mecánicos .

Dinámica plana de cuerpos rígidos

Si un sistema de partículas se mueve en paralelo a un plano fijo, se dice que el sistema está restringido al movimiento plano. En este caso, las leyes de Newton (cinética) para un sistema rígido de partículas N, P _i , i = 1, ..., N, simplificar porque no hay movimiento en la k dirección. Determine la fuerza y el par resultantes en un punto de referencia R , para obtener

${\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {A} _{i},\quad \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{N}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times (m_{i}\mathbf {A} _{i}),}$

donde r _i denota la trayectoria plana de cada partícula.

La cinemática de un cuerpo rígido produce la fórmula para la aceleración de la partícula P _i en términos de la posición R y la aceleración A de la partícula de referencia, así como el vector de velocidad angular ω y el vector de aceleración angular α del sistema rígido de partículas como ,

${\displaystyle \mathbf {A} _{i}=\alpha \times (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\omega \times (\omega \times (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} ))+\mathbf {A} .}$

Para los sistemas que están restringidos al movimiento plano, los vectores de velocidad angular y de aceleración angular se dirigen a lo largo de k perpendicular al plano de movimiento, lo que simplifica esta ecuación de aceleración. En este caso, los vectores de aceleración se pueden simplificar introduciendo los vectores unitarios e _i desde el punto de referencia R a un punto r _i y los vectores unitarios , por lo que${\textstyle \mathbf {t} _{i}=k\times \mathbf {e} _{i}}$

${\displaystyle \mathbf {A} _{i}=\alpha (\Delta r_{i}\mathbf {t} _{i})-\omega ^{2}(\Delta r_{i}\mathbf {e} _{i})+\mathbf {A} .}$

Esto produce la fuerza resultante sobre el sistema como

${\displaystyle \mathbf {F} =\alpha \sum _{i=1}^{N}m_{i}(\Delta r_{i}\mathbf {t} _{i})-\omega ^{2}\sum _{i=1}^{N}m_{i}(\Delta r_{i}\mathbf {e} _{i})+(\sum _{i=1}^{N}m_{i})\mathbf {A} ,}$

y torque como

${\displaystyle \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{N}(m_{i}\Delta r_{i}\mathbf {e} _{i})\times (\alpha (\Delta r_{i}\mathbf {t} _{i})-\omega ^{2}(\Delta r_{i}\mathbf {e} _{i})+\mathbf {A} )=(\sum _{i=1}^{N}m_{i}\Delta r_{i}^{2})\alpha {\vec {k}}+(\sum _{i=1}^{N}m_{i}\Delta r_{i}\mathbf {e} _{i})\times \mathbf {A} ,}$

donde y es el vector unitario perpendicular al plano de todas las partículas P _i .${\textstyle \mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{i}=0}$${\textstyle \mathbf {e} _{i}\times \mathbf {t} _{i}=k}$

Utilice el centro de masa C como punto de referencia, por lo que estas ecuaciones para las leyes de Newton se simplifican para convertirse en

${\displaystyle \mathbf {F} =M\mathbf {A} ,\quad \mathbf {T} =I_{C}\alpha {\vec {k}},}$

donde M es la masa total e I _C es el momento de inercia alrededor de un eje perpendicular al movimiento del sistema rígido ya través del centro de masa.

Cuerpo rígido en tres dimensiones

Descripciones de orientación o actitud

Artículo principal: Formalismos de rotación en tres dimensiones

Se han desarrollado varios métodos para describir las orientaciones de un cuerpo rígido en tres dimensiones. Se resumen en las siguientes secciones.

