En la teoría de conjuntos axiomáticos y las ramas de las matemáticas y la filosofía que lo utilizan, el axioma del infinito es uno de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel . Garantiza la existencia de al menos un conjunto infinito , es decir, un conjunto que contiene los números naturales . Fue publicado por primera vez por Ernst Zermelo como parte de su teoría de conjuntos en 1908. [1]
En palabras, hay un conjunto I (el conjunto que se postula que es infinito), tal que el conjunto vacío está en I , y tal que siempre que cualquier x es miembro de I , el conjunto se forma tomando la unión de x con su singleton { x } es también un miembro de yo . En ocasiones, este conjunto se denomina conjunto inductivo .
Este axioma está estrechamente relacionado con la construcción de von Neumann de los números naturales en la teoría de conjuntos, en la que el sucesor de x se define como x ∪ { x }. Si x es un conjunto, de los otros axiomas de la teoría de conjuntos se deduce que este sucesor también es un conjunto definido de forma única. Los sucesores se utilizan para definir la codificación habitual de la teoría de conjuntos de los números naturales . En esta codificación, cero es el conjunto vacío:
Una consecuencia de esta definición es que todo número natural es igual al conjunto de todos los números naturales precedentes. El recuento de elementos en cada conjunto, en el nivel superior, es el mismo que el número natural representado y la profundidad de anidación del conjunto vacío más profundamente anidado {}, incluida su anidación en el conjunto que representa el número del que está una parte, también es igual al número natural que representa el conjunto.
Esta construcción forma los números naturales. Sin embargo, los otros axiomas son insuficientes para probar la existencia del conjunto de todos los números naturales, ℕ 0 . Por lo tanto, su existencia se toma como un axioma: el axioma del infinito. Este axioma afirma que hay un conjunto I que contiene 0 y se cierra bajo la operación de tomar el sucesor; Es decir, para cada elemento de I , sucesor de dicho elemento sea también en I .
El conjunto infinito I es un superconjunto de los números naturales. Para mostrar que los números naturales en sí mismos constituyen un conjunto, se puede aplicar el esquema de axioma de especificación para eliminar elementos no deseados, dejando el conjunto N de todos los números naturales. Este conjunto es único por el axioma de extensionalidad .