Umbral de percolación

Threshold of percolation theory models

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El umbral de percolación es un concepto matemático en la teoría de la percolación que describe la formación de conectividad de largo alcance en sistemas aleatorios . Por debajo del umbral no existe un componente gigante conectado ; mientras que por encima de él, existe un componente gigante del orden del tamaño del sistema. En la ingeniería y la fabricación de café , la percolación representa el flujo de fluidos a través de medios porosos , pero en los mundos de las matemáticas y la física generalmente se refiere a modelos de celosía simplificados de sistemas o redes aleatorios ( gráficos ) y la naturaleza de la conectividad en ellos. El umbral de percolación es el valor crítico.de la probabilidad de ocupación p , o más generalmente una superficie crítica para un grupo de parámetros p ₁ , p ₂ , ..., de manera que la conectividad infinita ( percolación ) ocurra primero.

Modelos de filtración

El modelo de percolación más común es tomar un retículo regular, como un retículo cuadrado, y convertirlo en una red aleatoria "ocupando" aleatoriamente sitios (vértices) o enlaces (bordes) con una probabilidad p estadísticamente independiente . En un umbral crítico p _c , aparecen por primera vez grandes agrupaciones y conectividad de largo alcance, y esto se denomina umbral de percolación . Dependiendo del método para obtener la red aleatoria, se distingue entre el umbral de percolación del sitio y el umbral de percolación del enlace . Los sistemas más generales tienen varias probabilidades p ₁ , p ₂ , etc., y la transición se caracteriza por unasuperficie crítica o colector . También se pueden considerar sistemas continuos, como discos superpuestos y esferas colocadas al azar, o el espacio negativo ( modelos de queso suizo ).

En los sistemas descritos hasta ahora, se ha asumido que la ocupación de un sitio o enlace es completamente aleatoria; esta es la llamada percolación de Bernoulli . Para un sistema continuo, la ocupación aleatoria corresponde a los puntos colocados por un proceso de Poisson . Otras variaciones implican la percolación correlacionada, como los grupos de percolación relacionados con los modelos de ferromagnetos de Ising y Potts, en los que los enlaces se eliminan mediante el método Fortuin - Kasteleyn . ^[1] En bootstrap o percolación k-sat , los sitios y / o enlaces se ocupan primero y luego se eliminan sucesivamente de un sistema si un sitio no tiene al menos kvecinos. Otro modelo importante de percolación, en una clase de universalidad completamente diferente , es la percolación dirigida , donde la conectividad a lo largo de un enlace depende de la dirección del flujo.

Durante las últimas décadas, se ha realizado una gran cantidad de trabajo para encontrar valores exactos y aproximados de los umbrales de percolación para una variedad de estos sistemas. Los umbrales exactos solo se conocen para ciertas celosías bidimensionales que se pueden dividir en una matriz auto-dual, de modo que bajo una transformación triángulo-triángulo, el sistema sigue siendo el mismo. Los estudios que utilizan métodos numéricos han dado lugar a numerosas mejoras en los algoritmos y varios descubrimientos teóricos.

Simplemente la dualidad en dos dimensiones implica que todas las celosías completamente trianguladas (por ejemplo, triangular, union jack, cross dual, martini dual y asanoha o 3-12 dual, y la triangulación de Delaunay) tienen umbrales de sitio de 1/2, y auto- las celosías dobles (cuadradas, martini-B) tienen umbrales de enlace de 1/2.

La notación como (4,8 ² ) proviene de Grünbaum y Shephard , ^[2] e indica que alrededor de un vértice dado, yendo en el sentido de las agujas del reloj, uno encuentra primero un cuadrado y luego dos octágonos. Además de las once celosías de Arquímedes compuestas por polígonos regulares con cada sitio equivalente, se han estudiado muchas otras celosías más complicadas con sitios de diferentes clases.

Las barras de error en el último dígito o dígitos se muestran con números entre paréntesis. Por lo tanto, 0,729724 (3) significa 0,729724 ± 0,000003 y 0,74042195 (80) significa 0,74042195 ± 0,00000080. Las barras de error representan de forma diversa una o dos desviaciones estándar en el error neto (incluido el error sistemático estadístico y esperado), o un intervalo de confianza empírico.

Percolación en celosías 2D

Umbrales en celosías de Arquímedes

Esta es una imagen ^[3] de las 11 celosías de Arquímedes o mosaicos uniformes, en la que todos los polígonos son regulares y cada vértice está rodeado por la misma secuencia de polígonos. La notación "(3 ⁴ , 6)", por ejemplo, significa que cada vértice está rodeado por cuatro triángulos y un hexágono. Consulte también Azulejos uniformes .

Enrejado	z	${\displaystyle {\overline {z}}}$	Umbral de filtración del sitio	Umbral de percolación de enlaces
3-12 o (3, 12 2 )	3	3	0,807900764 ... = (1-2 sin ( π / 18)) 1/2 [4]	0,74042195 (80), [5] 0,74042077 (2) [6] 0,740420800 (2), [7] 0,7404207988509 (8), [8] [9] 0,740420798850811610 (2), [10]
cruz, truncada trihexagonal (4, 6, 12)	3	3	0,746, [11] 0,750, [12] 0,747806 (4), [4] 0,7478008 (2) [8]	0,6937314 (1), [8] 0,69373383 (72), [5] 0,693733124922 (2) [10]
octágono cuadrado, baldosas de baño, 4-8, cuadrado truncado (4, 8 2 )	3	-	0,729, [11] 0,729724 (3), [4] 0,7297232 (5) [8]	0,6768, [13] 0,67680232 (63), [5] 0,6768031269 (6), [8] 0,6768031243900113 (3), [10]
nido de abeja (6 3 )	3	3	0,6962 (6), [14] 0,697040230 (5), [8] 0,6970402 (1), [15] 0,6970413 (10), [16] 0,697043 (3), [4]	0,652703645 ... = 1-2 sin (π / 18), 1+ p 3 -3 p 2 = 0 [17]
kagome (3, 6, 3, 6)	4	4	0,652703645 ... = 1 - 2 sin ( π / 18) [17]	0.5244053 (3), [18] 0.52440516 (10), [16] 0.52440499 (2), [15] 0.524404978 (5), [6] 0.52440572 ..., [19] 0.52440500 (1), [7] 0.524404999173 (3), [8] [9] 0.524404999167439 (4) [20] 0.52440499916744820 (1) [10]
rubí, [21] rombitrihexagonal (3, 4, 6, 4)	4	4	0,620, [11] 0,621819 (3), [4] 0,62181207 (7) [8]	0,52483258 (53), [5] 0,5248311 (1), [8] 0,524831461573 (1) [10]
cuadrada (4 4 )	4	4	0.59274 (10), [22] 0.59274605079210 (2), [20] 0.59274601 (2), [8] 0.59274605095 (15), [23] 0.59274621 (13), [24] 0.59274621 (33), [25] 0.59274598 ( 4), [26] [27] 0,59274605 (3), [15] 0,593 (1), [28] 0,591 (1), [29] 0,569 (13) [30]	1/2
chapa hexagonal , hoja de arce [31] (3 4 , 6)	5	5	0.579 [12] 0.579498 (3) [4]	0,43430621 (50), [5] 0,43432764 (3), [8] 0,4343283172240 (6), [10]
cuadrado , rompecabezas (3 2 , 4, 3, 4)	5	5	0.550, [11] [32] 0.550806 (3) [4]	0,41413743 (46), [5] 0,4141378476 (7), [8] 0,4141378565917 (1), [10]
friso, triangular alargado (3 3 , 4 2 )	5	5	0,549, [11] 0,550213 (3), [4] 0,5502 (8) [33]	0,4196 (6), [33] 0,41964191 (43), [5] 0,41964044 (1), [8] 0,41964035886369 (2) [10]
triangular (3 6 )	6	6	1/2	0,347296355 ... = 2 sin ( π / 18), 1 + p 3 - 3 p = 0 [17]

Nota: a veces se usa "hexagonal" en lugar de panal, aunque en algunos campos, una celosía triangular también se llama celosía hexagonal . z = número de coordinación global .

Celosías 2d con barrios extendidos y complejos

En esta sección, sq-1,2,3 corresponde al cuadrado (NN + 2NN + 3NN), ^[34] etc. Equivalente a cuadrado-2N + 3N + 4N, ^[35] sq (1,2,3). ^[36] tri = triangular, hc = panal.

