Completando el cuadrado

En álgebra elemental , completar el cuadrado es una técnica para convertir un polinomio cuadrático de la forma

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Animación que representa el proceso de completar el cuadrado. ( Detalles , versión GIF animada )

{\ Displaystyle ax ^ {2} + bx + c}

a la forma

{\ Displaystyle a (xh) ^ {2} + k}

para algunos valores de h y k .

Completar el cuadrado se usa en

resolver ecuaciones cuadráticas ,
derivando la fórmula cuadrática ,
graficar funciones cuadráticas ,
evaluar integrales en cálculo, como integrales gaussianas con un término lineal en el exponente,
encontrar transformadas de Laplace .

En matemáticas, completar el cuadrado a menudo se aplica en cualquier cálculo que involucre polinomios cuadráticos.

Descripción general

Fondo

La fórmula en álgebra elemental para calcular el cuadrado de un binomio es:

{\ Displaystyle (x + p) ^ {2} \, = \, x ^ {2} + 2px + p ^ {2}.}

Por ejemplo:

{\ displaystyle {\ begin {alignedat} {2} (x + 3) ^ {2} \, & = \, x ^ {2} + 6x + 9 && (p = 3) \\ [3pt] (x-5 ) ^ {2} \, & = \, x ^ {2} -10x + 25 \ qquad && (p = -5). \ End {alignedat}}}

En cualquier cuadrado perfecto, el coeficiente de x es el doble del número p , y el término constante es igual ap ² .

Ejemplo básico

Considere el siguiente polinomio cuadrático :

{\ displaystyle x ^ {2} + 10x + 28.}

Esta cuadrática no es un cuadrado perfecto, ya que 28 no es el cuadrado de 5:

{\ displaystyle (x + 5) ^ {2} \, = \, x ^ {2} + 10x + 25.}

Sin embargo, es posible escribir la cuadrática original como la suma de este cuadrado y una constante:

{\ Displaystyle x ^ {2} + 10x + 28 \, = \, (x + 5) ^ {2} +3.}

A esto se le llama completar el cuadrado .

Descripción general

Dado cualquier cuadrático monic

{\ Displaystyle x ^ {2} + bx + c,}

es posible formar un cuadrado que tenga los mismos dos primeros términos:

{\ Displaystyle \ left (x + {\ tfrac {1} {2}} b \ right) ^ {2} \, = \, x ^ {2} + bx + {\ tfrac {1} {4}} b ^ { 2}.}

Este cuadrado se diferencia de la cuadrática original solo en el valor del término constante. Por tanto, podemos escribir

{\ Displaystyle x ^ {2} + bx + c \, = \, \ left (x + {\ tfrac {1} {2}} b \ right) ^ {2} + k,}

dónde ${\ Displaystyle k \, = \, c - {\ frac {b ^ {2}} {4}}}$ . Esta operación se conoce como completar el cuadrado . Por ejemplo:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {1} x ^ {2} + 6x + 11 \, & = \, (x + 3) ^ {2} +2 \\ [3pt] x ^ {2} + 14x +30 \, & = \, (x + 7) ^ {2} -19 \\ [3pt] x ^ {2} -2x + 7 \, & = \, (x-1) ^ {2} +6 . \ end {alineado}}}

Caso no monic

Dado un polinomio cuadrático de la forma

{\ Displaystyle ax ^ {2} + bx + c}

es posible factorizar el coeficiente de una , y luego completar el cuadrado para la resultante polinomio mónico .

Ejemplo:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} 3x ^ {2} + 12x + 27 & = 3 (x ^ {2} + 4x + 9) \\ & {} = 3 \ left ((x + 2) ^ {2} +5 \ right) \\ & {} = 3 (x + 2) ^ {2} +15 \ end {alineado}}}

Esto permite la escritura de cualquier polinomio cuadrático en la forma

{\ Displaystyle a (xh) ^ {2} + k.}

Fórmula

Caso escalar

El resultado de completar el cuadrado se puede escribir como una fórmula. Para el caso general: ^[1]