Ángulos de Euler

Artículo principal: ángulos de Euler

El primer intento de representar una orientación se atribuye a Leonhard Euler . Imaginó tres marcos de referencia que podrían girar uno alrededor del otro, y se dio cuenta de que al comenzar con un marco de referencia fijo y realizar tres rotaciones, podría obtener cualquier otro marco de referencia en el espacio (usando dos rotaciones para fijar el eje vertical y otra para fijar el eje vertical). arreglar los otros dos ejes). Los valores de estas tres rotaciones se denominan ángulos de Euler . Comúnmente, se usa para denotar precesión, nutación y rotación intrínseca.${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \phi }$

• Diagrama de los ángulos de Euler

• Rotación intrínseca de una bola alrededor de un eje fijo.

• Movimiento de una peonza en los ángulos de Euler.

Ángulos de Tait-Bryan

Artículo principal: ángulos de Euler § ángulos de Tait-Bryan

Ángulos de Tait-Bryan, otra forma de describir la orientación.

Estos son tres ángulos, también conocidos como guiñada, cabeceo y balanceo, ángulos de navegación y ángulos cardán. Matemáticamente, constituyen un conjunto de seis posibilidades dentro de los doce conjuntos posibles de ángulos de Euler, siendo el orden el que mejor se utiliza para describir la orientación de un vehículo como un avión. En la ingeniería aeroespacial se les suele denominar ángulos de Euler.

Vector de orientación

Artículo principal: Representación de ángulo de eje

Euler también se dio cuenta de que la composición de dos rotaciones es equivalente a una sola rotación alrededor de un eje fijo diferente ( teorema de la rotación de Euler ). Por tanto, la composición de los tres primeros ángulos tiene que ser igual a una sola rotación, cuyo eje era complicado de calcular hasta que se desarrollaron las matrices.

En base a este hecho, introdujo una forma vectorial para describir cualquier rotación, con un vector en el eje de rotación y módulo igual al valor del ángulo. Por lo tanto, cualquier orientación se puede representar mediante un vector de rotación (también llamado vector de Euler) que conduce a ella desde el marco de referencia. Cuando se utiliza para representar una orientación, el vector de rotación se denomina comúnmente vector de orientación o vector de actitud.

Un método similar, llamado representación eje-ángulo , describe una rotación u orientación usando un vector unitario alineado con el eje de rotación y un valor separado para indicar el ángulo (ver figura).

Matriz de orientación

Artículo principal: matriz de rotación

Con la introducción de matrices se reescribieron los teoremas de Euler. Las rotaciones se describieron mediante matrices ortogonales denominadas matrices de rotación o matrices de coseno de dirección. Cuando se utiliza para representar una orientación, una matriz de rotación se denomina comúnmente matriz de orientación o matriz de actitud.

El vector de Euler mencionado anteriormente es el vector propio de una matriz de rotación (una matriz de rotación tiene un valor propio real único ). El producto de dos matrices de rotación es la composición de las rotaciones. Por tanto, como antes, la orientación se puede dar como la rotación desde el fotograma inicial para lograr el fotograma que queremos describir.

El espacio de configuración de un objeto no simétrico en el espacio n -dimensional es SO ( n ) × R n . La orientación se puede visualizar adjuntando una base de vectores tangentes a un objeto. La dirección en la que apunta cada vector determina su orientación.

Cuaternión de orientación

Artículo principal: Cuaterniones y rotación espacial

Otra forma de describir las rotaciones es usar cuaterniones de rotación , también llamados versores. Son equivalentes a matrices de rotación y vectores de rotación. Con respecto a los vectores de rotación, se pueden convertir más fácilmente hacia y desde matrices. Cuando se utilizan para representar orientaciones, los cuaterniones de rotación se denominan normalmente cuaterniones de orientación o cuaterniones de actitud.

Segunda ley de Newton en tres dimensiones

Para considerar la dinámica de cuerpos rígidos en el espacio tridimensional, la segunda ley de Newton debe extenderse para definir la relación entre el movimiento de un cuerpo rígido y el sistema de fuerzas y momentos de torsión que actúan sobre él.