Enrejado	z	Umbral de filtración del sitio	Umbral de percolación de enlaces
cuadrado-1, cuadrado-2, cuadrado-3, cuadrado-5	4	0.5927 ... [34] [35] (sitio cuadrado)
cuadrado-1,2, cuadrado-2,3, cuadrado-3,5	8	0,407 ... [34] [35] [37] (coincidencia de cuadrados)	0,25036834 (6), [15] 0,2503685, [38] 0,25036840 (4) [39]
cuadrado-1,3	8	0.337 [34] [35]	0,2214995 [38]
cuadrado-2,5: 2NN + 5NN	8	0,337 [35]
hc-1,2,3: panal-NN + 2NN + 3NN	12	0.300 [36]
tri-1,2: triangular-NN + 2NN	12	0,295 [36]
tri-2,3: triangular-2NN + 3NN	12	0,232020 (36), [40]
sq-4: cuadrado-4NN	8	0,270 ... [35]
sq-1,5: cuadrado-NN + 5NN	8 (r ≤ 2)	0.277 [35]
sq-1,2,3: cuadrado-NN + 2NN + 3NN	12	0,292, [41] 0,290 (5) [42] 0,289, [12] 0,288, [34] [35]	0.1522203 [38]
cuadrado-2,3,5: cuadrado-2NN + 3NN + 5NN	12	0,288 [35]
sq-1,4: cuadrado-NN + 4NN	12	0,236 [35]
cuadrado-2,4: cuadrado-2NN + 4NN	12	0,225 [35]
tri-4: triangular-4NN	12	0,192450 (36) [40]
tri-1,2,3: triangular-NN + 2NN + 3NN	18	0,225, [41] 0,215, [12] 0,215459 (36) [40]
cuadrado-3,4: 3NN + 4NN	12	0.221 [35]
cuadrado-1, 2, 5: NN + 2NN + 5NN	12	0.240 [35]	0.13805374 [38]
cuadrado-1,3,5: NN + 3NN + 5NN	12	0.233 [35]
cuadrado-4,5: 4NN + 5NN	12	0,199 [35]
cuadrado-1, 2, 4: NN + 2NN + 4NN	dieciséis	0,219 [35]
cuadrado-1,3,4: NN + 3NN + 4NN	dieciséis	0,208 [35]
cuadrado-2, 3, 4: 2NN + 3NN + 4NN	dieciséis	0.202 [35]
cuadrado-1,4,5: NN + 4NN + 5NN	dieciséis	0,187 [35]
cuadrado-2,4,5: 2NN + 4NN + 5NN	dieciséis	0.182 [35]
cuadrado-3, 4, 5: 3NN + 4NN + 5NN	dieciséis	0,179 [35]
cuadrado-1, 2, 3, 5: NN + 2NN + 3NN + 5NN	dieciséis	0,208 [35]	0.1032177 [38]
tri-4,5: 4NN + 5NN	18	0,140250 (36), [40]
cuadrado-1, 2, 3, 4: NN + 2NN + 3NN + 4NN (r≤ )${\displaystyle {\sqrt {5}}}$	20	0,196 [35] 0,196724 (10) [43]	0.0841509 [38]
cuadrado-1, 2, 4, 5: NN + 2NN + 4NN + 5NN	20	0,177 [35]
cuadrado-1,3,4,5: NN + 3NN + 4NN + 5NN	20	0,172 [35]
cuadrados-2,3,4,5: 2NN + 3NN + 4NN + 5NN	20	0,167 [35]
cuadrados-1, 2, 3, 5, 6: NN + 2NN + 3NN + 5NN + 6NN	20		0.0783110 [38]
cuadrado-1, 2, 3, 4, 5: NN + 2NN + 3NN + 4NN + 5NN (r≤ )${\displaystyle {\sqrt {8}}}$	24	0.164 [35]
tri-1,4,5: NN + 4NN + 5NN	24	0,131660 (36) [40]
cuadrado-1, ..., 6: NN + ... + 6NN (r≤3)	28	0.142 [12]	0.0558493 [38]
tri-2,3,4,5: 2NN + 3NN + 4NN + 5NN	30	0,117460 (36) [40]
tri-1, 2, 3, 4, 5: NN + 2NN + 3NN + 4NN + 5NN	36	0,115, [12] 0,115740 (36) [40]
cuadrado-1, ..., 7: NN + ... + 7NN (r≤ )${\displaystyle {\sqrt {10}}}$	36	0.113 [12]	0.04169608 [38]
cuadrado: distancia al cuadrado ≤ 4	40	0.105 (5) [42]
cuadrado- (1, ..., 8: NN + .. + 8NN (r≤ )${\displaystyle {\sqrt {13}}}$	44	0.095765 (5), [43] 0.095 [32]
sq-1, ..., 9: NN + .. + 9NN	48	0.086 [12]	0,02974268 [38]
cuadrado-1, ..., 11: NN + ... + 11NN	60		0.02301190 (3) [38]
cuadrado-1, ... (r ≤ 7)	148		0,008342595 [39]
cuadrado-1, ..., 32: NN + ... + 32NN	224		0,0053050415 (33) [38]
cuadrado-1, ..., 86: NN + ... + 86NN (r≤15)	708		0,001557644 (4) [44]
cuadrado-1, ..., 141: NN + ... + 141NN (r≤ )${\displaystyle {\sqrt {389}}}$	1224		0,000880188 (90) [38]
cuadrado-1, ..., 185: NN + ... + 185NN (r≤23)	1652		0,000645458 (4) [44]
cuadrado-1, ..., 317: NN + ... + 317NN (r≤31)	3000		0,000349601 (3) [44]
cuadrado-1, ..., 413: NN + ... + 413NN (r≤ )${\displaystyle {\sqrt {1280}}}$	4016		0,0002594722 (11) [38]
cuadrado: distancia al cuadrado ≤ 6	84	0,049 (5) [42]
cuadrado: distancia al cuadrado ≤ 8	144	0,028 (5) [42]
cuadrado: distancia al cuadrado ≤ 10	220	0,019 (5) [42]
2x2 cuadrados superpuestos *		0,58365 (2) [43]
Cuadrados superpuestos de 3x3 *		0,59586 (2) [43]

Aquí NN = vecino más cercano, 2NN = segundo vecino más cercano (o próximo vecino más cercano), 3NN = tercer vecino más cercano (o próximo vecino más cercano), etc. Estos también se denominan 2N, 3N, 4N respectivamente en algunos artículos. ^[34]

• Para cuadrados superpuestos, (sitio) dado aquí es la fracción neta de sitios ocupados similar a la percolación en continuo. El caso de un sistema 2 × 2 es equivalente a la percolación de una red cuadrada NN + 2NN + 3NN + 4NN o sq-1,2,3,4 con umbral con . ^[43] El sistema 3 × 3 corresponde a sq-1,2,3,4,5,6,7,8 con z = 44 y . Para cuadrados superpuestos más grandes, consulte. ^[43]${\displaystyle p_{c}}$${\displaystyle \phi _{c}}$${\displaystyle \phi _{c}}$${\displaystyle 1-(1-\phi _{c})^{1/4}=0.196724(10)\ldots }$${\displaystyle \phi _{c}=0.58365(2)}$${\displaystyle p_{c}=1-(1-\phi _{c})^{1/9}=0.095765(5)\ldots }$

Fórmulas aproximadas para los umbrales de las celosías de Arquímedes

Enrejado	z	Umbral de filtración del sitio	Umbral de percolación de enlaces
(3, 12 2 )	3
(4, 6, 12)	3
(4, 8 2 )	3		0,676835 ..., 4 p 3 + 3 p 4 - 6 p 5 - 2 p 6 = 1 [45]
nido de abeja (6 3 )	3
kagome (3, 6, 3, 6)	4		0,524430 ..., 3 p 2 + 6 p 3 - 12 p 4 + 6 p 5 - p 6 = 1 [46]
(3, 4, 6, 4)	4
cuadrada (4 4 )	4		1/2 (exacto)
(3 4 , 6)	5		0,434371 ..., 12 p 3 + 36 p 4 - 21 p 5 - 327 p 6 + 69 p 7 + 2532 p 8 - 6533 p 9 + 8256 p 10 - 6255 p 11 + 2951 p 12 - 837 p 13 + 126 p 14 - 7 p 15 = 1 [ cita requerida ]
cuadrado, rompecabezas (3 2 , 4, 3, 4)	5
(3 3 , 4 2 )	5
triangular (3 6 )	6	1/2 (exacto)

Percolación de enlaces de sitio en 2D

Percolación de la unión del sitio (ambos umbrales se aplican simultáneamente a un sistema).

Celosía cuadrada:

Enrejado	z	${\displaystyle {\overline {z}}}$	Umbral de filtración del sitio	Umbral de percolación de enlaces
cuadrado	4	4	0,615185 (15) [47]	0,95
			0,667280 (15) [47]	0,85
			0,732100 (15) [47]	0,75
			0,75	0,726195 (15) [47]
			0,815560 (15) [47]	0,65
			0,85	0,615810 (30) [47]
			0,95	0,533620 (15) [47]

Celosía de panal (hexagonal):

Enrejado	z	${\displaystyle {\overline {z}}}$	Umbral de filtración del sitio	Umbral de percolación de enlaces
panal	3	3	0,7275 (5) [48]	0,95
			0. 0.7610 (5) [48]	0,90
			0,7986 (5) [48]	0,85
			0,80	0,8481 (5) [48]
			0,8401 (5) [48]	0,80
			0,85	0,7890 (5) [48]
			0,90	0,7377 (5) [48]
			0,95	0,6926 (5) [48]

* Para obtener más valores, consulte Una investigación de la filtración de enlaces al sitio ^[48]

Fórmula aproximada para una celosía de panal.

Enrejado	z	${\displaystyle {\overline {z}}}$	Umbral	Notas
(6 3 ) panal	3	3	${\displaystyle p_{b}p_{s}[1-({\sqrt {p_{bc}}}/(3-p_{bc}))({\sqrt {p_{b}}}-{\sqrt {p_{bc}}})]=p_{bc}}$, Cuando es igual: p s = p b = 0.82199	fórmula aproximada, p s = problema del sitio, p b = problema del enlace, p bc = 1 - 2 sin ( π / 18), [16] exacto en p s = 1, p b = p bc .

Duales de Arquímedes (celosías de Laves)

Las celosías de laves son los duales de las celosías de Arquímedes. Dibujos de. ^[3] Ver también Azulejos uniformes .

Enrejado	z	${\displaystyle {\overline {z}}}$	Umbral de filtración del sitio	Umbral de percolación de enlaces
El Cairo pentagonal D (3 2 , 4,3,4) = (2/3) (5 3 ) + (1/3) (5 4 )	3,4	3⅓	0,6501834 (2), [8] 0,650184 (5) [3]	0.585863 ... = 1 - p c enlace (3 2 , 4,3,4)
Pentagonal D (3 3 , 4 2 ) = (1/3) (5 4 ) + (2/3) (5 3 )	3,4	3⅓	0,6470471 (2), [8] 0,647084 (5), [3] 0,6471 (6) [33]	0.580358 ... = 1 - p c enlace (3 3 , 4 2 ), 0.5800 (6) [33]
D (3 4 , 6) = (1/5) (4 6 ) + (4/5) (4 3 )	3,6	3 3/5	0,639447 [3]	0.565694 ... = 1 - enlace p c (3 4 , 6)
dados, embaldosado rhombille D (3,6,3,6) = (1/3) (4 6 ) + (2/3) (4 3 )	3,6	4	0,5851 (4), [49] 0,585040 (5) [3]	0.475595 ... = 1 - p c enlace (3,6,3,6)
rubí dual D (3, 4, 6, 4) = (1/6) (4 6 ) + (2/6) (4 3 ) + (3/6) (4 4 )	3,4,6	4	0,582410 (5) [3]	0.475167 ... = 1 - p c enlace (3,4,6,4)
Union Jack, azulejos cuadrados tetrakis D (4,8 2 ) = (1/2) (3 4 ) + (1/2) (3 8 )	4,8	6	1/2	0.323197 ... = 1 - p c enlace (4,8 2 )
hexágono bisecado, [50] cruz doble D (4,6,12) = (1/6) (3 12 ) + (2/6) (3 6 ) + (1/2) (3 4 )	4,6,12	6	1/2	0.306266 ... = 1 - p c enlace (4,6,12)
asanoha (hoja de cáñamo) [51] D (3, 12 2 ) = (2/3) (3 3 ) + (1/3) (3 12 )	3,12	6	1/2	0,259579 ... = 1 - enlace p c (3, 12 2 )

