Un n - número parásito (en base 10) es un número natural positivo que se puede multiplicar por n moviendo el dígito más a la derecha de su representación decimal al frente. Aquí n es en sí mismo un número natural positivo de un solo dígito. En otras palabras, la representación decimal sufre un desplazamiento circular a la derecha en un lugar. Por ejemplo, 4 • 128205 = 512820, por lo que 128205 es 4 parásitos. La mayoría de los autores no permiten el uso de ceros a la izquierda y este artículo sigue esa convención. Entonces, aunque 4 • 025641 = 102564, el número 025641 no es 4-parásito.
Derivación
Un n número -parasitic pueden derivarse comenzando con un dígito k (que debe ser igual a n o mayores) en el extremo derecho (unidades) lugar, y de trabajo hasta un dígito a la vez. Por ejemplo, para n = 4 y k = 7
- 4 • 7 = 2 8
- 4 • 8 7 = 3 48
- 4 • 48 7 = 1 948
- 4 • 948 7 = 3 7948
- 4 • 7948 7 = 3 17948
- 4 • 17948 7 = 717948 .
Entonces 179487 es un número de 4 parásitos con un dígito de unidades 7. Otros son 179487179487, 179487179487179487, etc.
Observe que el decimal periódico
Por lo tanto
En general, se puede encontrar un número n -parasitario de la siguiente manera. Elija un número entero de un dígito k tal que k ≥ n , y tome el período del decimal periódico k / (10 n −1). Esto serádonde m es la duración del período; es decir, el orden multiplicativo de 10 módulo (10 n - 1) .
Para otro ejemplo, si n = 2, entonces 10 n - 1 = 19 y el decimal periódico para 1/19 es
Entonces, para 2/19 es el doble de eso:
La longitud m de este período es 18, lo mismo que el orden de 10 módulo 19, por lo que 2 × (10 18 - 1) / 19 = 105263157894736842.
105263157894736842 × 2 = 210526315789473684, que es el resultado de mover el último dígito de 105263157894736842 al frente.
Información Adicional
El algoritmo de derivación paso a paso que se muestra arriba es una gran técnica central, pero no encontrará todos los números n-parásitos. Se atascará en un bucle infinito cuando el número derivado sea igual a la fuente de derivación. Un ejemplo de esto ocurre cuando n = 5 yk = 5. El número n-parásito de 42 dígitos que se va a derivar es 102040816326530612244897959183673469387755. Consulte los pasos en la Tabla Uno a continuación. El algoritmo comienza a construirse de derecha a izquierda hasta que llega al paso 15, luego se produce el bucle infinito. Las líneas 16 y 17 se muestran para mostrar que nada cambia. Hay una solución para este problema y, cuando se aplica, el algoritmo no solo encontrará todos los n números parásitos en base diez, sino que también los encontrará en base 8 y base 16. Mire la línea 15 en la Tabla Dos. La solución, cuando se identifica esta condición y no se ha encontrado el número n -parásito, es simplemente no cambiar el producto de la multiplicación, sino usarlo como está y agregar n (en este caso 5) al final. Después de 42 pasos, se encontrará el número parásito adecuado.