Newton formuló su segunda ley para una partícula como: "El cambio de movimiento de un objeto es proporcional a la fuerza impresa y se realiza en la dirección de la línea recta en la que se imprime la fuerza". ^[3] Debido a que Newton generalmente se refirió a la masa multiplicada por la velocidad como el "movimiento" de una partícula, la frase "cambio de movimiento" se refiere a la masa multiplicada por la aceleración de la partícula, por lo que esta ley generalmente se escribe como

${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,}$

donde se entiende que F es la única fuerza externa que actúa sobre la partícula, m es la masa de la partícula y a es su vector de aceleración. La extensión de la segunda ley de Newton a los cuerpos rígidos se logra considerando un sistema rígido de partículas.

Sistema rígido de partículas

Si un sistema de N partículas, P _i , i = 1, ..., N , se ensamblan en un cuerpo rígido, a continuación, la segunda ley de Newton se puede aplicar a cada una de las partículas en el cuerpo. Si F _i es la fuerza externa aplicada a la partícula P _i con masa m _i , entonces

${\displaystyle \mathbf {F} _{i}+\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{ij}=m_{i}\mathbf {a} _{i},\quad i=1,\ldots ,N,}$

donde F _ij es la fuerza interna de la partícula P _{j que} actúa sobre la partícula P _i que mantiene la distancia constante entre estas partículas.

Cuerpo humano modelado como un sistema de cuerpos rígidos de sólidos geométricos. Se agregaron huesos representativos para una mejor visualización de la persona que camina.

Una simplificación importante de estas ecuaciones de fuerza se obtiene al introducir la fuerza y el par resultantes que actúan sobre el sistema rígido. Esta fuerza y ​​torque resultantes se obtienen eligiendo una de las partículas en el sistema como punto de referencia, R , donde cada una de las fuerzas externas se aplica con la adición de un torque asociado. La fuerza resultante F y el par T están dados por las fórmulas,

${\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {F} _{i},\quad \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{N}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{i},}$

donde R _i es el vector que define la posición de la partícula P _i .

La segunda ley de Newton para una partícula se combina con estas fórmulas para que la fuerza y ​​el par resultantes cedan,

${\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {a} _{i},\quad \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{N}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )\times (m_{i}\mathbf {a} _{i}),}$

donde las fuerzas internas F _{ij se} cancelan en pares. La cinemática de un cuerpo rígido produce la fórmula para la aceleración de la partícula P _i en términos de la posición R y la aceleración a de la partícula de referencia, así como el vector de velocidad angular ω y el vector de aceleración angular α del sistema rígido de partículas como ,

${\displaystyle \mathbf {a} _{i}=\alpha \times (\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )+\omega \times (\omega \times (\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} ))+\mathbf {a} .}$

Propiedades masivas

Las propiedades de masa del cuerpo rígido están representadas por su centro de masa y matriz de inercia . Elija el punto de referencia R para que satisfaga la condición

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}m_{i}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )=0,}$

entonces se le conoce como el centro de masa del sistema. La matriz de inercia [I _R ] del sistema con respecto al punto de referencia R está definida por

${\displaystyle [I_{R}]=\sum _{i=1}^{N}m_{i}(\mathbf {I} (\mathbf {S} _{i}^{T}\mathbf {S} _{i})-\mathbf {S} _{i}\mathbf {S} _{i}^{T}),}$

donde está el vector de columna R _i - R ; y es su transposición.${\displaystyle \mathbf {S} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {S} _{i}^{T}}$

${\displaystyle \mathbf {S} _{i}^{T}\mathbf {S} _{i}}$es el producto escalar de consigo mismo, mientras que es el producto tensorial de consigo mismo.${\displaystyle \mathbf {S} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {S} _{i}\mathbf {S} _{i}^{T}}$${\displaystyle \mathbf {S} _{i}}$

${\displaystyle \mathbf {I} }$ es la matriz identidad de 3 por 3.