2-celosías uniformes

3 celosías superiores: # 13 # 12 # 36
3 celosías inferiores: # 34 # 37 # 11

^[2]

2 celosías superiores: # 35 # 30
2 celosías inferiores: # 41 # 42

^[2]

4 celosías superiores: # 22 # 23 # 21 # 20
3 celosías inferiores: # 16 # 17 # 15

^[2]

2 celosías superiores: # 31 # 32
Celosía inferior: # 33

^[2]

#	Enrejado	z	${\displaystyle {\overline {z}}}$	Umbral de filtración del sitio	Umbral de percolación de enlaces
41	(1/2) (3, 4, 3, 12) + (1/2) (3, 12 2 )	4,3	3,5	0,7680 (2) [52]	0.67493252 (36) [ cita requerida ]
42	(1/3) (3,4,6,4) + (2/3) (4,6,12)	4,3	3 1 ⁄ 3	0,7157 (2) [52]	0.64536587 (40) [ cita requerida ]
36	(1/7) (3 6 ) + (6/7) (3 2 , 4,12)	6,4	4 2 ⁄ 7	0,6808 (2) [52]	0.55778329 (40) [ cita requerida ]
15	(2/3) (3 2 , 6 2 ) + (1/3) (3,6,3,6)	4,4	4	0,6499 (2) [52]	0.53632487 (40) [ cita requerida ]
34	(1/7) (3 6 ) + (6/7) (3 2 , 6 2 )	6,4	4 2 ⁄ 7	0,6329 (2) [52]	0.51707873 (70) [ cita requerida ]
dieciséis	(4/5) (3,4 2 , 6) + (1/5) (3,6,3,6)	4,4	4	0,6286 (2) [52]	0.51891529 (35) [ cita requerida ]
17	(4/5) (3,4 2 , 6) + (1/5) (3,6,3,6) *	4,4	4	0,6279 (2) [52]	0.51769462 (35) [ cita requerida ]
35	(2/3) (3,4 2 , 6) + (1/3) (3,4,6,4)	4,4	4	0,6221 (2) [52]	0.51973831 (40) [ cita requerida ]
11	(1/2) (3 4 , 6) + (1/2) (3 2 , 6 2 )	5,4	4.5	0,6171 (2) [52]	0.48921280 (37) [ cita requerida ]
37	(1/2) (3 3 , 4 2 ) + (1/2) (3,4,6,4)	5,4	4.5	0,5885 (2) [52]	0.47229486 (38) [ cita requerida ]
30	(1/2) (3 2 , 4,3,4) + (1/2) (3,4,6,4)	5,4	4.5	0,5883 (2) [52]	0.46573078 (72) [ cita requerida ]
23	(1/2) (3 3 , 4 2 ) + (1/2) (4 4 )	5,4	4.5	0,5720 (2) [52]	0.45844622 (40) [ cita requerida ]
22	(2/3) (3 3 , 4 2 ) + (1/3) (4 4 )	5,4	4 2 ⁄ 3	0,5648 (2) [52]	0.44528611 (40) [ cita requerida ]
12	(1/4) (3 6 ) + (3/4) (3 4 , 6)	6,5	5 1 ⁄ 4	0,5607 (2) [52]	0.41109890 (37) [ cita requerida ]
33	(1/2) (3 3 , 4 2 ) + (1/2) (3 2 , 4,3,4)	5,5	5	0,5505 (2) [52]	0.41628021 (35) [ cita requerida ]
32	(1/3) (3 3 , 4 2 ) + (2/3) (3 2 , 4,3,4)	5,5	5	0,5504 (2) [52]	0.41549285 (36) [ cita requerida ]
31	(1/7) (3 6 ) + (6/7) (3 2 , 4,3,4)	6,5	5 1 ⁄ 7	0,5440 (2) [52]	0.40379585 (40) [ cita requerida ]
13	(1/2) (3 6 ) + (1/2) (3 4 , 6)	6,5	5.5	0,5407 (2) [52]	0.38914898 (35) [ cita requerida ]
21	(1/3) (3 6 ) + (2/3) (3 3 , 4 2 )	6,5	5 1 ⁄ 3	0,5342 (2) [52]	0.39491996 (40) [ cita requerida ]
20	(1/2) (3 6 ) + (1/2) (3 3 , 4 2 )	6,5	5.5	0,5258 (2) [52]	0.38285085 (38) [ cita requerida ]

Rejilla no homogénea de 2 uniformes

2-celosía uniforme # 37

Esta figura muestra algo similar a la red de 2 uniformes # 37, excepto que los polígonos no son todos regulares (hay un rectángulo en el lugar de los dos cuadrados) y se cambia el tamaño de los polígonos. Esta celosía está en la representación isorradial en la que cada polígono está inscrito en un círculo de unidad de radio. Los dos cuadrados en el retículo uniforme de 2 ahora deben representarse como un solo rectángulo para satisfacer la condición isorradial. La celosía se muestra con bordes negros y la celosía doble con líneas discontinuas rojas. Los círculos verdes muestran la restricción isoradial tanto en el retículo original como en el doble. Los polígonos amarillos resaltan los tres tipos de polígonos en la celosía, y los polígonos rosas resaltan los dos tipos de polígonos en la celosía dual. La celosía tiene tipos de vértice (1/2) (3 ³ , 4 ²) + (1/2) (3,4,6,4), mientras que la red dual tiene tipos de vértice (1/15) (4 ⁶ ) + (6/15) (4 ² , 5 ² ) + (2 / 15) (5 ³ ) + (6/15) (5 ² , 4). El punto crítico es donde los enlaces más largos (tanto en el retículo como en el retículo doble) tienen probabilidad de ocupación p = 2 sin (π / 18) = 0.347296 ... que es el umbral de percolación del enlace en un retículo triangular, y los enlaces más cortos tienen probabilidad de ocupación 1 - 2 sin (π / 18) = 0.652703 ..., que es la percolación del enlace en una red hexagonal. Estos resultados se derivan de la condición isoradial ^[53] pero también se sigue de aplicar la transformación estrella-triángulo a ciertas estrellas en la celosía en forma de panal. Finalmente, se puede generalizar para tener tres probabilidades diferentes en las tres direcciones diferentes, p ₁ , p ₂ y p ₃ para los enlaces largos, y 1 - p ₁ , 1 - p ₂ y 1 - p ₃ para los bonos cortos. , donde p ₁ , p ₂ y p ₃ satisfacen la superficie crítica para la red triangular no homogénea.

Umbrales en celosías 2D de pajarita y martini

A la izquierda, centro y derecha están: la celosía de martini, la celosía de martini-A, la celosía de martini-B. Abajo: la cubierta de martini / celosía medial, igual que la subred 2 × 2, 1 × 1 para celosías tipo kagome (eliminado).

Algunos otros ejemplos de celosías de pajarita generalizadas (ad) y los duales de las celosías (eh):

Enrejado	z	${\displaystyle {\overline {z}}}$	Umbral de filtración del sitio	Umbral de percolación de enlaces
martini (3/4) (3,9 2 ) + (1/4) (9 3 )	3	3	0.764826 ..., 1 + p 4 - 3 p 3 = 0 [54]	0,707107 ... = 1 / √ 2 [55]
pajarita (c)	3,4	3 1/7		0,672929 ..., 1 - 2 p 3 - 2 p 4 - 2 p 5 - 7 p 6 + 18 p 7 + 11 p 8 - 35 p 9 + 21 p 10 - 4 p 11 = 0 [56]
pajarita (d)	3,4	3⅓		0,625457 ..., 1 - 2 p 2 - 3 p 3 + 4 p 4 - p 5 = 0 [56]
martini-A (2/3) (3,7 2 ) + (1/3) (3,7 3 )	3,4	3⅓	1 / √ 2 [56]	0,625457 ..., 1 - 2 p 2 - 3 p 3 + 4 p 4 - p 5 = 0 [56]
pajarita doble (e)	3,4	3⅔		0,595482 ..., enlace 1 p c (pajarita (a)) [56]
pajarita (b)	3,4,6	3⅔		0,533213 ..., 1 - p - 2 p 3 -4p 4 -4p 5 +15 6 + 13p 7 -36p 8 + 19p 9 + p 10 + p 11 = 0 [56]
cobertura de martini / medial (1/2) (3 3 , 9) + (1/2) (3,9,3,9)	4	4	0,707107 ... = 1 / √ 2 [55]	0.57086651 (33) [ cita requerida ] </ref>
martini-B (1/2) (3,5,3,5 2 ) + (1/2) (3,5 2 )	3, 5	4	0,618034 ... = 2 / (1 + √ 5 ), 1- p 2 - p = 0 [54] [56]	1/2 [55] [56]
pajarita doble (f)	3,4,8	4 2/5		0,466787 ..., 1 - p c bond (pajarita (b)) [56]
pajarita (a) (1/2) (3 2 , 4,3 2 , 4) + (1/2) (3,4,3)	4,6	5	0,5472 (2), [33] 0,5479148 (7) [57]	0.404518 ..., 1 - p - 6 p 2 + 6 p 3 - p 5 = 0 [58] [56]
pajarita doble (h)	3,6,8	5		0.374543 ..., 1 - p c bond (pajarita (d)) [56]
pajarita doble (g)	3,6,10	5½	0.547 ... = p c sitio (pajarita (a))	0.327071 ..., 1 - p c bond (pajarita (c)) [56]
martini doble (1/2) (3 3 ) + (1/2) (3 9 )	3,9	6	1/2	0,292893 ... = 1 - 1 / √ 2 [55]

Umbrales en celosías de cobertura, mediales y coincidentes en 2D

Enrejado	z	${\displaystyle {\overline {z}}}$	Umbral de filtración del sitio	Umbral de percolación de enlaces
(4, 6, 12) cobertura / medial	4	4	p c enlace (4, 6, 12) = 0,693731 ...	0.5593140 (2), [8] 0.559315 (1) [ cita requerida ]
(4, 8 2 ) cubriendo / medial, kagome cuadrado	4	4	p c enlace (4,8 2 ) = 0,676803 ...	0.544798017 (4), [8] 0.54479793 (34) [ cita requerida ]
(3 4 , 6) medial	4	4		0,5247495 (5) [8]
(3,4,6,4) medial	4	4		0.51276 [8]
(3 2 , 4, 3, 4) medial	4	4		0,512682929 (8) [8]
(3 3 , 4 2 ) medial	4	4		0,5125245984 (9) [8]
revestimiento cuadrado (no plano)	6	6	1/2	0,3371 (1) [59]
celosía a juego cuadrada (no plana)	8	8	1 - p c sitio (cuadrado) = 0,407253 ...	0,25036834 (6) [15]

(4, 6, 12) recubrimiento / celosía medial

(4, 8 ² ) recubrimiento / celosía medial

(3,12 ² ) recubrimiento / celosía medial (en gris claro), equivalente a la subred kagome (2 × 2), y en negro, el dual de estos enrejados.