Tabla uno
1. 5 × 5 = 25 - Turno = 55 |
2. 5 × 55 = 275 - Desplazamiento = 755 |
3. 5 × 755 = 3775 - Desplazamiento = 7755 |
4. 5 × 7755 = 38775 - Desplazamiento = 87755 |
5. 5 × 87755 = 438775 - Desplazamiento = 387755 |
6. 5 × 387755 = 1938775 - Desplazamiento = 9387755 |
7. 5 × 9387755 = 46938775 - Mayús = 69387755 |
8. 5 × 69387755 = 346938775 - Mayús = 469387755 |
9. 5 × 469387755 = 2346938775 - Mayús = 3469387755 |
10. 5 × 3469387755 = 17346938775 - Shift = 73469387755 |
11. 5 × 73469387755 = 367346938775 - Shift = 673469387755 |
12. 5 × 673469387755 = 3367346938775 - Shift = 3673469387755 |
13. 5 × 3673469387755 = 18367346938775 - Shift = 83673469387755 |
14. 5 × 83673469387755 = 418367346938775 - Shift = 183673469387755 |
15. 5 × 183673469387755 = 918367346938775 - Shift = 183673469387755 |
16. 5 × 183673469387755 = 918367346938775 - Shift = 183673469387755 |
17. 5 × 183673469387755 = 918367346938775 - Shift = 183673469387755 |
Tabla dos
1. 5 × 5 = 25 - Turno = 55 |
2. 5 × 55 = 275 - Desplazamiento = 755 |
3. 5 × 755 = 3775 - Desplazamiento = 7755 |
4. 5 × 7755 = 38775 - Desplazamiento = 87755 |
5. 5 × 87755 = 438775 - Desplazamiento = 387755 |
6. 5 × 387755 = 1938775 - Desplazamiento = 9387755 |
7. 5 × 9387755 = 46938775 - Mayús = 69387755 |
8. 5 × 69387755 = 346938775 - Mayús = 469387755 |
9. 5 × 469387755 = 2346938775 - Mayús = 3469387755 |
10. 5 × 3469387755 = 17346938775 - Shift = 73469387755 |
11. 5 × 73469387755 = 367346938775 - Shift = 673469387755 |
12. 5 × 673469387755 = 3367346938775 - Shift = 3673469387755 |
13. 5 × 3673469387755 = 18367346938775 - Shift = 83673469387755 |
14. 5 × 83673469387755 = 418367346938775 - Shift = 183673469387755 |
15. 5 × 183673469387755 = 918367346938775 - Shift = 9183673469387755 |
16. 5 × 9183673469387755 = 45918367346938775 - Shift = 59183673469387755 |
17. 5 × 59183673469387755 = 295918367346938775 - Shift = 959183673469387755 |
Hay una condición más a tener en cuenta al trabajar con este algoritmo, no se deben perder los ceros iniciales. Cuando se crea el número de turno, puede contener un cero a la izquierda, que es importante desde el punto de vista posicional y debe llevarse al siguiente paso. Las calculadoras y los métodos matemáticos informáticos eliminarán los ceros iniciales. Mire la Tabla tres a continuación que muestra los pasos de derivación para n = 4 y k = 4. El número de cambio creado en el paso 4, 02564, tiene un cero a la izquierda que se introduce en el paso 5 para crear un producto de cero a la izquierda. El cambio resultante se introduce en el paso 6, que muestra un producto que prueba que el número 4-parásito que termina en 4 es 102564.
Tabla Tres
1. 4 × 4 = 16 - Cambio = 64 |
2. 4 × 64 = 256 - Cambio = 564 |
3. 4 × 564 = 2256 - Desplazamiento = 2564 |
4. 4 × 2564 = 10256 - Desplazamiento = 02564 |
5. 4 × 02564 = 010256 - Desplazamiento = 102564 |
6. 4 × 102564 = 410256 - Desplazamiento = 102564 |
Más pequeño de n números -parasitic
Los números n -parasitarios más pequeños también se conocen como números de Dyson , después de un acertijo sobre estos números planteado por Freeman Dyson . [1] [2] [3] Son: (no se permiten ceros a la izquierda) (secuencia A092697 en la OEIS )
norte | Número n -parasitario más pequeño | Dígitos | Periodo de |
---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | 1/9 |
2 | 105263157894736842 | 18 | 2/19 |
3 | 1034482758620689655172413793 | 28 | 29/3 |
4 | 102564 | 6 | 4/39 |
5 | 142857 | 6 | 7 /49 = séptimo |
6 | 1016949152542372881355932203389830508474576271186440677966 | 58 | 6/59 |
7 | 1014492753623188405797 | 22 | 7/69 |
8 | 1012658227848 | 13 | 8/79 |
9 | 10112359550561797752808988764044943820224719 | 44 | 9/89 |
Nota general
En general, si relajamos las reglas para permitir un cero inicial , entonces hay 9 n números parásitos para cada n . De lo contrario, solo si k ≥ n , los números no comienzan con cero y, por lo tanto, se ajustan a la definición real.
