En la teoría de conjuntos , un conjunto paradójico es un conjunto que tiene una descomposición paradójica . Una descomposición paradójica de un conjunto son dos familias de subconjuntos disjuntos, junto con acciones de grupo apropiadas que actúan sobre algún universo (del cual el conjunto en cuestión es un subconjunto), de modo que cada partición se puede mapear de nuevo en el conjunto completo usando solo finita muchas funciones distintas (o composiciones de las mismas) para realizar el mapeo. Un conjunto que admite una descomposición tan paradójica donde las acciones pertenecen a un grupo se llama -paradójico o paradójico con respecto a .
Los conjuntos paradójicos existen como consecuencia del Axioma del Infinito . Admitir clases infinitas como conjuntos es suficiente para permitir conjuntos paradójicos.
Definición
Supongamos que un grupo actúa en un set . Luego es -paradójico si existen algunos subconjuntos disjuntos y algunos elementos del grupo tal que: [1]
y
Ejemplos de
Grupo libre
El grupo libre F en dos generadores a, b tiene la descomposicióndonde e es la palabra de identidad yes la colección de todas las palabras (reducidas) que comienzan con la letra i . Esta es una descomposición paradójica porque
Paradoja de Banach-Tarski
El ejemplo más famoso de conjuntos paradójicos es la paradoja de Banach-Tarski , que divide la esfera en conjuntos paradójicos para el grupo ortogonal especial . Este resultado depende del axioma de elección .
Referencias
- ^ Vagón, Stan; Tomkowicz, Grzegorz (2016). La paradoja de Banach-Tarski (segunda ed.). ISBN 978-1-107-04259-9.