En geometría , la desigualdad de Pedoe (también Neuberg-Pedoe desigualdad ), el nombre de Daniel Pedoe (1910-1998) y Joseph Jean Baptiste Neuberg (1840 a 1926), establece que si un , b , y c son las longitudes de los lados de una triángulo con área ƒ , y A , B y C son las longitudes de los lados de un triángulo con área F , entonces
con igualdad si y solo si los dos triángulos son similares con pares de lados correspondientes ( A, a ), ( B, b ) y ( C, c ).
La expresión de la izquierda no solo es simétrica bajo cualquiera de las seis permutaciones del conjunto {( A , a ), ( B , b ), ( C , c )} de pares, sino que también —quizá no tan obviamente— sigue siendo el mismo si una se intercambia con a y B con B y C con C . En otras palabras, es una función simétrica del par de triángulos.
La desigualdad de Pedoe es una generalización de la desigualdad de Weitzenböck , que es el caso en el que uno de los triángulos es equilátero .
Pedoe descubrió la desigualdad en 1941 y la publicó posteriormente en varios artículos. Más tarde se enteró de que la desigualdad ya era conocida en el siglo XIX por Neuberg, quien sin embargo no probó que la igualdad implique la similitud de los dos triángulos.
Ver también
Referencias
- Daniel Pedoe : Una desigualdad que conecta dos triángulos cualesquiera . The Mathematical Gazette, vol. 25, núm. 267 (diciembre de 1941), págs. 310-311 ( JSTOR )
- Daniel Pedoe: Una desigualdad de dos triángulos . The American Mathematical Monthly , volumen 70, número 9, página 1012, noviembre de 1963.
- Daniel Pedoe: una desigualdad para dos triángulos . Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge , volumen 38, parte 4, página 397, 1943.
- Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Cuando menos es más: Visualización de desigualdades básicas . MAA, 2009, ISBN 978-0-88385-342-9 , pág. 108
- DS Mitrinović, Josip Pečarić: Acerca de las desigualdades de Neuberg-Pedoe y Oppenheim . Journal of Mathematical Analysis and Applications 129 (1): 196–210 · Enero de 1988 ( copia en línea )