{\ Displaystyle ax ^ {2} + bx + c \; = \; a (xh) ^ {2} + k, \ quad {\ text {donde}} \ quad h = - {\ frac {b} {2a }} \ quad {\ text {y}} \ quad k = c-ah ^ {2} = c - {\ frac {b ^ {2}} {4a}}.}

Específicamente, cuando a = 1:

{\ Displaystyle x ^ {2} + bx + c \; = \; (xh) ^ {2} + k, \ quad {\ text {donde}} \ quad h = - {\ frac {b} {2} } \ quad {\ text {y}} \ quad k = c - {\ frac {b ^ {2}} {4}}.}

Caso de la matriz

El caso de la matriz se ve muy similar:

{\ displaystyle x ^ {\ mathrm {T}} Ax + x ^ {\ mathrm {T}} b + c = (xh) ^ {\ mathrm {T}} A (xh) + k \ quad {\ text { donde}} \ quad h = - {\ frac {1} {2}} A ^ {- 1} b \ quad {\ text {y}} \ quad k = c - {\ frac {1} {4}} b ^ {\ mathrm {T}} A ^ {- 1} b}

dónde ${\ Displaystyle A}$ tiene que ser simétrico .

Si ${\ Displaystyle A}$ no es simétrico las fórmulas para ${\ Displaystyle h}$ y ${\ Displaystyle k}$ tienen que generalizarse a:

{\ Displaystyle h = - (A + A ^ {\ mathrm {T}}) ^ {- 1} b \ quad {\ text {y}} \ quad k = ch ^ {\ mathrm {T}} Ah = cb ^ {\ mathrm {T}} (A + A ^ {\ mathrm {T}}) ^ {- 1} A (A + A ^ {\ mathrm {T}}) ^ {- 1} b}

.

Relación con el gráfico

Las gráficas de funciones cuadráticas se desplazaron hacia arriba en k = 0, 5, 10 y 15.

Las gráficas de funciones cuadráticas se desplazaron hacia arriba y hacia la derecha en 0, 5, 10 y 15.

En geometría analítica , la gráfica de cualquier función cuadrática es una parábola en el plano xy . Dado un polinomio cuadrático de la forma

{\ Displaystyle a (xh) ^ {2} + k}

los números h y k se pueden interpretar como las coordenadas cartesianas del vértice (o punto estacionario ) de la parábola. Es decir, h es la coordenada x del eje de simetría (es decir, el eje de simetría tiene la ecuación x = h ) y k es el valor mínimo (o valor máximo, si a <0) de la función cuadrática.

Una forma de ver esto es observar que la gráfica de la función ƒ ( x ) = x ² es una parábola cuyo vértice está en el origen (0, 0). Por lo tanto, la gráfica de la función ƒ ( x - h ) = ( x - h ) ² es una parábola desplazada a la derecha por h cuyo vértice está en ( h , 0), como se muestra en la figura superior. En contraste, la gráfica de la función ƒ ( x ) + k = x ² + k es una parábola desplazada hacia arriba por k cuyo vértice está en (0, k ), como se muestra en la figura central. La combinación de desplazamientos horizontales y verticales produce ƒ ( x - h ) + k = ( x - h ) ² + k es una parábola desplazada hacia la derecha en hy hacia arriba en k cuyo vértice está en ( h , k ), como se muestra en la figura de abajo.

Resolver ecuaciones cuadráticas

Completar el cuadrado puede usarse para resolver cualquier ecuación cuadrática . Por ejemplo:

{\ displaystyle x ^ {2} + 6x + 5 = 0.}

El primer paso es completar el cuadrado:

{\ displaystyle (x + 3) ^ {2} -4 = 0.}

A continuación, resolvemos para el término al cuadrado:

{\ displaystyle (x + 3) ^ {2} = 4.}

Entonces tambien

{\ Displaystyle x + 3 = -2 \ quad {\ text {o}} \ quad x + 3 = 2,}

y por lo tanto

{\ Displaystyle x = -5 \ quad {\ text {o}} \ quad x = -1.}

Esto se puede aplicar a cualquier ecuación cuadrática. Cuando x ² tiene un coeficiente distinto de 1, el primer paso es dividir la ecuación por este coeficiente: para ver un ejemplo, consulte el caso no monico a continuación.

