El método de cuadrícula (también conocido como el método de caja ) de multiplicación es un enfoque introductorio a los cálculos de multiplicación de varios dígitos que involucran números mayores que diez. Debido a que a menudo se enseña en la educación matemática en el nivel de la escuela primaria o la escuela primaria , este algoritmo a veces se denomina método de la escuela primaria. [1]
En comparación con la multiplicación larga tradicional , el método de cuadrícula se diferencia en dividir claramente la multiplicación y la suma en dos pasos y en ser menos dependiente del valor posicional.
Si bien es menos eficiente que el método tradicional, la multiplicación de cuadrículas se considera más confiable , ya que es menos probable que los niños cometan errores. La mayoría de los alumnos aprenderán el método tradicional una vez que se sientan cómodos con el método de cuadrícula; pero el conocimiento del método de la cuadrícula sigue siendo un "retroceso" útil, en caso de confusión. También se argumenta que, dado que cualquiera que haga muchas multiplicaciones hoy en día usaría una calculadora de bolsillo, la eficiencia en sí misma es menos importante; igualmente, dado que esto significa que la mayoría de los niños usarán el algoritmo de multiplicación con menos frecuencia, es útil que se familiaricen con un método más explícito (y por lo tanto más memorable).
El uso del método de cuadrícula ha sido estándar en la educación matemática en las escuelas primarias de Inglaterra y Gales desde la introducción de una Estrategia Nacional de Aritmética con su "hora de aritmética" en la década de 1990. También se puede encontrar incluido en varios planes de estudio en otros lugares. Básicamente, el mismo enfoque de cálculo, pero no con la disposición de cuadrícula explícita, también se conoce como algoritmo de productos parciales o método de productos parciales .
Cálculos
Motivación introductoria
El método de la cuadrícula se puede introducir pensando en cómo sumar el número de puntos en una matriz regular, por ejemplo, el número de cuadrados de chocolate en una barra de chocolate. A medida que aumenta el tamaño del cálculo, es más fácil comenzar a contar en decenas; y representar el cálculo como un cuadro que se puede subdividir, en lugar de dibujar una multitud de puntos. [2] [3]
En el nivel más simple, se les puede pedir a los alumnos que apliquen el método a un cálculo como 3 × 17. Al dividir ("dividir") el 17 como (10 + 7), esta multiplicación desconocida se puede calcular como la suma de dos simples multiplicaciones:
10 7 3 30 21
entonces 3 × 17 = 30 + 21 = 51.
Esta es la estructura de "cuadrícula" o "cajas" que da nombre al método de multiplicación.
Ante una multiplicación ligeramente mayor, como 34 × 13, se puede animar a los alumnos a dividirla también en decenas. Entonces, expandiendo 34 como 10 + 10 + 10 + 4 y 13 como 10 + 3, el producto 34 × 13 podría representarse:
10 10 10 4 10 100 100 100 40 3 30 30 30 12
Sumando el contenido de cada fila, es evidente que el resultado final del cálculo es (100 + 100 + 100 + 40) + (30 + 30 + 30 + 12) = 340 + 102 = 442.
Bloques estándar
Una vez que los alumnos se sientan cómodos con la idea de dividir todo el producto en contribuciones de cuadros separados, es un paso natural agrupar las decenas, de modo que el cálculo de 34 × 13 se convierta en
30 4 10 300 40 3 90 12
dando la adición
300 40 90 + 12 ---- 442
entonces 34 × 13 = 442.
Esta es la forma más habitual de cálculo de cuadrícula. En países como el Reino Unido, donde la enseñanza del método de cuadrícula es habitual, los alumnos pueden pasar un período considerable de tiempo estableciendo cálculos como el anterior, hasta que el método sea completamente cómodo y familiar.
Números más grandes
El método de cuadrícula se extiende directamente a los cálculos que involucran números más grandes.
Por ejemplo, para calcular 345 × 28, el estudiante podría construir la cuadrícula con seis multiplicaciones fáciles
300 40 5 20 6000 800 100 8 2400 320 40
para encontrar la respuesta 6900 + 2760 = 9660.
Sin embargo, en esta etapa (al menos en la práctica docente estándar actual del Reino Unido) se puede empezar a animar a los alumnos a que establezcan dicho cálculo utilizando la forma tradicional de multiplicación larga sin tener que trazar una cuadrícula.
La multiplicación larga tradicional se puede relacionar con una multiplicación de cuadrícula en la que solo uno de los números se divide en partes de decenas y unidades para multiplicar por separado:
345 20 6900 8 2760
El método tradicional es, en última instancia, más rápido y mucho más compacto; pero requiere dos multiplicaciones significativamente más difíciles con las que los alumnos pueden tener dificultades al principio [ cita requerida ] . En comparación con el método de cuadrícula, la multiplicación larga tradicional también puede ser más abstracta [ cita requerida ] y menos manifiestamente clara [ cita requerida ] , por lo que a algunos alumnos les resulta más difícil recordar qué se debe hacer en cada etapa y por qué [ cita requerida ] . Por lo tanto, se puede animar a los alumnos durante bastante tiempo a utilizar el método de cuadrícula más simple junto con el método tradicional de multiplicación larga más eficiente, como verificación y alternativa.
Otras aplicaciones
Fracciones
Aunque normalmente no se enseña como un método estándar para multiplicar fracciones , el método de cuadrícula se puede aplicar fácilmente a casos simples en los que es más fácil encontrar un producto descomponiéndolo.