Ecuaciones fuerza-torque

Usando el centro de masa y la matriz de inercia, las ecuaciones de fuerza y ​​torque para un solo cuerpo rígido toman la forma

${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,\quad \mathbf {T} =[I_{R}]\alpha +\omega \times [I_{R}]\omega ,}$

y se conocen como la segunda ley de movimiento de Newton para un cuerpo rígido.

La dinámica de un sistema interconectado de cuerpos rígidos, B _i , j  = 1, ...,  M , se formula aislando cada cuerpo rígido e introduciendo las fuerzas de interacción. La resultante de las fuerzas externas y de interacción en cada cuerpo, produce las ecuaciones fuerza-torque

${\displaystyle \mathbf {F} _{j}=m_{j}\mathbf {a} _{j},\quad \mathbf {T} _{j}=[I_{R}]_{j}\alpha _{j}+\omega _{j}\times [I_{R}]_{j}\omega _{j},\quad j=1,\ldots ,M.}$

La formulación de Newton produce 6 M ecuaciones que definen la dinámica de un sistema de M cuerpos rígidos. ^[4]

Rotación en tres dimensiones

Un objeto en rotación, ya sea bajo la influencia de torsiones o no, puede exhibir comportamientos de precesión y nutación . La ecuación fundamental que describe el comportamiento de un cuerpo sólido en rotación es la ecuación de movimiento de Euler :

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={{D\mathbf {L} } \over {Dt}}={{d\mathbf {L} } \over {dt}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {L} ={{d(I{\boldsymbol {\omega }})} \over {dt}}+{\boldsymbol {\omega }}\times {I{\boldsymbol {\omega }}}=I{\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times {I{\boldsymbol {\omega }}}}$

donde los pseudovectores τ y L son, respectivamente, los pares del cuerpo y su momento angular , el escalar I es su momento de inercia , el vector ω es su velocidad angular, el vector α es su aceleración angular, D es el diferencial en un marco de referencia inercial yd es el diferencial en un marco de referencia relativo fijado con el cuerpo.

La solución a esta ecuación cuando no hay torque aplicado se discute en los artículos Ecuación de movimiento de Euler y elipsoide de Poinsot .

Se deduce de la ecuación de Euler que un par de torsión τ aplica perpendicular al eje de rotación, y por lo tanto perpendicular a L , da como resultado una rotación alrededor de un eje perpendicular tanto τ y L . Este movimiento se llama precesión . La velocidad angular de precesión Ω _P viene dada por el producto cruzado : ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\Omega }}_{\mathrm {P} }\times \mathbf {L} .}$

Precesión de un giroscopio

La precesión se puede demostrar colocando una peonza con su eje horizontal y apoyada libremente (sin fricción hacia la precesión) en un extremo. En lugar de caer, como era de esperar, la parte superior parece desafiar la gravedad al permanecer con su eje horizontal, cuando el otro extremo del eje se deja sin apoyo y el extremo libre del eje describe lentamente un círculo en un plano horizontal, el resultado precesión girando. Este efecto se explica por las ecuaciones anteriores. El par en la parte superior es suministrado por un par de fuerzas: la gravedad que actúa hacia abajo sobre el centro de masa del dispositivo y una fuerza igual que actúa hacia arriba para soportar un extremo del dispositivo. La rotación resultante de este par no es hacia abajo, como podría esperarse intuitivamente, provocando la caída del dispositivo,pero perpendicular tanto al par gravitacional (horizontal y perpendicular al eje de rotación) como al eje de rotación (horizontal y hacia afuera desde el punto de apoyo), es decir, alrededor de un eje vertical, haciendo que el dispositivo gire lentamente alrededor del punto de apoyo .

Bajo un par constante de magnitud τ , la velocidad de precesión Ω _P es inversamente proporcional a L , la magnitud de su momento angular:

${\displaystyle \tau ={\mathit {\Omega }}_{\mathrm {P} }L\sin \theta ,\!}$

donde θ es el ángulo entre los vectores Ω _P y L . Por lo tanto, si el giro de la peonza se ralentiza (por ejemplo, debido a la fricción), su momento angular disminuye y, por lo tanto, aumenta la tasa de precesión. Esto continúa hasta que el dispositivo no puede girar lo suficientemente rápido para soportar su propio peso, cuando deja de precesión y se cae de su soporte, principalmente porque la fricción contra la precesión causa otra precesión que va a causar la caída.