Se pueden construir otros números enteros n -parasitarios por concatenación. Por ejemplo, dado que 179487 es un número de 4 parásitos, también lo son 179487179487, 179487179487179487, etc.
Otras bases
En el sistema duodecimal , los números n -parasitarios más pequeños son: (usando dos y tres invertidos para diez y once, respectivamente) (no se permiten ceros a la izquierda)
norte | Número n -parasitario más pequeño | Dígitos | Periodo de |
---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | 1 / Ɛ |
2 | 10631694842 | Ɛ | 2 / 1Ɛ |
3 | 2497 | 4 | 7 / 2Ɛ = 1/5 |
4 | 10309236 ᘔ 88206164719544 | 1Ɛ | 4 / 3Ɛ |
5 | 1025355 ᘔ 9433073 ᘔ458409919Ɛ715 | 25 | 5 / 4Ɛ |
6 | 1020408142854 ᘔ 997732650 ᘔ 18346916306 | 2Ɛ | 6 / 5Ɛ |
7 | 101899Ɛ864406Ɛ33ᘔᘔ15423913745949305255Ɛ17 | 35 | 7 / 6Ɛ |
8 | 131 ᘔ 8 ᘔ | 6 | ᘔ / 7Ɛ = 2/17 |
9 | 101419648634459Ɛ9384Ɛ26Ɛ533040547216ᘔ1155Ɛ3Ɛ12978ᘔ 399 | 45 | 9 / 8Ɛ |
ᘔ | 14Ɛ36429ᘔ 7085792 | 14 | 12 / 9Ɛ = 2/15 |
Ɛ | 1011235930336 ᘔ 53909 ᘔ873Ɛ325819Ɛ9975055Ɛ54ᘔ 3145 ᘔ42694157078404491Ɛ | 55 | Ɛ / ᘔƐ |
Definición estricta
En una definición estricta, el número mínimo m que comienza con 1 de manera que el cociente m / n se obtiene simplemente desplazando el dígito 1 de m más a la izquierda al extremo derecho son
- 1, 105263157894736842, 1034482758620689655172413793, 102564, 102040816326530612244897959183673469387755, 1016949152542372881355932203389830508474576271186440677966, 1014492753623188405797, 1012658227848, 10112359550561797752808988764044943820224719, 10, 100917431192660550458715596330275229357798165137614678899082568807339449541284403669724770642201834862385321, 100840336134453781512605042016806722689075630252, ... (secuencia A128857 en la OEIS )
Son el período de n / (10 n - 1), también el período del entero decádico - n / (10 n - 1).
Número de dígitos de ellos son
Ver también
Notas
- ^ Dawidoff, Nicholas (25 de marzo de 2009), "El hereje civil" , Revista del New York Times.
- ^ Tierney, John (6 de abril de 2009), "Rompecabezas de matemáticas de cuarto grado de Freeman Dyson" , New York Times.
- ^ Tierney, John (13 de abril de 2009), "Prize for Dyson Puzzle" , New York Times.
Referencias
- CA Pickover , Wonders of Numbers , Capítulo 28, Oxford University Press Reino Unido, 2000.
- Secuencia OEIS : A092697 en la Enciclopedia en línea de secuencias de enteros .
- Bernstein, Leon (1968), "Gemelos multiplicativos y raíces primitivas", Mathematische Zeitschrift , 105 : 49–58, doi : 10.1007 / BF01135448 , MR 0225709