En matemáticas , la pirámide de Pascal es una disposición tridimensional de los números trinomiales, que son los coeficientes de la expansión trinomial y la distribución trinomial . [1] La pirámide de Pascal es el análogo tridimensional del triángulo bidimensional de Pascal , que contiene los números binomiales y se relaciona con la expansión binomial y la distribución binomial . Los números binomiales y trinomiales, coeficientes, expansiones y distribuciones son subconjuntos de las construcciones multinomiales con los mismos nombres.
Estructura del tetraedro
Debido a que el tetraedro es un objeto tridimensional, es difícil mostrarlo en una hoja de papel, una pantalla de computadora u otro medio bidimensional. Suponga que el tetraedro está dividido en varios niveles, pisos, cortes o capas. La capa superior (el ápice) está etiquetada como "Capa 0". Otras capas se pueden considerar como vistas aéreas del tetraedro con las capas anteriores eliminadas. Las primeras seis capas son las siguientes:
|
Las capas del tetraedro se han mostrado deliberadamente con la punta hacia abajo para que no se confundan individualmente con el triángulo de Pascal.
Descripción general del tetraedro
- Hay una simetría de tres vías de los números en cada capa.
- El número de términos en la n- ésima capa es el ( n +1) -ésimo número triangular:.
- La suma de los valores de los números en la n- ésima capa es 3 n .
- Cada número en cualquier capa es la suma de los tres números adyacentes en la capa de arriba.
- Cada número en cualquier capa es una simple proporción de números enteros de los números adyacentes en la misma capa.
- Cada número en cualquier capa es un coeficiente de la distribución trinomial y la expansión trinomial. Esta disposición no lineal facilita:
- mostrar la expansión del trinomio de manera coherente;
- calcular los coeficientes de la distribución trinomial;
- calcula los números de cualquier capa de tetraedro.
- Los números a lo largo de los tres bordes del n º de capa son los números de la n º línea del triángulo de Pascal. Y casi todas las propiedades enumeradas anteriormente tienen paralelos con el triángulo de Pascal y los coeficientes multinomiales.
Conexión de expansión trinomial
Los números del tetraedro se derivan de la expansión trinomial. El n º capa es la matriz de coeficientes individual (no variables o exponentes) de una expresión trinomio (por ejemplo: A + B + C ) elevado a la n º potencia. La enésima potencia del trinomio se expande multiplicando repetidamente el trinomio por sí mismo:
Cada término de la primera expresión se multiplica por cada término de la segunda expresión; y luego se suman los coeficientes de términos semejantes (mismas variables y exponentes). Aquí está la expansión de ( A + B + C ) 4 :
4 A 3 B 1 C 0 + 12 A 2 B 1 C 1 + 12 A 1 B 1 C 2 + 4 A 0 B 1 C 3 +
6 A 2 B 2 C 0 + 12 A 1 B 2 C 1 + 6 A 0 B 2 C 2 +
4 A 1 B 3 C 0 + 4 A 0 B 3 C 1 +
Escribir la expansión de esta manera no lineal muestra la expansión de una manera más comprensible. También hace que la conexión con el tetraedro sea obvia; los coeficientes aquí coinciden con los de la capa 4. Todos los coeficientes, variables y exponentes implícitos, que normalmente no están escritos, también se muestran para ilustrar otra relación con el tetraedro. (Por lo general, "1 A " es " A "; " B 1 " es " B " y " C 0 " es "1"; etc.) Los exponentes de cada término se suman al número de capa ( n ), o 4 , en este caso. Más significativamente, el valor de los coeficientes de cada término se puede calcular directamente a partir de los exponentes. La fórmula es: ( x + y + z )! / ( x ! × y ! × z !) , donde x, y, z son los exponentes de A, B, C, respectivamente, y "!" significa factorial (por ejemplo: n ! = 1 × 2 × ⋯ × n ). Las fórmulas de exponentes para la cuarta capa son:
Los exponentes de cada término de expansión se pueden ver claramente y estas fórmulas se simplifican a los coeficientes de expansión y los coeficientes de tetraedro de la capa 4.