Por convención, estos tres vectores (par, giro y precesión) están todos orientados entre sí de acuerdo con la regla de la mano derecha .

Trabajo virtual de fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido

Una formulación alternativa de la dinámica de un cuerpo rígido que tiene una serie de características convenientes se obtiene al considerar el trabajo virtual de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido.

El trabajo virtual de las fuerzas que actúan en varios puntos de un solo cuerpo rígido se puede calcular utilizando las velocidades de su punto de aplicación y la fuerza y ​​el par resultantes . Para ver esto, dejemos que las fuerzas F ₁ , F ₂ ... F _n actúen sobre los puntos R ₁ , R ₂ ... R _n en un cuerpo rígido.

Las trayectorias de R _i , i  = 1, ...,  n están definidas por el movimiento del cuerpo rígido. La velocidad de los puntos R _{i a lo} largo de sus trayectorias es

${\displaystyle \mathbf {V} _{i}={\vec {\omega }}\times (\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {V} ,}$

donde ω es el vector de velocidad angular del cuerpo.

Trabajo virtual

El trabajo se calcula a partir del producto escalar de cada fuerza con el desplazamiento de su punto de contacto.

${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}.}$

Si la trayectoria de un cuerpo rígido está definida por un conjunto de coordenadas generalizadas q _j , j  = 1, ...,  m , entonces los desplazamientos virtuales δ r _i están dados por

${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}.}$

El trabajo virtual de este sistema de fuerzas que actúan sobre el cuerpo en términos de coordenadas generalizadas se convierte en

${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \left(\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{1}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right)+\ldots +\mathbf {F} _{n}\cdot \left(\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{n}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right)}$

o recolectando los coeficientes de δq _j

${\displaystyle \delta W=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{1}}}\right)\delta q_{1}+\ldots +\left(\sum _{1=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)\delta q_{m}.}$

Fuerzas generalizadas

Para simplificar, considere una trayectoria de un cuerpo rígido que se especifica mediante una sola coordenada generalizada q, como un ángulo de rotación, entonces la fórmula se convierte en

${\displaystyle \delta W=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial ({\vec {\omega }}\times (\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {V} )}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q.}$

Introduzca la fuerza resultante F y el par T para que esta ecuación adopte la forma

${\displaystyle \delta W=\left(\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} \cdot {\frac {\partial {\vec {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q.}$

La cantidad Q definida por

${\displaystyle Q=\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} \cdot {\frac {\partial {\vec {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}},}$

se conoce como la fuerza generalizada asociada con el desplazamiento virtual δq. Esta fórmula se generaliza al movimiento de un cuerpo rígido definido por más de una coordenada generalizada, es decir

${\displaystyle \delta W=\sum _{j=1}^{m}Q_{j}\delta q_{j},}$

dónde

${\displaystyle Q_{j}=\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}_{j}}}+\mathbf {T} \cdot {\frac {\partial {\vec {\omega }}}{\partial {\dot {q}}_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}$

Es útil notar que las fuerzas conservadoras como la gravedad y las fuerzas de resorte son derivables de una función potencial V ( q ₁ , ..., q _n ), conocida como energía potencial . En este caso, las fuerzas generalizadas están dadas por

${\displaystyle Q_{j}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}$

La forma de D'Alembert del principio del trabajo virtual

Las ecuaciones de movimiento para un sistema mecánico de cuerpos rígidos se pueden determinar utilizando la forma de D'Alembert del principio del trabajo virtual. El principio del trabajo virtual se utiliza para estudiar el equilibrio estático de un sistema de cuerpos rígidos, sin embargo, al introducir términos de aceleración en las leyes de Newton, este enfoque se generaliza para definir el equilibrio dinámico.

