Lápiz (geometría)
En geometría , un lápiz es una familia de objetos geométricos con una propiedad común, por ejemplo, el conjunto de líneas que pasan por un punto dado en un plano , o el conjunto de círculos que pasan por dos puntos dados en un plano.
Aunque la definición de un lápiz es bastante vaga, la característica común es que el lápiz está completamente determinado por dos de sus miembros. De manera análoga, un conjunto de objetos geométricos que están determinados por tres de sus miembros se llama paquete . [1] Por lo tanto, el conjunto de todas las líneas que pasan por un punto en tres espacios es un conjunto de líneas, dos de las cuales determinan un lápiz de líneas. Para enfatizar la naturaleza bidimensional de un lápiz de este tipo, a veces se lo denomina lápiz plano . [2]
Cualquier objeto geométrico se puede utilizar en un lápiz. Los comunes son líneas, planos, círculos, cónicas, esferas y curvas generales. Incluso se pueden usar puntos. Un lápiz de puntos es el conjunto de todos los puntos de una línea determinada. [1] Un término más común para este conjunto es un rango de puntos.
En un plano , sean uyv dos rectas intersecantes distintas . Para ser concretos, suponga que u tiene la ecuación, aX + bY + c = 0 yv tiene la ecuación a'X + b'Y + c ′ = 0 . Entonces
representa, para escalares adecuados λ y μ , cualquier línea que pasa por la intersección de u = 0 y v = 0. Este conjunto de líneas que pasan por un punto común se llama lápiz de líneas . [3] El punto común de un lápiz de líneas se llama vértice del lápiz.
En un plano afín con la variante reflexiva del paralelismo , un conjunto de líneas paralelas forma una clase de equivalencia llamada lápiz de líneas paralelas . [4] Esta terminología es consistente con la definición anterior, ya que en la extensión proyectiva única del plano afín a un plano proyectivo, se agrega un solo punto ( punto en el infinito ) a cada línea en el lápiz de líneas paralelas, lo que lo convierte en un lápiz. en el sentido anterior en el plano proyectivo.