Conexión de distribución trinomial
Los números del tetraedro también se pueden encontrar en la distribución trinomial. Esta es una distribución de probabilidad discreta que se utiliza para determinar la probabilidad de que ocurra una combinación de eventos dados tres resultados posibles: el número de formas en que los eventos podrían ocurrir se multiplica por las probabilidades de que ocurran. La fórmula para la distribución trinomial es:
donde x, y, z son el número de veces que ocurre cada uno de los tres resultados; n es el número de intentos y es igual a la suma de x + y + z ; y P A , P B , P C son las probabilidades de que ocurra cada uno de los tres eventos.
Por ejemplo, en una elección a tres, los candidatos obtuvieron estos votos: A, 16%; B, 30%; C, 54%. ¿Cuál es la probabilidad de que un grupo de enfoque de cuatro personas seleccionado al azar contenga los siguientes votantes: 1 para A, 1 para B, 2 para C? La respuesta es:
[4! / (1! × 1! × 2!)] × [(16%) 1 × (30%) 1 × (54%) 2 ] = 12 × 0.0140 = 17%
El número 12 es el coeficiente de esta probabilidad y es el número de combinaciones que pueden llenar este grupo de enfoque "112". Hay 15 arreglos diferentes de grupos focales de cuatro personas que se pueden seleccionar. Las expresiones para los 15 de estos coeficientes son:
El numerador de estas fracciones (encima de la línea) es el mismo para todas las expresiones. Es el tamaño de la muestra, un grupo de cuatro personas, e indica que los coeficientes de estos arreglos se pueden encontrar en la Capa 4 del Tetraedro. Los tres números del denominador (debajo de la línea) son el número de miembros del grupo de enfoque que votaron por A, B, C, respectivamente.
La taquigrafía se usa normalmente para expresar funciones combinatorias en el siguiente formato "elegir" (que se lee como "4 elegir 4, 0, 0", etc.).
Pero el valor de estas expresiones sigue siendo igual a los coeficientes de la cuarta capa del tetraedro. Y se pueden generalizar a cualquier Capa cambiando el tamaño de la muestra ( n ).
Esta notación facilita la expresión de la suma de todos los coeficientes de la Capa n :
Suma de coeficientes entre capas
Los números en cada capa ( n ) del Tetraedro son la suma de los tres números adyacentes en la capa ( n −1) "encima" de él. Esta relación es bastante difícil de ver sin entremezclar las capas. A continuación se muestran los números de la Capa 3 en cursiva intercalados entre los números de la Capa 4 en negrita :
1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||
1 | 3 | 3 | 1 | |||||
4 | 12 | 12 | 4 | |||||
3 | 6 | 3 | ||||||
6 | 12 | 6 | ||||||
3 | 3 | |||||||
4 | 4 | |||||||
1 | ||||||||
1 |
La relación está ilustrada por el número central inferior 12 de la 4ª Capa. Está "rodeado" por tres números de la 3ª Capa: 6 al "norte", 3 al "suroeste", 3 al "sureste". (Los números a lo largo del borde tienen solo dos números adyacentes en la capa "superior" y los tres números de esquina tienen solo un número adyacente en la capa superior, por lo que siempre son "1". Los números que faltan se pueden asumir como " 0 ", por lo que no hay pérdida de generalidad.) Esta relación entre capas adyacentes no es una coincidencia mágica. Más bien, se produce a través del proceso de expansión trinomial de dos pasos.
