el cuerno de gabriel
Un cuerno de Gabriel (también llamado trompeta de Torricelli ) es un tipo de figura geométrica que tiene una superficie infinita pero un volumen finito . El nombre hace referencia a la tradición cristiana donde el arcángel Gabriel toca el cuerno para anunciar el Día del Juicio . Las propiedades de esta figura fueron estudiadas por primera vez por el físico y matemático italiano Evangelista Torricelli en el siglo XVII.
Estos coloridos nombres informales y la alusión a la religión llegaron más tarde. [1]El propio nombre que Torricelli le dio se encuentra en el título latino de su artículo De solido hyperbolico acuto , escrito en 1643, un sólido hiperbólico agudo truncado , cortado por un plano. [2]El volumen 1, parte 1 de su Opera geométrica publicada el año siguiente incluía ese artículo y una segunda prueba de Arquímedes más ortodoxa (por el momento) de su teorema sobre el volumen de un sólido hiperbólico agudo truncado . [2] [3]Este nombre se utilizó en diccionarios matemáticos del siglo XVIII, incluido "Hyperbolicum Acutum" en el diccionario de Harris de 1704 y en el de Stone de 1726, y la traducción francesa Solide Hyperbolique Aigu en el de d'Alembert de 1751. [1]
Aunque sus contemporáneos le atribuyeron la primacía, Torricelli no fue el primero en describir una forma infinitamente larga con un volumen o área finita. [4]La obra de Nicole Oresme en el siglo XIV había sido olvidada o desconocida para ellos. [4]Oresme había postulado tales cosas como una forma infinitamente larga construida subdividiendo dos cuadrados de área total finita 2 usando una serie geométrica y reorganizando las partes en una figura, infinitamente larga en una dimensión, que comprende una serie de rectángulos. [5]
El valor a puede ser tan grande como se requiera, pero se puede ver en la ecuación que el volumen de la parte del cuerno entre x = 1 y x = a nunca excederá π ; sin embargo, se acerca gradualmente a π a medida que a aumenta. Matemáticamente, el volumen se acerca a π cuando a se acerca al infinito. Usando la notación límite del cálculo, [7]
La fórmula del área de superficie anterior proporciona un límite inferior para el área como 2 π multiplicado por el logaritmo natural de a . No existe un límite superior para el logaritmo natural de a , cuando a se acerca al infinito. Esto significa, en este caso, que la bocina tiene una superficie infinita. Es decir, [7]
La prueba original sin cálculo de Torricelli utilizó un objeto, ligeramente diferente al anterior, que se construyó truncando el sólido hiperbólico agudo con un plano perpendicular al eje x y extendiéndolo desde el lado opuesto de ese plano con un cilindro de la misma base. . [8]Mientras que el método de cálculo procede estableciendo el plano de truncamiento e integrando a lo largo del eje x , Torricelli procedió calculando el volumen de este sólido compuesto (con el cilindro agregado) sumando las áreas de superficie de una serie de cilindros rectos concéntricos. dentro de él a lo largo del eje y y mostrando que esto era equivalente a sumar áreas dentro de otro sólido cuyo volumen (finito) se conocía. [9]