(izquierda) (3,4,6,4) recubrimiento / celosía medial, (derecha) (3,4,6,4) doble medial, mostrado en rojo, con celosía medial en gris claro detrás. El patrón de la izquierda aparece en mosaico iraní ^[60] en la torre de la tumba occidental, Kharraqan .

Umbrales en celosías no planas de quimera 2D

Enrejado	z	${\displaystyle {\overline {z}}}$	Umbral de filtración del sitio	Umbral de percolación de enlaces
K (2,2)	4	4	0,51253 (14) [61]	0,44778 (15) [61]
K (3,3)	6	6	0,43760 (15) [61]	0,35502 (15) [61]
K (4,4)	8	8	0,38675 (7) [61]	0,29427 (12) [61]
K (5,5)	10	10	0,35115 (13) [61]	0,25159 (13) [61]
K (6,6)	12	12	0,32232 (13) [61]	0,21942 (11) [61]
K (7,7)	14	14	0,30052 (14) [61]	0,19475 (9) [61]
K (8,8)	dieciséis	dieciséis	0,28103 (11) [61]	0,17496 (10) [61]

Umbrales en celosías de subred

Las celosías kagome de subred de 2 x 2, 3 x 3 y 4 x 4. La subred 2 × 2 también se conoce como la celosía "kagome triangular". ^[62]

Enrejado	z	${\displaystyle {\overline {z}}}$	Umbral de filtración del sitio	Umbral de percolación de enlaces
tablero de ajedrez - subred 2 × 2	4,3			0,596303 (1) [63]
tablero de ajedrez - subred 4 × 4	4,3			0,633685 (9) [63]
tablero de ajedrez - subred 8 × 8	4,3			0,642318 (5) [63]
tablero de ajedrez - subred 16 × 16	4,3			0,64237 (1) [63]
tablero de ajedrez - subred 32 × 32	4,3			0,64219 (2) [63]
tablero de ajedrez - subred${\displaystyle \infty }$	4,3			0,642216 (10) [63]
kagome - subred 2 × 2 = (3, 12 2 ) cobertura / medial	4		p c enlace (3, 12 2 ) = 0,74042077 ...	0,600861966960 (2), [8] 0,6008624 (10), [16] 0,60086193 (3) [6]
kagome - subred 3 × 3	4			0.6193296 (10), [16] 0.61933176 (5), [6] 0.61933044 (32) [ cita requerida ]
kagome - subred 4 × 4	4			0,625365 (3), [16] 0,62536424 (7) [6]
kagome - subred${\displaystyle \infty }$	4			0,628961 (2) [16]
kagome - (1 × 1) :( 2 × 2) subred = cobertura de martini / medial	4		p c enlace (martini) = 1 / √ 2 = 0,707107 ...	0.57086648 (36) [ cita requerida ]
kagome - (1 × 1) :( 3 × 3) subred	4,3		0,728355596425196 ... [6]	0.58609776 (37) [ cita requerida ]
kagome - (1 × 1) :( 4 × 4) subred			0,738348473943256 ... [6]
kagome - (1 × 1) :( 5 × 5) subred			0,743548682503071 ... [6]
kagome - (1 × 1) :( 6 × 6) subred			0,746418147634282 ... [6]
kagome - (2 × 2) :( 3 × 3) subred				0.61091770 (30) [ cita requerida ]
triangular - subred 2 × 2	6,4			0,471628788 [63]
triangular - subred 3 × 3	6,4			0.509077793 [63]
triangular - subred 4 × 4	6,4			0,524364822 [63]
triangular - subred 5 × 5	6,4			0,5315976 (10) [63]
triangular - subred${\displaystyle \infty }$	6,4			0,53993 (1) [63]

Umbrales de objetos adsorbidos secuencialmente aleatorios

(Para obtener más resultados y una comparación con la densidad de interferencia, consulte Adsorción secuencial aleatoria )

sistema	z	Umbral del sitio
dímeros en una celosía de panal	3	0,69, [64] 0,6653 [65]
dímeros en una celosía triangular	6	0,4872 (8), [64] 0,4873, [65] 0,5157 (2) [66]
4-mers lineales en una celosía triangular	6	0,5220 (2) [66]
8-mers lineales en una celosía triangular	6	0,5281 (5) [66]
12-mers lineales en una celosía triangular	6	0,5298 (8) [66]
16 mers lineales sobre una celosía triangular	6	0,5328 (7) [66]
32-mers lineales en una celosía triangular	6	0,5407 (6) [66]
64-mers lineales en una celosía triangular	6	0,5455 (4) [66]
80 metros lineales sobre una celosía triangular	6	0,5500 (6) [66]
k lineal sobre una celosía triangular${\displaystyle \longrightarrow \infty }$	6	0,582 (9) [66]
dímeros y 5% de impurezas, celosía triangular	6	0,4832 (7) [67]
dímeros paralelos en una celosía cuadrada	4	0.5863 [68]
dímeros en una celosía cuadrada	4	0,5617, [68] 0,5618 (1), [69] 0,562, [70] 0,5713 [65]
3-mers lineales en una celosía cuadrada	4	0.528 [70]
Ángulo de 120 ° de 3 sitios, 5% de impurezas, celosía triangular	6	0,4574 (9) [67]
Triángulos de 3 sitios, 5% de impurezas, celosía triangular	6	0,5222 (9) [67]
trímeros lineales y 5% de impurezas, celosía triangular	6	0,4603 (8) [67]
4-mers lineales en una celosía cuadrada	4	0.504 [70]
5-mers lineales en una celosía cuadrada	4	0,490 [70]
6-mers lineales en una celosía cuadrada	4	0,479 [70]
8-mers lineales en una celosía cuadrada	4	0,474, [70] 0,4697 (1) [69]
10 metros lineales en una celosía cuadrada	4	0,469 [70]
16-mers lineales en una celosía cuadrada	4	0,4639 (1) [69]
32-mers lineales en una celosía cuadrada	4	0,4747 (2) [69]

El umbral da la fracción de sitios ocupados por los objetos cuando se produce la percolación del sitio por primera vez (no en el bloqueo total). Para dímeros más largos, consulte la Ref. ^[71]

Umbrales de revestimientos dímeros completos de celosías bidimensionales

Aquí, estamos tratando con redes que se obtienen cubriendo una red con dímeros y luego consideramos la percolación de enlaces en los enlaces restantes. En matemáticas discretas, este problema se conoce como el problema de "correspondencia perfecta" o de "cobertura de dímeros".

sistema	z	Umbral de bonos
Revestimiento paralelo, celosía cuadrada	6	0,381966 ... [72]
Revestimiento desplazado, celosía cuadrada	6	0,347296 ... [72]
Revestimiento escalonado, celosía cuadrada	6	0,376825 (2) [72]
Revestimiento aleatorio, celosía cuadrada	6	0,367713 (2) [72]
Revestimiento paralelo, celosía triangular	10	0,237418 ... [72]
Revestimiento escalonado, celosía triangular	10	0,237497 (2) [72]
Revestimiento aleatorio, celosía triangular	10	0,235340 (1) [72]

Umbrales de polímeros (paseos aleatorios) en una celosía cuadrada

El sistema se compone de recorridos aleatorios ordinarios (que no se evitan) de longitud l en el retículo cuadrado. ^[73]

l (longitud del polímero)	z	Percolación de enlaces
1	4	0,5 (exacto) [74]
2	4	0,47697 (4) [74]
4	4	0,44892 (6) [74]
8	4	0,41880 (4) [74]

Umbrales de recorridos de auto-evitación de longitud k agregados por adsorción secuencial aleatoria

k	z	Umbrales del sitio	Umbrales de bonos
1	4	0,593 (2) [75]	0,5009 (2) [75]
2	4	0,564 (2) [75]	0,4859 (2) [75]
3	4	0,552 (2) [75]	0,4732 (2) [75]
4	4	0,542 (2) [75]	0,4630 (2) [75]
5	4	0,531 (2) [75]	0,4565 (2) [75]
6	4	0,522 (2) [75]	0,4497 (2) [75]
7	4	0,511 (2) [75]	0,4423 (2) [75]
8	4	0.502 (2) [75]	0,4348 (2) [75]
9	4	0,493 (2) [75]	0,4291 (2) [75]
10	4	0,488 (2) [75]	0,4232 (2) [75]
11	4	0,482 (2) [75]	0,4159 (2) [75]
12	4	0,476 (2) [75]	0,4114 (2) [75]
13	4	0,471 (2) [75]	0.4061 (2) [75]
14	4	0,467 (2) [75]	0.4011 (2) [75]
15	4	0.4011 (2) [75]	0,3979 (2) [75]

Umbrales en celosías no homogéneas 2D

Enrejado	z	Umbral de filtración del sitio	Umbral de percolación de enlaces
pajarita con p = 1/2 en un enlace no diagonal	3		0,3819654 (5), [76] [45]${\displaystyle (3-{\sqrt {5}})/2}$