Equilibrio estático

El equilibrio estático de los cuerpos rígidos de un sistema mecánico se define por la condición de que el trabajo virtual de las fuerzas aplicadas sea cero para cualquier desplazamiento virtual del sistema. Esto se conoce como el principio del trabajo virtual. ^[5] Esto equivale al requisito de que las fuerzas generalizadas para cualquier desplazamiento virtual sean cero, es decir, Q _i = 0.

Sea un sistema mecánico construido a partir de n cuerpos rígidos, B _i , i = 1, ..., n, y sea la resultante de las fuerzas aplicadas sobre cada cuerpo los pares fuerza-par, F _i y T _i , i = 1, ..., n. Observe que estas fuerzas aplicadas no incluyen las fuerzas de reacción donde los cuerpos están conectados. Finalmente, suponga que la velocidad V _i y las velocidades angulares ω _i , i =, 1 ..., n, para cada cuerpo rígido, están definidas por una sola coordenada generalizada q. Se dice que tal sistema de cuerpos rígidos tiene un grado de libertad .

El trabajo virtual de las fuerzas y momentos de torsión, F _i y T _i , aplicado a este sistema de un grado de libertad está dado por

${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} _{i}\cdot {\frac {\partial {\vec {\omega }}_{i}}{\partial {\dot {q}}}})\delta q=Q\delta q,}$

dónde

${\displaystyle Q=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} _{i}\cdot {\frac {\partial {\vec {\omega }}_{i}}{\partial {\dot {q}}}}),}$

es la fuerza generalizada que actúa sobre este sistema de un grado de libertad.

Si el sistema mecánico está definido por m coordenadas generalizadas, q _j , j = 1, ..., m, entonces el sistema tiene m grados de libertad y el trabajo virtual está dado por,

${\displaystyle \delta W=\sum _{j=1}^{m}Q_{j}\delta q_{j},}$

dónde

${\displaystyle Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}+\mathbf {T} _{i}\cdot {\frac {\partial {\vec {\omega }}_{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}),\quad j=1,\ldots ,m.}$

es la fuerza generalizada asociada con la coordenada generalizada q _j . El principio del trabajo virtual establece que el equilibrio estático ocurre cuando estas fuerzas generalizadas que actúan sobre el sistema son cero, es decir

${\displaystyle Q_{j}=0,\quad j=1,\ldots ,m.}$

Estas m ecuaciones definen el equilibrio estático del sistema de cuerpos rígidos.

Fuerzas de inercia generalizadas

Considere un solo cuerpo rígido que se mueve bajo la acción de una fuerza resultante F y un momento de torsión T , con un grado de libertad definido por la coordenada generalizada q. Suponga que el punto de referencia para la fuerza y ​​el par resultantes es el centro de masa del cuerpo, entonces la fuerza de inercia generalizada Q * asociada con la coordenada generalizada q viene dada por

${\displaystyle Q^{*}=-(M\mathbf {A} )\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}-([I_{R}]\alpha +\omega \times [I_{R}]\omega )\cdot {\frac {\partial {\vec {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}}.}$

Esta fuerza de inercia se puede calcular a partir de la energía cinética del cuerpo rígido,

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}M\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} +{\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}\cdot [I_{R}]{\vec {\omega }},}$

usando la fórmula

${\displaystyle Q^{*}=-\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}}}-{\frac {\partial T}{\partial q}}\right).}$

Un sistema de n cuerpos rígidos con m coordenadas generalizadas tiene la energía cinética

${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{n}({\frac {1}{2}}M\mathbf {V} _{i}\cdot \mathbf {V} _{i}+{\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}_{i}\cdot [I_{R}]{\vec {\omega }}_{i}),}$

que se puede utilizar para calcular las m fuerzas de inercia generalizadas ^[6]