Continuando con este ejemplo, en el Paso 1, cada término de ( A + B + C ) 3 se multiplica por cada término de ( A + B + C ) 1 . Solo tres de estas multiplicaciones son de interés en este ejemplo:
Término de la capa 3 | Multiplicar por | Término del producto |
---|---|---|
6 A 1 B 1 C 1 | 1 B 1 | 6 A 1 B 2 C 1 |
3 A 1 B 2 C 0 | 1 C 1 | 3 A 1 B 2 C 1 |
3 A 0 B 2 C 1 | 1 A 1 | 3 A 1 B 2 C 1 |
(La multiplicación de variables similares provoca la suma de exponentes; por ejemplo: D 1 × D 2 = D 3. )
Luego, en el Paso 2, la suma de términos semejantes (mismas variables y exponentes) da como resultado: 12 A 1 B 2 C 1 , que es el término de ( A + B + C ) 4 ; mientras que 12 es el coeficiente de la cuarta capa del tetraedro.
Simbólicamente, la relación aditiva se puede expresar como:
- C ( x, y, z ) = C ( x −1 , y, z ) + C ( x, y −1 , z ) + C ( x, y, z −1)
donde C ( x, y, z ) es el coeficiente del término con exponentes x, y, z y es la capa del tetraedro.
Esta relación funcionará solo si la expansión del trinomio se presenta de manera no lineal, como se describe en la sección sobre la "conexión de expansión del trinomio".
Relación entre coeficientes de la misma capa
En cada capa del tetraedro, los números son proporciones simples de números enteros de los números adyacentes. Esta relación se ilustra para los pares adyacentes horizontalmente en la cuarta capa de la siguiente manera:
1 ⟨1: 4⟩ 4 ⟨2: 3⟩ 6 ⟨3: 2⟩ 4 ⟨4: 1⟩ 1
4 ⟨1: 3⟩ 12 ⟨2: 2⟩ 12 ⟨3: 1⟩ 4
6 ⟨1: 2⟩ 12 ⟨2: 1⟩ 6
4 ⟨1: 1⟩ 4
1
Debido a que el tetraedro tiene una simetría de tres vías, la relación de razón también es válida para los pares diagonales (en ambas direcciones), así como para los pares horizontales que se muestran.
Las proporciones están controladas por los exponentes de los términos adyacentes correspondientes de la expansión del trinomio. Por ejemplo, una proporción en la ilustración anterior es:
Los términos correspondientes de la expansión trinomial son:
4 A 3 B 1 C 0 y 12 A 2 B 1 C 1
Las siguientes reglas se aplican a los coeficientes de todos los pares de términos adyacentes de la expansión trinomial:
- El exponente de una de las variables permanece sin cambios ( B en este caso) y puede ignorarse.
- Para las otras dos variables, un exponente aumenta en 1 y un exponente disminuye en 1.
- Los exponentes de A son 3 y 2 (el mayor está en el término de la izquierda).
- Los exponentes de C son 0 y 1 (el mayor está en el término correcto).
- Los coeficientes y exponentes mayores están relacionados:
- 4 × 3 = 12 × 1
- 4/12 = 1/3
- Estas ecuaciones producen la relación: "1: 3".
Las reglas son las mismas para todos los pares horizontales y diagonales. Las variables A, B, C cambiarán.
Esta relación de proporción proporciona otra forma (algo engorrosa) de calcular los coeficientes de tetraedro:
- El coeficiente del término adyacente es igual al coeficiente del término actual multiplicado por el exponente del término actual de la variable decreciente dividido por el exponente del término adyacente de la variable creciente.
La relación de los coeficientes adyacentes puede ser un poco más clara cuando se expresa simbólicamente. Cada término puede tener hasta seis términos adyacentes:
- Para x = 0: C ( x, y, z −1) = C ( x, y −1 , z ) × z / y C ( x, y −1 , z ) = C ( x, y, z −1 ) × y / z
- Para y = 0: C ( x −1 , y, z ) = C ( x, y, z −1) × x / z C ( x, y, z −1) = C ( x −1 , y, z ) × z / x
- Para z = 0: C ( x, y −1 , z ) = C ( x −1 , y, z ) × y / x C ( x −1 , y, z ) = C ( x, y −1 , z ) × x / y
donde C ( x, y, z ) es el coeficiente y x, y, z son los exponentes. En los días previos a las calculadoras de bolsillo y las computadoras personales, este enfoque se utilizó como un atajo escolar para escribir Expansiones Binomiales sin expansiones algebraicas tediosas o cálculos factoriales torpes.