Umbrales para modelos continuos 2D

Percolación continua 2D con discos

Percolación continua 2D con elipses de relación de aspecto 2

Sistema	Φ c	η c	n c
Discos de radio r	0,67634831 (2), [77] 0,6763475 (6), [78] 0,676339 (4), [79] 0,6764 (4), [80] 0,6766 (5), [81] 0,676 (2), [82] 0,679, [83] 0,674 [84] 0,676, [85]	1,12808737 (6), [77] 1,128085 (2), [78] 1,128059 (12), [79] 1,13, [86] 0,8 [87]	1.43632505 (10), [88] 1.43632545 (8), [77] 1.436322 (2), [78] 1.436289 (16), [79] 1.436320 (4), [89] 1.436323 (3), [90] 1.438 ( 2), [91] 1.216 (48) [92]
Elipses, ε = 1,5	0,0043 [83]	0,00431	2.059081 (7) [90]
Elipses, ε = 5/3	0,65 [93]	1,05 [93]	2,28 [93]
Elipses, relación de aspecto ε = 2	0,6287945 (12), [90] 0,63 [93]	0,991000 (3), [90] 0,99 [93]	2,523560 (8), [90] 2,5 [93]
Elipses, ε = 3	0,56 [93]	0,82 [93]	3,157339 (8), [90] 3,14 [93]
Elipses, ε = 4	0,5 [93]	0,69 [93]	3,569706 (8), [90] 3,5 [93]
Elipses, ε = 5	0,455, [83] 0,455, [85] 0,46 [93]	0,607 [83]	3.861262 (12), [90] 3.86 [83]
Elipses, ε = 10	0.301, [83] 0.303, [85] 0.30 [93]	0,358 [83] 0,36 [93]	4.590416 (23) [90] 4.56, [83] 4.5 [93]
Elipses, ε = 20	0,178, [83] 0,17 [93]	0,196 [83]	5,062313 (39), [90] 4,99 [83]
Elipses, ε = 50	0,081 [83]	0,084 [83]	5.393863 (28), [90] 5.38 [83]
Elipses, ε = 100	0,0417 [83]	0,0426 [83]	5.513464 (40), [90] 5.42 [83]
Elipses, ε = 200	0,021 [93]	0.0212 [93]	5.40 [93]
Elipses, ε = 1000	0,0043 [83]	0,00431	5,624756 (22), [90] 5,5
Superelipses, ε = 1, m = 1.5	0,671 [85]
Superelipses, ε = 2.5, m = 1.5	0,599 [85]
Superelipses, ε = 5, m = 1.5	0,469 [85]
Superelipses, ε = 10, m = 1.5	0,322 [85]
disco-rectángulos, ε = 1,5			1.894 [89]
disco-rectángulos, ε = 2			2.245 [89]
Cuadrados alineados de lado ${\displaystyle \ell }$	0,66675 (2), [43] 0,66674349 (3), [77] 0,66653 (1), [94] 0,6666 (4), [95] 0,668 [84]	1.09884280 (9), [77] 1.0982 (3), [94] 1.098 (1) [95]	1.09884280 (9), [77] 1.0982 (3), [94] 1.098 (1) [95]
Cuadrados orientados aleatoriamente	0,62554075 (4), [77] 0,6254 (2) [95] 0,625, [85]	0,9822723 (1), [77] 0,9819 (6) [95] 0,982278 (14) [96]	0,9822723 (1), [77] 0,9819 (6) [95] 0,982278 (14) [96]
Rectángulos, ε = 1,1	0.624870 (7)	0.980484 (19)	1.078532 (21) [96]
Rectángulos, ε = 2	0.590635 (5)	0.893147 (13)	1.786294 (26) [96]
Rectángulos, ε = 3	0.5405983 (34)	0,777830 (7)	2.333491 (22) [96]
Rectángulos, ε = 4	0.4948145 (38)	0.682830 (8)	2.731318 (30) [96]
Rectángulos, ε = 5	0,4551398 (31), 0,451 [85]	0,607226 (6)	3.036130 (28) [96]
Rectángulos, ε = 10	0,3233507 (25), 0,319 [85]	0.3906022 (37)	3.906022 (37) [96]
Rectángulos, ε = 20	0.2048518 (22)	0.2292268 (27)	4.584535 (54) [96]
Rectángulos, ε = 50	0.09785513 (36)	0.1029802 (4)	5.149008 (20) [96]
Rectángulos, ε = 100	0.0523676 (6)	0.0537886 (6)	5.378856 (60) [96]
Rectángulos, ε = 200	0,02714526 (34)	0,02752050 (35)	5.504099 (69) [96]
Rectángulos, ε = 1000	0,00559424 (6)	0,00560995 (6)	5.609947 (60) [96]
Palos de longitud ${\displaystyle \ell }$			5,6372858 (6), [77] 5,63726 (2), [97] 5,63724 (18) [98]
Discos de ley de potencia, x = 2,05	0,993 (1) [99]	4,90 (1)	0.0380 (6)
Discos de ley de potencia, x = 2,25	0,8591 (5) [99]	1.959 (5)	0.06930 (12)
Discos de ley de potencia, x = 2,5	0,7836 (4) [99]	1.5307 (17)	0.09745 (11)
Discos de ley de potencia, x = 4	0,69543 (6) [99]	1.18853 (19)	0.18916 (3)
Discos de ley de potencia, x = 5	0,68643 (13) [99]	1.1597 (3)	0,22149 (8)
Discos de ley de potencia, x = 6	0,68241 (8) [99]	1.1470 (1)	0.24340 (5)
Discos de ley de potencia, x = 7	0,6803 (8) [99]	1.140 (6)	0.25933 (16)
Discos de ley de potencia, x = 8	0,67917 (9) [99]	1,1368 (5)	0.27140 (7)
Discos de ley de potencia, x = 9	0,67856 (12) [99]	1,1349 (4)	0.28098 (9)
Vacíos alrededor de discos de radio r	1 - Φ c (disco) = 0.32355169 (2), [77] 0.318 (2), [100] 0.3261 (6) [101]

${\displaystyle \eta _{c}=\pi r^{2}N/L^{2}}$ es igual al área total crítica para los discos, donde N es el número de objetos y L es el tamaño del sistema.

${\displaystyle 4\eta _{c}}$ da el número de centros de disco dentro del círculo de influencia (radio 2 r).

${\displaystyle r_{c}=L{\sqrt {\frac {\eta _{c}}{\pi N}}}}$ es el radio crítico del disco.

${\displaystyle \eta _{c}=\pi abN/L^{2}}$para elipses de ejes semi-mayor y semi-menor de ayb, respectivamente. Relación de aspecto con .${\displaystyle \epsilon =a/b}$${\displaystyle a>b}$

${\displaystyle \eta _{c}=\ell mN/L^{2}}$para rectángulos de dimensiones y . Relación de aspecto con .${\displaystyle \ell }$${\displaystyle m}$${\displaystyle \epsilon =\ell /m}$${\displaystyle \ell >m}$

${\displaystyle \eta _{c}=\pi xN/(4L^{2}(x-2))}$ de la ley de potencia distribuida con discos , .${\displaystyle {\hbox{Prob(radius}}\geq R)=R^{-x}}$${\displaystyle R\geq 1}$

${\displaystyle \phi _{c}=1-e^{-\eta _{c}}}$ es igual a la fracción de área crítica.

${\displaystyle n_{c}=\ell ^{2}N/L^{2}}$es igual al número de objetos de longitud máxima por unidad de área.${\displaystyle \ell =2a}$

Para elipses, ${\displaystyle n_{c}=(4\epsilon /\pi )\eta _{c}}$

Para la percolación de huecos, es la fracción de huecos crítica.${\displaystyle \phi _{c}=e^{-\eta _{c}}}$

Para obtener más valores de elipse, consulte ^{[93] [90]}

Para obtener más valores de rectángulo, consulte ^[96].

Tanto las elipses como los rectángulos pertenecen a las superelipses, con . Para más valores de percolación de superelipses, consulte. ^[85]${\displaystyle |x/a|^{2m}+|y/b|^{2m}=1}$

Para los sistemas de partículas monodispersas, los umbrales de percolación de superdiscos de forma cóncava se obtienen como se ve en ^[102]

Para las dispersiones binarias de discos, consulte ^{[103] [78] [104]}

Umbrales en 2D aleatorios y cuasi-celosías

Diagrama de Voronoi (líneas continuas) y su dual, la triangulación de Delaunay (líneas punteadas), para una distribución de puntos de Poisson

Triangulación de Delaunay

El gráfico de líneas o cobertura de Voronoi (líneas rojas punteadas) y el diagrama de Voronoi (líneas negras)

El gráfico de vecindad relativa (líneas negras) ^[105] superpuesto a la triangulación de Delaunay (líneas negras más grises).

El gráfico de Gabriel, un subgráfico de la triangulación de Delaunay en el que el círculo que rodea cada borde no encierra ningún otro punto del gráfico.

Triangulación plana infinita uniforme, que muestra grupos de enlaces. De ^[106]

Enrejado	z	${\displaystyle {\overline {z}}}$	Umbral de filtración del sitio	Umbral de percolación de enlaces
Gráfico de vecindad relativa		2.5576	0,796 (2) [105]	0,771 (2) [105]
Teselación de Voronoi	3		0,71410 (2), [107] 0,7151 * [52]	0,68, [108] 0,666931 (5), [107] 0,6670 (1) [109]
Recubrimiento Voronoi / medial	4		0,666931 (2) [107] [109]	0,53618 (2) [107]
Kagome aleatorizado / octágono cuadrado, fracción r = 1/2	4		0.6599 [13]
Penrose rombo doble	4		0,6381 (3) [49]	0,5233 (2) [49]
Gráfico de Gabriel		4	0,6348 (8), [110] 0,62 [111]	0,5167 (6), [110] 0,52 [111]
Teselación de líneas aleatorias, dual		4	0,586 (2) [112]
Rombo de Penrose		4	0.5837 (3), [49] 0.0.5610 (6) (bonos ponderados) [113] 0.58391 (1) [114]	0,483 (5), [115] 0,4770 (2) [49]
Celosía octogonal, enlaces "químicos" ( mosaico de Ammann-Beenker )		4	0,585 [116]	0,48 [116]
Celosía octogonal, enlaces "ferromagnéticos"		5.17	0,543 [116]	0,40 [116]
Celosía dodecagonal, enlaces "químicos"		3,63	0,628 [116]	0,54 [116]
Celosía dodecagonal, enlaces "ferromagnéticos"		4.27	0,617 [116]	0,495 [116]
Triangulación de Delaunay		6	1/2 [117]	0,333069 (2), [107] 0,3333 (1) [109]
Triangulación plana infinita uniforme [118]		6	1/2	(2 √ 3 - 1) / 11 ≈ 0,2240 [106] [119]

* Estimación teórica

Umbrales en sistemas correlacionados 2D

Suponiendo correlaciones de ley de potencias ${\displaystyle C(r)\sim |r|^{-\alpha }}$

enrejado	α	Umbral de filtración del sitio	Umbral de percolación de enlaces
cuadrado	3	0,561406 (4) [120]
cuadrado	2	0,550143 (5) [120]
cuadrado	0,1	0.508 (4) [120]

Umbrales en losas

h es el espesor de la losa, h × ∞ × ∞. Las condiciones de contorno (bc) se refieren a los planos superior e inferior de la losa.