Raíces irracionales y complejas

A diferencia de los métodos que involucran factorizar la ecuación, que es confiable solo si las raíces son racionales , completar el cuadrado encontrará las raíces de una ecuación cuadrática incluso cuando esas raíces sean irracionales o complejas . Por ejemplo, considere la ecuación

{\ Displaystyle x ^ {2} -10x + 18 = 0.}

Completando el cuadrado da

{\ displaystyle (x-5) ^ {2} -7 = 0,}

entonces

{\ displaystyle (x-5) ^ {2} = 7.}

Entonces tambien

{\ Displaystyle x-5 = - {\ sqrt {7}} \ quad {\ text {o}} \ quad x-5 = {\ sqrt {7}}.}

En un lenguaje más terso:

{\ Displaystyle x-5 = \ pm {\ sqrt {7}},}

entonces

{\ Displaystyle x = 5 \ pm {\ sqrt {7}}.}

Las ecuaciones con raíces complejas se pueden manejar de la misma manera. Por ejemplo:

{\ Displaystyle {\ begin {array} {c} x ^ {2} + 4x + 5 \, = \, 0 \\ [6pt] (x + 2) ^ {2} +1 \, = \, 0 \ \ [6pt] (x + 2) ^ {2} \, = \, - 1 \\ [6pt] x + 2 \, = \, \ pm i \\ [6pt] x \, = \, - 2 \ pm i. \ end {matriz}}}

Caso no monic

Para una ecuación que involucra una cuadrática no monica, el primer paso para resolverlos es dividir por el coeficiente de x ² . Por ejemplo:

{\ displaystyle {\ begin {array} {c} 2x ^ {2} + 7x + 6 \, = \, 0 \\ [6pt] x ^ {2} + {\ tfrac {7} {2}} x + 3 \, = \, 0 \\ [6pt] \ left (x + {\ tfrac {7} {4}} \ right) ^ {2} - {\ tfrac {1} {16}} \, = \, 0 \\ [6pt] \ left (x + {\ tfrac {7} {4}} \ right) ^ {2} \, = \, {\ tfrac {1} {16}} \\ [6pt] x + {\ tfrac {7} {4}} = {\ tfrac {1} {4}} \ quad {\ text {o}} \ quad x + {\ tfrac {7} {4}} = - {\ tfrac {1} {4 }} \\ [6pt] x = - {\ tfrac {3} {2}} \ quad {\ text {o}} \ quad x = -2. \ End {matriz}}}

Aplicar este procedimiento a la forma general de una ecuación cuadrática conduce a la fórmula cuadrática .

Otras aplicaciones

Integración

Completar el cuadrado puede usarse para evaluar cualquier integral de la forma

{\ Displaystyle \ int {\ frac {dx} {ax ^ {2} + bx + c}}}

usando las integrales básicas

{\ Displaystyle \ int {\ frac {dx} {x ^ {2} -a ^ {2}}} = {\ frac {1} {2a}} \ ln \ left | {\ frac {xa} {x + a}} \ right | + C \ quad {\ text {y}} \ quad \ int {\ frac {dx} {x ^ {2} + a ^ {2}}} = {\ frac {1} {a }} \ arctan \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) + C.}

Por ejemplo, considere la integral

{\ Displaystyle \ int {\ frac {dx} {x ^ {2} + 6x + 13}}.}

Completando el cuadrado en el denominador se obtiene:

{\ Displaystyle \ int {\ frac {dx} {(x + 3) ^ {2} +4}} \, = \, \ int {\ frac {dx} {(x + 3) ^ {2} +2 ^ {2}}}.}

Esto ahora se puede evaluar usando la sustitución u = x + 3, que produce

{\ Displaystyle \ int {\ frac {dx} {(x + 3) ^ {2} +4}} \, = \, {\ frac {1} {2}} \ arctan \ left ({\ frac {x +3} {2}} \ derecha) + C.}

Números complejos

Considere la expresión

{\ Displaystyle | z | ^ {2} -b ^ {*} z-bz ^ {*} + c,}

donde z y b son números complejos , z ^* y b ^* son los conjugados complejos de z y b , respectivamente, y c es un número real . Usando la identidad | u | ² = uu ^* podemos reescribir esto como