${\displaystyle Q_{j}^{*}=-\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}\right),\quad j=1,\ldots ,m.}$

Equilibrio dinámico

La forma de D'Alembert del principio de trabajo virtual establece que un sistema de cuerpos rígidos está en equilibrio dinámico cuando el trabajo virtual de la suma de las fuerzas aplicadas y las fuerzas inerciales es cero para cualquier desplazamiento virtual del sistema. Por tanto, el equilibrio dinámico de un sistema de n cuerpos rígidos con m coordenadas generalizadas requiere que

${\displaystyle \delta W=(Q_{1}+Q_{1}^{*})\delta q_{1}+\ldots +(Q_{m}+Q_{m}^{*})\delta q_{m}=0,}$

para cualquier conjunto de desplazamientos virtuales δq _j . Esta condición produce m ecuaciones,

${\displaystyle Q_{j}+Q_{j}^{*}=0,\quad j=1,\ldots ,m,}$

que también se puede escribir como

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=Q_{j},\quad j=1,\ldots ,m.}$

El resultado es un conjunto de m ecuaciones de movimiento que definen la dinámica del sistema de cuerpo rígido.

Ecuaciones de Lagrange

Si las fuerzas generalizadas Q _j son derivables de una energía potencial V (q ₁ , ..., q _m ), entonces estas ecuaciones de movimiento toman la forma

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}$

En este caso, introduzca el Lagrangiano , L = TV, para que estas ecuaciones de movimiento se conviertan en

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}=0\quad j=1,\ldots ,m.}$

Estos se conocen como ecuaciones de movimiento de Lagrange .

Momento lineal y angular

Sistema de partículas

El momento lineal y angular de un sistema rígido de partículas se formula midiendo la posición y la velocidad de las partículas en relación con el centro de masa. Sea el sistema de partículas P _i , i = 1, ..., n ubicado en las coordenadas r _i y velocidades v _i . Seleccione un punto de referencia R y calcule la posición relativa y los vectores de velocidad,

${\displaystyle \mathbf {r} _{i}=(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {R} ,\quad \mathbf {v} _{i}={\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {V} .}$

Los vectores de momento lineal y angular totales relativos al punto de referencia R son

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {d}{dt}}(\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} ))+(\sum _{i=1}^{n}m_{i})\mathbf {V} ,}$

y

${\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+(\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} ))\times \mathbf {V} .}$

Si se elige R como el centro de masa, estas ecuaciones se simplifican a

${\displaystyle \mathbf {p} =M\mathbf {V} ,\quad \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} ).}$

Sistema rígido de partículas

Para especializar estas fórmulas en un cuerpo rígido, suponga que las partículas están conectadas rígidamente entre sí, de modo que P _i , i = 1, ..., n están ubicadas por las coordenadas r _i y las velocidades v _i . Seleccione un punto de referencia R y calcule la posición relativa y los vectores de velocidad,

${\displaystyle \mathbf {r} _{i}=(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {R} ,\quad \mathbf {v} _{i}=\omega \times (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {V} ,}$

donde ω es la velocidad angular del sistema. ^{[7] [8] [9]}

El momento lineal y el momento angular de este sistema rígido medidos en relación con el centro de masa R es

${\displaystyle \mathbf {p} =(\sum _{i=1}^{n}m_{i})\mathbf {V} ,\quad \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {v} _{i}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times (\omega \times (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )).}$

Estas ecuaciones se simplifican para convertirse en,

${\displaystyle \mathbf {p} =M\mathbf {V} ,\quad \mathbf {L} =[I_{R}]\omega ,}$

donde M es la masa total del sistema y [I _R ] es la matriz de momentos de inercia definida por

${\displaystyle [I_{R}]=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R][r_{i}-R],}$

donde [r _i -R] es la matriz antisimétrica construida a partir del vector r _i - R .