Enrejado	h	z	${\displaystyle {\overline {z}}}$	Umbral de filtración del sitio	Umbral de percolación de enlaces
cúbico simple (abierto bc)	2	5	5	0,47424, [121] 0,4756 [122]
bcc (abierto bc)	2			0,4155 [122]
hcp (abierto bc)	2			0,2828 [122]
diamante (abierto bc)	2			0.5451 [122]
cúbico simple (abierto bc)	3			0,4264 [122]
bcc (abierto bc)	3			0.3531 [122]
bcc (bc periódico)	3				0,21113018 (38) [123]
hcp (abierto bc)	3			0,2548 [122]
diamante (abierto bc)	3			0.5044 [122]
cúbico simple (abierto bc)	4			0.3997, [121] 0.3998 [122]
bcc (abierto bc)	4			0.3232 [122]
bcc (bc periódico)	4				0,20235168 (59) [123]
hcp (abierto bc)	4			0.2405 [122]
diamante (abierto bc)	4			0,4842 [122]
cúbico simple (bc periódico)	5	6	6		0,278102 (5) [123]
cúbico simple (abierto bc)	6			0.3708 [122]
cúbico simple (bc periódico)	6	6	6		0,272380 (2) [123]
bcc (abierto bc)	6			0,2948 [122]
hcp (abierto bc)	6			0.2261 [122]
diamante (abierto bc)	6			0,4642 [122]
cúbico simple (bc periódico)	7	6	6	0,3459514 (12) [123]	0,268459 (1) [123]
cúbico simple (abierto bc)	8			0.3557, [121] 0.3565 [122]
cúbico simple (bc periódico)	8	6	6		0,265615 (5) [123]
bcc (abierto bc)	8			0,2811 [122]
hcp (abierto bc)	8			0,2190 [122]
diamante (abierto bc)	8			0,4549 [122]
cúbico simple (abierto bc)	12			0,3411 [122]
bcc (abierto bc)	12			0,2688 [122]
hcp (abierto bc)	12			0,2117 [122]
diamante (abierto bc)	12			0,4456 [122]
cúbico simple (abierto bc)	dieciséis			0,3219, [121] 0,3339 [122]
bcc (abierto bc)	dieciséis			0.2622 [122]
hcp (abierto bc)	dieciséis			0,2086 [122]
diamante (abierto bc)	dieciséis			0,4415 [122]
cúbico simple (abierto bc)	32			0,3219, [121]
cúbico simple (abierto bc)	64			0,3165, [121]
cúbico simple (abierto bc)	128			0.31398, [121]

Umbrales en celosías 3D

Enrejado	z	${\displaystyle {\overline {z}}}$	factor de llenado *	fracción de llenado *	Umbral de filtración del sitio	Umbral de percolación de enlaces
(10,3) -a óxido (o enlace de sitio) [124]	2 3 3 2	2.4			0,748713 (22) [124]	= ( p c, enlace (10,3) - a ) 1/2 = 0,742334 (25) [125]
(10,3) -b óxido (o enlace de sitio) [124]	2 3 3 2	2.4	0,233 [126]	0,174	0,745317 (25) [124]	= ( p c, enlace (10,3) - b ) 1/2 = 0,739388 (22) [125]
dióxido de silicio (enlace de diamante) [124]	4,2 2	2 ⅔			0,638683 (35) [124]
Modificado (10,3) -b [127]	3 2 , 2	2 ⅔				0,627 [127]
(8,3) -a [125]	3	3			0,577962 (33) [125]	0,555700 (22) [125]
(10,3) -a [125] giroide [128]	3	3			0,571404 (40) [125]	0,551060 (37) [125]
(10,3) -b [125]	3	3			0,565442 (40) [125]	0,546694 (33) [125]
óxido cúbico (enlace de sitio cúbico) [124]	6,2 3	3,5			0,524652 (50) [124]
bcc dual		4			0,4560 (6) [129]	0.4031 (6) [129]
hielo Ih	4	4	pi √ 3 /16 = 0,340087	0,147	0,433 (11) [130]	0,388 (10) [131]
diamante (Ice Ic)	4	4	pi √ 3 /16 = 0,340087	0.1462332	0,4299 (8), [132] 0,4299870 (4), [133] 0,426 (+ 0,08, –0,02), [134] 0,4297 (4) [135] 0,4301 (4), [136] 0,428 (4), [137] 0,425 (15), [138] 0,425, [36] [41] 0,436 (12), [130]	0,3895892 (5), [133] 0,3893 (2), [136] 0,3893 (3), [135] 0,388 (5), [138] 0,3886 (5), [132] 0,388 (5) [137] 0,390 (11), [131]
diamante dual		6 2/3			0,3904 (5) [129]	0,2350 (5) [129]
Kagome 3D (gráfico de cobertura del entramado de diamantes)	6		pi √ 2 /12 = 0,37024	0.1442	0.3895 (2) [139] = p c (sitio) para diamante dual y p c (enlace) para celosía de diamante [129]	0,2709 (6) [129]
Pila de pajarita doble		5⅓			0,3480 (4) [33]	0,2853 (4) [33]
pila de panal	5	5			0.3701 (2) [33]	0.3093 (2) [33]
pila octagonal doble	5	5			0,3840 (4) [33]	0,3168 (4) [33]
pila pentagonal		5⅓			0,3394 (4) [33]	0,2793 (4) [33]
pila de kagome	6	6	0,453450	0,1517	0,3346 (4) [33]	0.2563 (2) [33]
fcc dual	4 2 , 8	5 1/3			0,3341 (5) [129]	0,2703 (3) [129]
cúbico simple	6	6	π / 6 = 0,5235988	0.1631574	0.307 (10), [138] 0.307, [36] 0.3115 (5), [140] 0.3116077 (2), [141] 0.311604 (6), [142] 0,311605 (5), [143] 0,311600 (5), [144] 0,3116077 (4), [145] 0,3116081 (13), [146] 0,3116080 (4), [147] 0,3116060 (48), [148] 0,3116004 ( 35), [149] 0,31160768 (15) [133]	0,247 (5), [138] 0,2479 (4), [132] 0,2488 (2), [150] 0,24881182 (10), [141] 0,2488125 (25), [151] 0,2488126 (5), [152]
hcp dual	4 4 , 8 2	5 1/3			0,3101 (5) [129]	0,2573 (3) [129]
pila de dados	5,8	6	pi √ 3 /9 = 0,604600	0,1813	0,2998 (4) [33]	0,2378 (4) [33]
pila de pajarita	7	7			0,2822 (6) [33]	0,2092 (4) [33]
Triangular apilado / hexagonal simple	8	8			0,26240 (5), [153] 0,2625 (2), [154] 0,2623 (2) [33]	0,18602 (2), [153] 0,1859 (2) [33]
pila octagonal (union-jack)	6,10	8			0,2524 (6) [33]	0.1752 (2) [33]
bcc	8	8			0,243 (10), [138] 0,243, [36] 0,2459615 (10), [147] 0,2460 (3), [155] 0,2464 (7), [132] 0,2458 (2) [136]	0,178 (5), [138] 0,1795 (3), [132] 0,18025 (15), [150] 0,1802875 (10), [152]
cúbico simple con 3NN (igual que bcc)	8	8			0,2455 (1), [156] 0,2457 (7) [157]
fcc	12	12	π / (3 √ 2 ) = 0,740480	0.147530	0,195, [36] 0,198 (3), [158] 0,1998 (6), [132] 0,1992365 (10), [147] 0,19923517 (20), [133] 0,1994 (2) [136]	0,1198 (3) [132] 0,1201635 (10) [152]
hcp	12	12	π / (3 √ 2 ) = 0,740480	0.147545	0,195 (5), [138] 0.1992555 (10) [159]	0,1201640 (10) [159] 0,119 (2) [138]
La 2 − x Sr x Cu O 4	12	12			0.19927 (2) [160]
cúbico simple con 2NN (igual que fcc)	12	12			0,1991 (1) [156]
cúbico simple con NN + 4NN	12	12			0,15040 (12) [161]	0,1068263 (7) [162]
cúbico simple con 3NN + 4NN	14	14			0,20490 (12) [161]	0.1012133 (7) [162]
bcc NN + 2NN (= sc (3,4) sc-3NN + 4NN)	14	14			0,175, [36] 0,1686 (20) [163]	0,0991 (5) [163]
Fibras de nanotubos en FCC	14	14			0,1533 (13) [164]
cúbico simple con NN + 3NN	14	14			0,1420 (1) [156]	0,0920213 (7) [162]
cúbico simple con 2NN + 4NN	18	18			0,15950 (12) [161]	0,0751589 (9) [162]
cúbico simple con NN + 2NN	18	18			0.137, [41] 0.136 [165] 0.1372 (1), [156] 0.13735 (5) [ cita requerida ]	0,0752326 (6) [162]
fcc con NN + 2NN (= sc-2NN + 4NN)	18	18			0,136 [36]
cúbico simple con correlación de corta longitud	6+	6+			0,126 (1) [166]
cúbico simple con NN + 3NN + 4NN	20	20			0,11920 (12) [161]	0,0624379 (9) [162]
cúbico simple con 2NN + 3NN	20	20			0.1036 (1) [156]	0,0629283 (7) [162]
cúbico simple con NN + 2NN + 4NN	24	24			0,11440 (12) [161]	0,0533056 (6) [162]
cúbico simple con 2NN + 3NN + 4NN	26	26			0,11330 (12) [161]	0.0474609 (9)
cúbico simple con NN + 2NN + 3NN	26	26			0.097, [36] 0.0976 (1), [156] 0.0976445 (10) [ cita requerida ]	0,0497080 (10) [162]
bcc con NN + 2NN + 3NN	26	26			0,095 [41]
cúbico simple con NN + 2NN + 3NN + 4NN	32	32			0.10000 (12) [161]	0,0392312 (8) [162]
fcc con NN + 2NN + 3NN	42	42			0.061, [41] 0.0610 (5) [165]
fcc con NN + 2NN + 3NN + 4NN	54	54			0,0500 (5) [165]

Factor de llenado = fracción de espacio llenado al tocar esferas en cada sitio de celosía (solo para sistemas con longitud de unión uniforme). También se llama Factor de Empaque Atómico .