{\ Displaystyle | zb | ^ {2} - | b | ^ {2} + c,}

que es claramente una cantidad real. Esto es porque

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} | zb | ^ {2} & {} = (zb) (zb) ^ {*} \\ & {} = (zb) (z ^ {*} - b ^ {* }) \\ & {} = zz ^ {*} - zb ^ {*} - bz ^ {*} + bb ^ {*} \\ & {} = | z | ^ {2} -zb ^ {*} -bz ^ {*} + | b | ^ {2}. \ end {alineado}}}

Como otro ejemplo, la expresión

{\ displaystyle ax ^ {2} + por ^ {2} + c,}

donde una , b , c , x , y y son números reales, con una > 0 y b > 0, se puede expresar en términos de la plaza del valor absoluto de un número complejo. Definir

{\ Displaystyle z = {\ sqrt {a}} \, x + i {\ sqrt {b}} \, y.}

Luego

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} | z | ^ {2} & {} = zz ^ {*} \\ & {} = ({\ sqrt {a}} \, x + i {\ sqrt {b} } \, y) ({\ sqrt {a}} \, xi {\ sqrt {b}} \, y) \\ & {} = ax ^ {2} -i {\ sqrt {ab}} \, xy + i {\ sqrt {ba}} \, yx-i ^ {2} por ^ {2} \\ & {} = ax ^ {2} + por ^ {2}, \ end {alineado}}}

entonces

{\ Displaystyle ax ^ {2} + por ^ {2} + c = | z | ^ {2} + c.}

Matriz idempotente

Una matriz M es idempotente cuando M ² = M . Las matrices idempotentes generalizan las propiedades idempotentes de 0 y 1. Completar el método cuadrado para abordar la ecuación

{\ Displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = a,}

muestra que algunas matrices idempotentes 2 × 2 están parametrizadas por un círculo en el plano ( a , b ):

La matriz ${\ Displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ b & 1-a \ end {pmatrix}}}$ será idempotente siempre ${\ Displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = a,}$ que, al completar el cuadrado, se convierte en

{\ Displaystyle (a - {\ tfrac {1} {2}}) ^ {2} + b ^ {2} = {\ tfrac {1} {4}}.}

En el plano ( a , b ), esta es la ecuación de un círculo con centro (1/2, 0) y radio 1/2.

Perspectiva geométrica

Considere completar el cuadrado de la ecuación

{\ Displaystyle x ^ {2} + bx = a.}

Desde x ² representa el área de un cuadrado con lados de longitud x , y bx representa el área de un rectángulo con lados b y x , el proceso de completar el cuadrado se puede ver como la manipulación visual de rectángulos.

Los intentos simples de combinar los rectángulos x ² y bx en un cuadrado más grande dan como resultado una esquina faltante. El término ( b / 2) ² agregado a cada lado de la ecuación anterior es precisamente el área de la esquina faltante, de donde deriva la terminología "completar el cuadrado".

Una variación de la técnica.

Como se enseña convencionalmente, completar el cuadrado consiste en sumar el tercer término, v ² a

{\ Displaystyle u ^ {2} + 2uv}

para conseguir un cuadrado. También hay casos en los que se puede sumar el término medio, ya sea 2 uv o −2 uv , a

{\ Displaystyle u ^ {2} + v ^ {2}}

para conseguir un cuadrado.

Ejemplo: la suma de un número positivo y su recíproco

Escribiendo

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} x + {1 \ sobre x} & {} = \ left (x-2 + {1 \ over x} \ right) +2 \\ & {} = \ left ({\ sqrt {x}} - {1 \ over {\ sqrt {x}}} \ right) ^ {2} +2 \ end {alineado}}}

mostramos que la suma de un número positivo x y su recíproco es siempre mayor o igual que 2. El cuadrado de una expresión real es siempre mayor o igual que cero, lo que da el límite establecido; y aquí logramos 2 justo cuando x es 1, lo que hace que el cuadrado desaparezca.