Aplicaciones

• Para el análisis de sistemas robóticos
• Para el análisis biomecánico de animales, humanos o sistemas humanoides
• Para el análisis de objetos espaciales
• Para la comprensión de movimientos extraños de cuerpos rígidos. ^[10]
• Para el diseño y desarrollo de sensores basados ​​en dinámica, como sensores giroscópicos.
• Para el diseño y desarrollo de diversas aplicaciones de mejora de la estabilidad en automóviles.
• Para mejorar la gráfica de videojuegos que involucran cuerpos rígidos

Ver también

• Mecánica analítica
• Dinámica analítica
• Cálculo de variaciones
• Mecanica clasica
• Dinámica (física)
• Historia de la mecánica clásica
• Mecánica lagrangiana
• Lagrangiano
• Mecánica hamiltoniana
• Cuerpo rígido
• Rotor rígido
• Dinámica del cuerpo blando
• Dinámica multicuerpo
• Polhode
• Herpolhode
• Precesión
• Construcción de Poinsot
• Giroscopio
• Motor de física
• Unidad de procesamiento de física
• Capa de abstracción de física : simulador multicuerpo unificado
• Dynamechs - Simulador de carrocería rígida
• RigidChips : simulador japonés de carrocería rígida
• Ecuación de Euler

Referencias

1. B. Paul, Cinemática y dinámica de maquinaria plana, Prentice-Hall, Nueva Jersey, 1979
2. LW Tsai, Análisis de robots: La mecánica de manipuladores en serie y paralelos, John-Wiley, NY, 1999.
3. Encyclopædia Britannica, leyes del movimiento de Newton .
4. KJ Waldron y GL Kinzel, Cinemática y dinámica y diseño de maquinaria , 2a ed., John Wiley and Sons, 2004.
5. Torby, Bruce (1984). "Métodos energéticos". Dinámica avanzada para ingenieros . Serie HRW en Ingeniería Mecánica. Estados Unidos de América: CBS College Publishing. ISBN 0-03-063366-4.
6. TR Kane y DA Levinson, Dinámica, teoría y aplicaciones , McGraw-Hill, NY, 2005.
7. Marion, JB; Thornton, ST (1995). Dinámica clásica de sistemas y partículas (4ª ed.). Thomson. ISBN 0-03-097302-3..
8. Symon, KR (1971). Mecánica (3ª ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7..
9. Tenenbaum, RA (2004). Fundamentos de Dinámica Aplicada . Saltador. ISBN 0-387-00887-X..
10. Gómez, RW; Hernández-Gómez, JJ; Marquina, V (25 de julio de 2012). "Un cilindro que salta en un plano inclinado" . EUR. J. Phys . PIO. 33 (5): 1359-1365. arXiv : 1204.0600 . Código Bibliográfico : 2012EJPh ... 33.1359G . doi : 10.1088 / 0143-0807 / 33/5/1359 . Consultado el 25 de abril de 2016 .

Lectura adicional

• E. Leimanis (1965). El problema general del movimiento de cuerpos rígidos acoplados alrededor de un punto fijo. (Springer, Nueva York).
• WB Heard (2006). Mecánica del cuerpo rígido: Matemáticas, Física y Aplicaciones. (Wiley-VCH).

Enlaces externos

• Información sobre la dinámica del cuerpo rígido de Chris Hecker
• Modelado basado en la física: principios y práctica
• Conferencias, Dinámica computacional del cuerpo rígido en la Universidad de Wisconsin-Madison
• La base de conocimientos de DigitalRune contiene una tesis de maestría y una colección de recursos sobre la dinámica del cuerpo rígido.
• F. Klein, "Nota sobre la conexión entre la geometría lineal y la mecánica de los cuerpos rígidos" (traducción al inglés)
• F. Klein, "Sobre la teoría de los tornillos de Sir Robert Ball" (traducción al inglés)
• E. Cotton, "Aplicación de la geometría de Cayley al estudio geométrico del desplazamiento de un sólido alrededor de un punto fijo" (traducción al inglés)