Una estructura de incidencia consta de puntos , líneas y banderas donde un punto se dice que es incidente con una línea Si . Es una geometría parcial ( finita ) si hay enteros tal que:
- Para cualquier par de puntos distintos y , hay como máximo un incidente de línea con ambos.
- Cada línea incide en puntos.
- Cada punto incide en líneas.
- Si un punto y una linea no son incidentes, hay exactamente pares , tal que es incidente con y es incidente con .
Una geometría parcial con estos parámetros se denota por .
Propiedades
- El número de puntos viene dado por y el número de líneas por .
- El gráfico de puntos (también conocido como gráfico de colinealidad ) de unes un gráfico muy regular :.
- Las geometrías parciales son estructuras duales: el dual de un es simplemente un .
Caso especial
- Los cuadriláteros generalizados son exactamente esas geometrías parciales con .
- Los sistemas Steiner son precisamente esas geometrías parciales con .
Generalizaciones
Un espacio lineal parcial de orden se llama geometría semiparcial si hay números enteros tal que:
- Si un punto y una linea no son incidentes, tampoco hay o exactamente pares , tal que es incidente con y es incidente con .
- Cada par de puntos no colineales tienen exactamente vecinos comunes.
Una geometría semiparcial es una geometría parcial si y solo si .
Se puede mostrar fácilmente que el gráfico de colinealidad de dicha geometría es muy regular con los parámetros .
Un buen ejemplo de tal geometría se obtiene tomando los puntos afines de y sólo aquellas líneas que intersecan el plano en el infinito en un punto de un subplano fijo de Baer; tiene parámetros.
Ver también
Referencias
- Brouwer, AE; van Lint, JH (1984), "Gráficos fuertemente regulares y geometrías parciales", en Jackson, DM; Vanstone, SA (eds.), Enumeración y diseño , Toronto: Academic Press, págs. 85-122
- Bose, RC (1963), "Gráficos fuertemente regulares, geometrías parciales y diseños parcialmente equilibrados" , Pacific J. Math. , 13 : 389–419, doi : 10.2140 / pjm.1963.13.389
- De Clerck, F .; Van Maldeghem, H. (1995), "Algunas clases de geometrías de rango 2", Handbook of Incidence Geometry , Amsterdam: North-Holland, págs. 433–475
- Thas, JA (2007), "Partial Geometries", en Colbourn, Charles J .; Dinitz, Jeffrey H. (eds.), Handbook of Combinatorial Designs (2ª ed.), Boca Raton: Chapman & Hall / CRC, págs. 557–561 , ISBN 1-58488-506-8
- Debroey, I .; Thas, JA (1978), "Sobre geometrías semi-parciales", Journal of Combinatorial Theory, Serie A , 25 : 242-250, doi : 10.1016 / 0097-3165 (78) 90016-x