Esta relación funcionará solo si la expansión del trinomio se presenta de manera no lineal, como se describe en la sección sobre la "conexión de expansión del trinomio".
Relación con el triángulo de Pascal
Es bien sabido que los números a lo largo de los tres bordes exteriores de la n- ésima capa del tetraedro son los mismos números que la n- ésima línea del triángulo de Pascal. Sin embargo, la conexión es mucho más extensa que una sola fila de números. Esta relación se ilustra mejor comparando el triángulo de Pascal hasta la línea 4 con la capa 4 del tetraedro.
Triángulo de Pascal
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
Capa de tetraedro 4
1 4 6 4 1
4 12 12 4
6 12 6
4 4
1
La multiplicación de los números de cada línea de abajo el triángulo de Pascal al n º línea por los números de la n º Línea genera el n º Capa del tetraedro. En el siguiente ejemplo, las líneas del triángulo de Pascal están en cursiva y las filas del tetraedro están en negrita . [2]
× 1 =
1
1 1
× 4 =
4 4
1 2 1
× 6 =
6 12 6
1 3 3 1
× 4 =
4 12 12 4
1 4 6 4 1
× 1 =
Los multiplicadores (1 4 6 4 1) componen la Línea 4 del triángulo de Pascal.
Esta relación demuestra la forma más rápida y sencilla de calcular los números de cualquier capa del tetraedro sin calcular factoriales, que rápidamente se convierten en números enormes. (Las calculadoras de precisión extendida se vuelven muy lentas más allá de la capa 200 del tetraedro).
Si los coeficientes del triángulo de Pascal están etiquetados como C ( i, j ) y los coeficientes del tetraedro están etiquetados como C ( n, i, j ), donde n es la capa del tetraedro, i es la fila y j es la columna , entonces la relación se puede expresar simbólicamente como:
- C ( yo, j ) × C ( norte, yo ) = C ( norte, yo, j ) yo = 0 hasta n, j = 0 hasta yo
[Es importante entender que i, j, n no son exponentes aquí, solo índices de etiquetado secuencial.]
Paralelos al triángulo de Pascal y los coeficientes multinomiales
Esta tabla resume las propiedades de la expansión trinomial y la distribución trinomial, y las compara con las expansiones y distribuciones binomiales y multinomiales:
Tipo de polinomio | binomio | tri-nomial | multinomial |
---|---|---|---|
Orden de polinomio | 2 | 3 | metro |
Ejemplo de polinomio | |||
Estructura geométrica [1] | triángulo | tetraedro | m -simplex |
Estructura de elementos | línea | capa | grupo |
Simetría de elemento | 2 vías | 3 vías | m -way |
Número de términos por elemento | n +1 | ( n +1) × ( n +2) / 2 | ( n +1) × ( n +2) × ... × ( n + m −1) / (( m −1)!) o ( n + m -1)! / ( n ! × ( m -1)!) |
Suma de coeficientes por elemento | 2 n | 3 n | m n |
Ejemplo de término | A x B y | A x B y C z | A x B y C z ... M m |
Suma de exponentes, todos los términos | norte | norte | norte |
Ecuación de coeficiente [2] | n ! / ( x ! × y !) | n ! / ( x ! × y ! × z !) | n ! / ( x 1 ! × x 2 ! × x 3 ! × ... × x m !) |
Suma de coeficientes "arriba" | 2 | 3 | metro |
Razón de coeficientes adyacentes | 2 | 6 | m × ( m −1) |
Otras propiedades
Construcción exponencial
La capa arbitraria n se puede obtener en un solo paso usando la siguiente fórmula:
donde b es la base yd es el número de dígitos de cualquiera de los coeficientes multinomiales centrales , es decir
luego envolviendo los dígitos de su resultado entre d (n + 1) , espaciando d y eliminando los ceros iniciales.
