En matemáticas , la desigualdad de Weitzenböck , llamada así por Roland Weitzenböck , establece que para un triángulo de longitudes de lados, , y área , se cumple la siguiente desigualdad:
La igualdad ocurre si y solo si el triángulo es equilátero. La desigualdad de Pedoe es una generalización de la desigualdad de Weitzenböck. La desigualdad de Hadwiger-Finsler es una versión reforzada de la desigualdad de Weitzenböck.
Interpretación y demostración geométricas
Reescribir la desigualdad anterior permite una interpretación geométrica más concreta, que a su vez proporciona una prueba inmediata. [1]
Ahora, los sumandos en el lado izquierdo son las áreas de triángulos equiláteros erigidos sobre los lados del triángulo original y, por lo tanto, la inecuación establece que la suma de áreas de los triángulos equiláteros es siempre mayor o igual al triple del área del triángulo original.
Esto ahora se puede demostrar replicando el área del triángulo tres veces dentro de los triángulos equiláteros. Para lograr que el punto de Fermat se utilice para dividir el triángulo en tres subtriángulos obtusos con unángulo y cada uno de esos subtriángulos se replica tres veces dentro del triángulo equilátero junto a él. Esto solo funciona si cada ángulo del triángulo es menor que, ya que de lo contrario el punto de Fermat no se ubica en el interior del triángulo y se convierte en un vértice. Sin embargo, si un ángulo es mayor o igual a es posible replicar el triángulo completo tres veces dentro del triángulo equilátero más grande, por lo que la suma de áreas de todos los triángulos equiláteros permanece mayor que el área triple del triángulo de todos modos.
Más pruebas
La prueba de esta desigualdad se planteó como una cuestión en la Olimpiada Matemática Internacional de 1961. Aun así, el resultado no es demasiado difícil de derivar utilizando la fórmula de Heron para el área de un triángulo:
Primer método
Se puede demostrar que el área del triángulo interior de Napoleón , que debe ser no negativo, es [2]
por lo que la expresión entre paréntesis debe ser mayor o igual a 0.
Segundo método
Este método asume que no se conocen las desigualdades, excepto que todos los cuadrados son no negativos.
y el resultado sigue inmediatamente al sacar la raíz cuadrada positiva de ambos lados. Desde la primera desigualdad también podemos ver que la igualdad ocurre solo cuando y el triángulo es equilátero.
Tercer método
Esta prueba asume el conocimiento de la desigualdad AM-GM .
Como hemos utilizado la desigualdad media aritmético-geométrica, la igualdad solo ocurre cuando y el triángulo es equilátero.
Cuarto método
Escribir entonces la suma y es decir . Pero, entonces .
Ver también
Notas
Referencias y lectura adicional
- Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Cuando menos es más: Visualización de desigualdades básicas . MAA, 2009, ISBN 9780883853429 , págs. 84-86
- Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: pruebas geométricas de las desigualdades de Weitzenböck y Hadwiger-Finsler . Revista de matemáticas, vol. 81, núm. 3 (junio de 2008), págs. 216–219 ( JSTOR )
- DM Batinetu-Giurgiu, Nicusor Minculete, Nevulai Stanciu: Algunas desigualdades geométricas del tipo Ionescu-Weitzebböck . Revista Internacional de Geometría, vol. 2 (2013), No. 1, abril
- DM Batinetu-Giurgiu, Nevulai Stanciu: La desigualdad Ionescu - Weitzenböck . MateInfo.ro, abril de 2013, ( copia en línea )
- Daniel Pedoe : Sobre algunas desigualdades geométricas . The Mathematical Gazette, vol. 26, núm. 272 (diciembre de 1942), págs.202-208 ( JSTOR )
- Roland Weitzenböck : Über eine Ungleichung in der Dreiecksgeometrie . Mathematische Zeitschrift, Volumen 5, 1919, págs. 137-146 ( copia en línea en Göttinger Digitalisierungszentrum )
- Dragutin Svrtan, Darko Veljan: Versiones no euclidianas de algunas desigualdades clásicas del triángulo . Forum Geometricorum, Volumen 12, 2012, págs. 197–209 ( copia en línea )
- Mihaly Bencze, Nicusor Minculete, Ovidiu T. Pop: Nuevas desigualdades para el triángulo . Revista Matemática Octogon, Vol. 17, No 1, abril de 2009, págs. 70-89 ( copia en línea )
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Desigualdad de Weitzenböck" . MathWorld .
- " La desigualdad de Weitzenböck " , una demostración interactiva de Jay Warendorff - Wolfram Demonstrations Project .