En matemáticas , las funciones de cilindro parabólico son funciones especiales definidas como soluciones a la ecuación diferencial
( 1 )
Esta ecuación se encuentra cuando se utiliza la técnica de separación de variables sobre la ecuación de Laplace cuando se expresa en coordenadas cilíndricas parabólicas .
La ecuación anterior se puede convertir en dos formas distintas (A) y (B) completando el cuadrado y reescalando z , llamadas ecuaciones de HF Weber ( Weber 1869 ) :
- (A)
y
- (B)
Si
es una solución, entonces también lo son
Si
es una solución de la ecuación (A), entonces
es una solución de (B) y, por simetría,
también son soluciones de (B).
Soluciones
Hay soluciones pares e impares independientes de la forma (A). Estos vienen dados por (siguiendo la notación de Abramowitz y Stegun (1965)):
y
dónde es la función hipergeométrica confluente .
Se pueden formar otros pares de soluciones independientes a partir de combinaciones lineales de las soluciones anteriores (ver Abramowitz y Stegun). Uno de esos pares se basa en su comportamiento en el infinito:
dónde
La función U ( a , z ) se acerca a cero para valores grandes de zy | arg ( z ) | <π / 2, mientras que V ( a , z ) diverge para valores grandes de z real positivo .
y
Para valores de medio entero de a , estos (es decir, U y V ) se pueden volver a expresar en términos de polinomios de Hermite ; alternativamente, también pueden expresarse en términos de funciones de Bessel .
Las funciones U y V también pueden relacionarse con las funciones D p ( x ) (una notación que se remonta a Whittaker (1902)) que a veces se denominan funciones cilíndricas parabólicas (véase Abramowitz y Stegun (1965)):
La función D a (z) fue introducida por Whittaker y Watson como una solución de la ecuación ~ ( 1 ) con limitado a . Puede expresarse en términos de funciones hipergeométricas confluentes como
Referencias
- Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 19" . Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. pag. 686. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . Señor 0167642 . LCCN 65-12253 .
- Rozov, N.Kh. (2001) [1994], "Ecuación de Weber" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Temme, NM (2010), "Función de cilindro parabólico" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
- Weber, HF (1869) "Ueber die Integration der partiellen Differentialgleichung ". Math. Ann. , 1, 1–36
- Whittaker, ET (1902) "Sobre las funciones asociadas con el cilindro parabólico en el análisis armónico" Proc. London Math. Soc. 35, 417–427.
- Whittaker, ET y Watson, GN "La función del cilindro parabólico". §16.5 en Un curso de análisis moderno, 4ª ed. Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press, págs. 347-348, 1990.