Por ejemplo, el cálculo 21/2 × 1 1/2 se puede replantear utilizando el método de cuadrícula
2 1/2 1 2 1/2 1/2 1 1/4
para encontrar que el producto resultante es 2 + 1/2 + 1 + 1/4 = 3 3/4
Álgebra
El método de cuadrícula también se puede utilizar para ilustrar la multiplicación de un producto de binomios , como ( a + 3) ( b + 2), un tema estándar en álgebra primaria (aunque uno no se suele encontrar hasta la escuela secundaria ):
a 3 B ab 3 b 2 2 a 6
Así ( a + 3) ( b + 2) = ab + 3 b + 2 a + 6.
Informática
Las CPU de 32 bits generalmente carecen de una instrucción para multiplicar dos enteros de 64 bits. Sin embargo, la mayoría de las CPU admiten una instrucción "multiplicar con desbordamiento", que toma dos operandos de 32 bits, los multiplica y coloca el resultado de 32 bits en un registro y el desbordamiento en otro, lo que da como resultado un acarreo. Por ejemplo, estos incluyen la umull
instrucción agregada en el conjunto de instrucciones ARMv4t o la pmuludq
instrucción agregada en SSE2 que opera en los 32 bits inferiores de un registro SIMD que contiene dos carriles de 64 bits.
En las plataformas que admiten estas instrucciones, se utiliza una versión ligeramente modificada del método de cuadrícula. Las diferencias son:
- En lugar de operar en múltiplos de 10, operan en enteros de 32 bits.
- En lugar de multiplicar los bits más altos por diez, se multiplican por
0x100000000
. Por lo general, esto se hace desplazándose 32 hacia la izquierda o colocando el valor en un registro específico que represente los 32 bits más altos. - Cualquier valor que se encuentre por encima del bit 64 se truncará. Esto significa que no es necesario multiplicar los bits más altos, porque el resultado se desplazará fuera del rango de 64 bits. Esto también significa que solo se requiere una multiplicación de 32 bits para los múltiplos más altos.
B a D - anuncio C antes de Cristo C.A
Esta sería la rutina en C:
#include uint64_t multiply ( uint64_t ab , uint64_t cd ) { / * Estos cambios y máscaras suelen ser implícitos, ya que los enteros de 64 bits * a menudo se pasan como 2 registros de 32 bits. * / uint32_t b = ab >> 32 , a = ab & 0xFFFFFFFF ; uint32_t d = cd >> 32 , c = cd & 0xFFFFFFFF ; / * multiplicar con desbordamiento * / uint64_t ac = ( uint64_t ) a * ( uint64_t ) c ; uint32_t alto = ac >> 32 ; / * desbordamiento * / uint32_t low = ac & 0xFFFFFFFF ; / * 32 bits multiplica y suma a bits altos * / alto + = ( a * d ); / * agregar anuncio * / alto + = ( b * c ); / * agregar bc * / / * multiplicar por 0x100000000 (mediante desplazamiento a la izquierda) y agregar a los bits bajos con un binario o. * / return (( uint64_t ) alto << 32 ) | baja ; }
Esta sería la rutina en el ensamblaje de ARM:
multiplicar: @ a = r0 @ b = r1 @ c = r2 @ d = r3 empujar { r4 , lr } @ backup r4 y lr a la pila umull r12 , lr , r2 , r0 @ multiplicar r2 y r0 , almacenar el resultado en R12 y el desbordamiento en lr mla R4 , R2 , R1 , lr @ multiplican R2 y R1 , complemento de izquierda a derecha , y la tienda en R4 mla R1 , R3 , r0 , R4 @ multiplican R3 y R0 , añaden R4 , y tienda en r1 @ el valor está desplazado a la izquierda implícitamente porque los @ altos los bits de un 64 - bit número entero se volvió en r1. mov r0 , r12 @ Conjunto las bajas trozos de la rentabilidad valor a r12 ( ac ) pop { R4 , lr } @ restaurar R4 y lr de la pila bx lr @ regresar las bajas y altas trozos de R0 y R1 , respectivamente
Matemáticas
Matemáticamente, la capacidad de dividir una multiplicación de esta manera se conoce como ley distributiva , que se puede expresar en álgebra como la propiedad de que a ( b + c ) = ab + ac . El método de cuadrícula usa la propiedad distributiva dos veces para expandir el producto, una vez para el factor horizontal y una vez para el factor vertical.
Históricamente, el cálculo de la cuadrícula (modificado ligeramente) fue la base de un método llamado multiplicación de celosía , que era el método estándar de multiplicación de varios dígitos desarrollado en la matemática árabe e hindú medieval. La multiplicación de celosía fue introducida en Europa por Fibonacci a principios del siglo XIII junto con los llamados números arábigos mismos; aunque, al igual que los números también, las formas que sugirió para calcular con ellos fueron inicialmente lentas para ponerse al día. Los huesos de Napier fueron una ayuda de cálculo introducida por el escocés John Napier en 1617 para ayudar en los cálculos del método de celosía.
Ver también
Referencias
- Rob Eastaway y Mike Askew, Matemáticas para mamás y papás , Square Peg, 2010. ISBN 978-0-224-08635-6 . págs. 140-153.
enlaces externos
- Multiplicación larga: el método Box , matemáticas en línea .
- Multiplicación y división largas , BBC GCSE Bitesize