Fracción de llenado (o fracción de llenado crítica) = factor de llenado * p _c (sitio).

NN = vecino más cercano, 2NN = vecino siguiente más cercano, 3NN = vecino siguiente más cercano, etc.

Pregunta: los umbrales de enlace para la red hcp y fcc concuerdan dentro del pequeño error estadístico. ¿Son idénticos y, en caso contrario, a qué distancia están? ¿Qué umbral se espera que sea mayor? Lo mismo ocurre con las celosías de hielo y diamantes. Ver ^[167]

Sistema	polímero Φ c
Percolar volumen excluido de matriz de polímero atérmico (modelo de fluctuación de enlace en red cúbica)	0,4304 (3) [168]

Percolación de dímeros en 3D

Sistema	Umbral de filtración del sitio	Umbral de percolación de enlaces
Cúbico simple		0,2555 (1) [169]

Umbrales para modelos continuos 3D

Todos se superponen excepto las esferas atascadas y la matriz de polímero.

Sistema	Φ c	η c
Esferas de radio r	0,289, [170] 0,293, [171] 0,286, [172] 0,295. [84] 0.2895 (5), [173] 0.28955 (7), [174] 0.2896 (7), [175] 0.289573 (2), [176] 0.2896, [177] 0.2854 [178]	0,3418 (7), [173] 0,341889 (3), [176] 0,3360, [178] 0,34189 (2) [94] [corregido], 0,341935 (8) [179]
Elipsoides oblatos con radio mayor r y relación de aspecto 4/3	0,2831 [178]	0,3328 [178]
Prolate elipsoides con radio menor r y relación de aspecto 3/2	0,2757, [177] 0,2795 [178]	0,3278 [178]
Elipsoides oblatos con radio mayor r y relación de aspecto 2	0,2537, [177] 0,2629 [178]	0.3050 [178]
Prolate elipsoides con radio menor r y relación de aspecto 2	0,2537, [177] 0,2618, [178] 0,25 (2) [180]	0.3035, [178] 0.29 (3) [180]
Elipsoides oblatos con radio mayor r y relación de aspecto 3	0,2289 [178]	0,2599 [178]
Prolate elipsoides con radio menor r y relación de aspecto 3	0,2033, [177] 0,2244, [178] 0,20 (2) [180]	0,2541, [178] 0,22 (3) [180]
Elipsoides oblatos con radio mayor r y relación de aspecto 4	0.2003 [178]	0,2235 [178]
Prolate elipsoides con radio menor r y relación de aspecto 4	0,1901, [178] 0,16 (2) [180]	0,2108, [178] 0,17 (3) [180]
Elipsoides oblatos con radio mayor r y relación de aspecto 5	0,1757 [178]	0,1932 [178]
Prolate elipsoides con radio menor r y relación de aspecto 5	0.1627, [178] 0.13 (2) [180]	0,1776, [178] 0,15 (2) [180]
Elipsoides oblatos con radio mayor r y relación de aspecto 10	0.0895, [177] 0.1058 [178]	0,1118 [178]
Prolate elipsoides con radio menor r y relación de aspecto 10	0.0724, [177] 0.08703, [178] 0.07 (2) [180]	0,09105, [178] 0,07 (2) [180]
Elipsoides oblatos con radio mayor r y relación de aspecto 100	0,01248 [178]	0,01256 [178]
Prolate elipsoides con radio menor r y relación de aspecto 100	0,006949 [178]	0,006973 [178]
Elipsoides oblatos con radio mayor r y relación de aspecto 1000	0,001275 [178]	0,001276 [178]
Elipsoides oblatos con radio mayor r y relación de aspecto 2000	0,000637 [178]	0,000637 [178]
Esferocilindros con H / D = 1	0,2439 (2) [175]
Esferocilindros con H / D = 4	0,1345 (1) [175]
Esferocilindros con H / D = 10	0,06418 (20) [175]
Esferocilindros con H / D = 50	0,01440 (8) [175]
Esferocilindros con H / D = 100	0,007156 (50) [175]
Esferocilindros con H / D = 200	0,003724 (90) [175]
Cilindros alineados	0,2819 (2) [181]	0,3312 (1) [181]
Cubos alineados de lado ${\displaystyle \ell =2a}$	0,2773 (2) [95] 0,27727 (2), [43] 0,27730261 (79) [148]	0,3247 (3), [94] 0,3248 (3), [95] 0,32476 (4) [181] 0,324766 (1) [148]
Icosaedros orientados aleatoriamente		0.3030 (5) [182]
Dodecaedros orientados aleatoriamente		0,2949 (5) [182]
Octaedros orientados aleatoriamente		0,2514 (6) [182]
Cubos de lado orientados aleatoriamente ${\displaystyle \ell =2a}$	0,2168 (2) [95] 0,2174, [177]	0,2444 (3), [95] 0,2443 (5) [182]
Tetraedros orientados aleatoriamente		0,1701 (7) [182]
Discos orientados aleatoriamente de radio r (en 3D)		0,9614 (5) [183]
Placas cuadradas de lado orientadas aleatoriamente ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}r}$		0,8647 (6) [183]
Placas triangulares de lado orientadas aleatoriamente ${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}/3^{1/4}r}$		0,7295 (6) [183]
Vacíos alrededor de discos de radio r		22,86 (2) [184]
Vacíos alrededor de elipsoides achatados de radio mayor r y relación de aspecto 10		15,42 (1) [184]
Vacíos alrededor de elipsoides achatados de radio mayor r y relación de aspecto 2		6.478 (8) [184]
Vacíos alrededor de los hemisferios	0,0455 (6) [185]
Vacíos alrededor de tetraedros alineados	0,0605 (6) [186]
Vacíos alrededor de tetraedros rotados	0,0605 (6) [186]
Vacíos alrededor de cubos alineados	0,036 (1), [43] 0,0381 (3) [186]
Vacíos alrededor de cubos rotados	0,0381 (3) [186]
Vacíos alrededor de octaedros alineados	0,0407 (3) [186]
Vacíos alrededor de octaedros rotados	0,0398 (5) [186]
Vacíos alrededor de dodecaedros alineados	0,0356 (3) [186]
Vacíos alrededor del dodecaedro girado	0,0360 (3) [186]
Vacíos alrededor de icosaedros alineados	0,0346 (3) [186]
Vacíos alrededor de icosaedros rotados	0,0336 (7) [186]
Vacíos alrededor de esferas	0,034 (7), [187] 0,032 (4), [188] 0,030 (2), [100] 0,0301 (3), [189] 0,0294, [190] 0,0300 (3), [191] 0,0317 (4), [192] 0.0308 (5) [185] 0.0301 (1) [186]	3.506 (8), [191] 3.515 (6) [184]
Esferas atascadas (media z = 6)	0.183 (3), [193] 0.1990, [194] Ver también red de contactos de esferas atascadas	0,59 (1) [193]

${\displaystyle \eta _{c}=(4/3)\pi r^{3}N/L^{3}}$ es el volumen total (para esferas), donde N es el número de objetos y L es el tamaño del sistema.

${\displaystyle \phi _{c}=1-e^{-\eta _{c}}}$ es la fracción de volumen crítica.

Para discos y placas, estos son volúmenes efectivos y fracciones de volumen.

Para vacío (modelo "Swiss-Cheese"), es la fracción de vacío crítica.${\displaystyle \phi _{c}=e^{-\eta _{c}}}$

Para obtener más resultados sobre la percolación de vacíos alrededor de elipsoides y placas elípticas, consulte. ^[184]

Para obtener más valores de percolación elipsoide, consulte. ^[178]

Para los esferocilindros, H / D es la relación entre la altura y el diámetro del cilindro, que luego está cubierto por hemisferios. Los valores adicionales se dan en. ^[175]

Para las superbolas, m es el parámetro de deformación, los valores de percolación se dan en., ^{[195] [196]} Además, los umbrales de las superbolas de forma cóncava también se determinan en ^[102]

Para partículas de tipo cuboide (superelipsoides), m es el parámetro de deformación, se dan más valores de percolación. ^[177]

Umbrales en 3D aleatorios y cuasi-celosías

Enrejado	z	${\displaystyle {\overline {z}}}$	Umbral de filtración del sitio	Umbral de percolación de enlaces
Red de contactos de esferas empaquetadas		6	0,310 (5), [193] 0,287 (50), [197] 0,3116 (3), [194]
Teselación de plano aleatorio, dual		6	0,290 (7) [198]
Penrose icosaédrico		6	0,285 [199]	0,225 [199]
Penrose con 2 diagonales		6.764	0,271 [199]	0,207 [199]
Penrose con 8 diagonales		12.764	0,188 [199]	0,111 [199]
Red de Voronoi		15,54	0,1453 (20) [163]	0,0822 (50) [163]

Umbrales para la percolación correlacionada en 3D

Enrejado	z	${\displaystyle {\overline {z}}}$	Umbral de filtración del sitio	Umbral de percolación de enlaces
Percolación de perforación, celosía cúbica simple	6	6	* 0,633965 (15), [200] 0,6339 (5) , [201] 6345 (3) [202]

• En la percolación de perforación, p es la fracción de columnas que no se han eliminado