Este método generalizado a una dimensión arbitraria se puede utilizar para obtener cortes de cualquier simplex de Pascal .
Ejemplos de
Para la base b = 10, n = 5, d = 2:
= 1000000000101 5= 1000000000505000000102010000010303010000520302005010510100501 1 1 1 000000000505 00 00 00 00 05 05 .. .. .. .. .5 .5 000000102010 00 00 00 10 20 10 .. .. .. 10 20 10~ 000010303010 ~ 00 00 10 30 30 10 ~ .. .. 10 30 30 10 000520302005 00 05 20 30 20 05 .. .5 20 30 20 .5 010510100501 01 05 10 10 05 01 .1 .5 10 10 .5 .1 envuelto por d (n + 1) espaciado por d ceros iniciales eliminados
Para radix b = 10, n = 20, d = 9:
Suma de coeficientes de una capa por filas
Sumar los números en cada fila de una capa n de la pirámide de Pascal da
donde b es la radix y d es el número de dígitos de la suma de la fila 'central' (el que tiene la mayor suma).
Para la base b = 10:
1 ~ 1 \ 1 ~ 1 \ 1 ~ 1 \ 1 ~ 1 \ 1 ~ 1--- 1 \ 1 ~ 02 \ 2 \ 2 ~ 04 \ 3 \ 3 ~ 06 \ 4 \ 4 ~ 08 1 ----- 1 \ 2 \ 1 ~ 04 \ 3 \ 6 \ 3 ~ 12 \ 6 \ 12 \ 6 ~ 24 1 02 --------- 1 \ 3 \ 3 \ 1 ~ 08 \ 4 \ 12 \ 12 \ 4 ~ 32 1 04 04 ------------- 1 \ 4 \ 6 \ 4 \ 1 ~ 16 1 06 12 08 ------------------ 1 08 24 32 16102 0 102 1 102 2 102 3 102 4
Suma de coeficientes de una capa por columnas
Sumar los números en cada columna de una capa n de la pirámide de Pascal da
donde b es la radix y d es el número de dígitos de la suma de la columna de la 'central' (el que tiene la mayor suma).
Para la base b = 10:
1 | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | | 1 |--- 1 | | 1 | 2 | | 2 | | 3 | | 3 | | 4 | | 4 | | 5 | | 5 | 1 ----- 1 | | 2 | | 1 | 3 | | 6 | | 3 | | 6 | | 12 | | 6 | | 10 | | 20 | | 10 | 1 1 1 --------- 1 | | 3 | | 3 | | 1 | 4 | | 12 | | 12 | | 4 | | 10 | | 30 | | 30 | | 10 | 1 2 3 2 1 ------------- 1 | | 4 | | 6 | | 4 | | 1 | 5 | | 20 | | 30 | | 20 | | 5 | 1 3 6 7 6 3 1 -------------------------- 1 | | 5 | | 10 | | 10 | | 5 | | 1 1 04 10 16 19 16 10 04 01 -------------------------------- 1 05 15 30 45 51 45 30 15 05 01111 0 111 1 111 2 111 3 10 101 4 10 101 5
Uso
En genética, es común usar la pirámide de Pascal para averiguar la proporción entre diferentes genotipos en el mismo cruce. Esto se hace marcando la línea que equivale al número de fenotipos (genotipos + 1). Esa línea será la proporción. [ se necesita más explicación ]
Ver también
Referencias
- ^ Staib, J .; Staib, L. (1978). "La pirámide de Pascal". El profesor de matemáticas . 71 (6): 505–510. JSTOR 27961325 .
- ^ Pedersen, Jean ; Hilton, Peter ; Holton, Derek (2002). Vistas matemáticas: desde una habitación con muchas ventanas . Nueva York, NY [ua]: Springer. ISBN 978-0387950648.