Umbrales en diferentes espacios dimensionales

Modelos continuos en dimensiones superiores

D	Sistema	Φ c	η c
4	Hiperesferas superpuestas	0.1223 (4) [94]	0,1304 (5) [94]
4	Hipercubos alineados	0.1132 (5), [94] 0.1132348 (17) [148]	0,1201 (6) [94]
4	Vacíos alrededor de hiperesferas	0,00211 (2) [101]	6.161 (10) [101]
5	Hiperesferas superpuestas		0,05443 (7) [94]
5	Hipercubos alineados	0,04900 (7), [94] 0,0481621 (13), [148]	0,05024 (7) [94]
5	Vacíos alrededor de hiperesferas	1,26 (6) x10 −4 [101]	8,98 (4) [101]
6	Hiperesferas superpuestas		0,02339 (5) [94]
6	Hipercubos alineados	0,02082 (8), [94] 0,0213479 (10) [148]	0,02104 (8) [94]
6	Vacíos alrededor de hiperesferas	8,0 (6) x10 −6 [101]	11,74 (8) [101]
7	Hiperesferas superpuestas		0,01051 (3) [94]
7	Hipercubos alineados	0,00999 (5), [94] 0,0097754 (31) [148]	0,01004 (5) [94]
8	Hiperesferas superpuestas		0,004904 (6) [94]
8	Hipercubos alineados		0,004498 (5) [94]
9	Hiperesferas superpuestas		0,002353 (4) [94]
9	Hipercubos alineados		0,002166 (4) [94]
10	Hiperesferas superpuestas		0,001138 (3) [94]
10	Hipercubos alineados		0,001058 (4) [94]
11	Hiperesferas superpuestas		0,0005530 (3) [94]
11	Hipercubos alineados		0,0005160 (3) [94]

${\displaystyle \eta _{c}=(\pi ^{d/2}/\Gamma [d/2+1])r^{d}N/L^{d}.}$

En 4d, .${\displaystyle \eta _{c}=(1/2)\pi ^{2}r^{4}N/L^{4}}$

En 5d, .${\displaystyle \eta _{c}=(8/15)\pi ^{2}r^{5}N/L^{5}}$

En 6d, .${\displaystyle \eta _{c}=(1/6)\pi ^{3}r^{6}N/L^{6}}$

${\displaystyle \phi _{c}=1-e^{-\eta _{c}}}$ es la fracción de volumen crítica.

Para modelos vacíos, es la fracción crítica de vacíos y es el volumen total de los objetos superpuestos.${\displaystyle \phi _{c}=e^{-\eta _{c}}}$${\displaystyle \eta _{c}}$

Umbrales en celosías hipercúbicas

D	z	Umbrales del sitio	Umbrales de bonos
4	8	0,198 (1) [203] 0,197 (6), [204] 0,1968861 (14), [205] 0,196889 (3), [206] 0,196901 (5), [207] 0,19680 (23), [208] 0,1968904 (65 ), [148] 0,19688561 (3) [209]	0,16005 (15), [150] 0,1601314 (13), [205] 0,160130 (3), [206] 0,1601310 (10), [151] 0,1601312 (2), [210] 0,16013122 (6) [209]
5	10	0,141 (1), 0,198 (1) [203] 0,141 (3), [204] 0,1407966 (15), [205] 0,1407966 (26), [148] 0,14079633 (4) [209]	0,11819 (4), [150] 0,118172 (1), [205] 0,1181718 (3) [151] 0,11817145 (3) [209]
6	12	0.106 (1), [203] 0.108 (3), [204] 0.109017 (2), [205] 0.1090117 (30), [148] 0.109016661 (8) [209]	0.0942 (1), [211] 0.0942019 (6), [205] 0.09420165 (2) [209]
7	14	0.05950 (5), [211] 0.088939 (20), [212] 0.0889511 (9), [205] 0.0889511 (90), [148] 0.088951121 (1), [209]	0.078685 (30), [211] 0.0786752 (3), [205] 0.078675230 (2) [209]
8	dieciséis	0.0752101 (5), [205] 0.075210128 (1) [209]	0.06770 (5), [211] 0.06770839 (7), [205] 0.0677084181 (3) [209]
9	18	0,0652095 (3), [205] 0,0652095348 (6) [209]	0,05950 (5), [211] 0,05949601 (5), [205] 0,0594960034 (1) [209]
10	20	0,0575930 (1), [205] 0,0575929488 (4) [209]	0.05309258 (4), [205] 0.0530925842 (2) [209]
11	22	0,05158971 (8), [205] 0,0515896843 (2) [209]	0.04794969 (1), [205] 0.04794968373 (8) [209]
12	24	0.04673099 (6), [205] 0.0467309755 (1) [209]	0,04372386 (1), [205] 0,04372385825 (10) [209]
13	26	0,04271508 (8), [205] 0,04271507960 (10) [209]	0.04018762 (1), [205] 0.04018761703 (6) [209]

Para los umbrales en celosías hipercúbicas de alta dimensión, tenemos las expansiones de series asintóticas ^{[204] [213] [214]}

${\displaystyle p_{c}^{\mathrm {site} }(d)=\sigma ^{-1}+{\frac {3}{2}}\sigma ^{-2}+{\frac {15}{4}}\sigma ^{-3}+{\frac {83}{4}}\sigma ^{-4}+{\frac {6577}{48}}\sigma ^{-5}+{\frac {119077}{96}}\sigma ^{-6}+{\mathcal {O}}(\sigma ^{-7})}$

${\displaystyle p_{c}^{\mathrm {bond} }(d)=\sigma ^{-1}+{\frac {5}{2}}\sigma ^{-3}+{\frac {15}{2}}\sigma ^{-4}+57\sigma ^{-5}+{\frac {4855}{12}}\sigma ^{-6}+{\mathcal {O}}(\sigma ^{-7})}$

donde .${\displaystyle \sigma =2d-1}$

Umbrales en otras celosías de dimensiones superiores

D	enrejado	z	Umbrales del sitio	Umbrales de bonos
4	diamante	5	0,2978 (2) [136]	0,2715 (3) [136]
4	kagome	8	0,2715 (3) [139]	0,177 (1) [136]
4	bcc	dieciséis	0.1037 (3) [136]	0,074 (1), [136] 0,074212 (1) [210]
4	fcc	24	0,0842 (3), [136] 0,08410 (23) [208]	0,049 (1), [136] 0,049517 (1) [210]
4	cúbico NN + 2NN	32	0,06190 (23) [208]	0,035827 (1) [210]
4	cúbico 3NN	32	0,04540 (23) [208]
4	cúbico NN + 3NN	40	0,04000 (23) [208]
4	cúbico 2NN + 3NN	58	0,03310 (23) [208]
4	cúbico NN + 2NN + 3NN	64	0,03190 (23) [208]
5	diamante	6	0,2252 (3) [136]	0,2084 (4) [139]
5	kagome	10	0,2084 (4) [139]	0,130 (2) [136]
5	bcc	32	0,0446 (4) [136]	0,033 (1) [136]
5	fcc	40	0,0431 (3) [136]	0,026 (2) [136]
6	diamante	7	0,1799 (5) [136]	0,1677 (7) [139]
6	kagome	12	0,1677 (7) [139]
6	fcc	60	0,0252 (5) [136]
6	bcc	64	0,0199 (5) [136]

Umbrales en la percolación unidimensional de largo alcance

Modelo de percolación de enlaces de largo alcance. Las líneas representan los posibles enlaces con un ancho que disminuye a medida que disminuye la probabilidad de conexión (panel izquierdo). Una instancia del modelo junto con los clústeres generados (panel derecho).

Umbrales críticos en función de . ^[215] La línea de puntos es el límite inferior riguroso. ^[216]${\displaystyle C_{c}}$${\displaystyle \sigma }$

En una cadena unidimensional, establecemos enlaces entre sitios distintos y con probabilidad que decae como una ley de potencia con un exponente . La percolación se produce ^{[216] [217]} a un valor crítico para . Los umbrales de percolación determinados numéricamente vienen dados por: ^[215]${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle p={\frac {C}{|i-j|^{1+\sigma }}}}$${\displaystyle \sigma >0}$${\displaystyle C_{c}<1}$${\displaystyle \sigma <1}$

${\displaystyle \sigma }$	${\displaystyle C_{c}}$
0,1	0.047685 (8)
0,2	0.093211 (16)
0,3	0.140546 (17)
0.4	0.193471 (15)
0,5	0,25482 (5)
0,6	0.327098 (6)
0,7	0,413752 (14)
0,8	0.521001 (14)
0,9	0.66408 (7)

Umbrales en celosías hiperbólicas, jerárquicas y de árbol

En estas celosías puede haber dos umbrales de percolación: el umbral inferior es la probabilidad por encima de la cual aparecen grupos infinitos y el superior es la probabilidad por encima de la cual hay un grupo infinito único.

Visualización de una red hiperbólica triangular {3,7} proyectada sobre el disco de Poincaré (enlaces rojos). Los enlaces verdes muestran grupos duales en la red {7,3} ^[218]

Representación de la red no plana de Hanoi HN-NP ^[219]

Enrejado	z	${\displaystyle {\overline {z}}}$	Umbral de filtración del sitio		Umbral de percolación de enlaces
			Más bajo	Superior	Más bajo	Superior
{3,7} hiperbólico	7	7	0,26931171 (7), [220] 0,20 [221]	0,73068829 (7), [220] 0,73 (2) [221]	0,20, [222] 0,1993505 (5) [220]	0,37, [222] 0,4694754 (8) [220]
{3,8} hiperbólico	8	8	0,20878618 (9) [220]	0,79121382 (9) [220]	0.1601555 (2) [220]	0,4863559 (6) [220]
{3,9} hiperbólico	9	9	0,1715770 (1) [220]	0,8284230 (1) [220]	0.1355661 (4) [220]	0,4932908 (1) [220]
{4,5} hiperbólico	5	5	0,29890539 (6) [220]	0,8266384 (5) [220]	0,27, [222] 0,2689195 (3) [220]	0,52, [222] 0,6487772 (3) [220]
{4,6} hiperbólico	6	6	0,22330172 (3) [220]	0,87290362 (7) [220]	0,20714787 (9) [220]	0,6610951 (2) [220]
{4,7} hiperbólico	7	7	0,17979594 (1) [220]	0,89897645 (3) [220]	0,17004767 (3) [220]	0,66473420 (4) [220]
{4,8} hiperbólico	8	8	0,151035321 (9) [220]	0,91607962 (7) [220]	0,14467876 (3) [220]	0,66597370 (3) [220]
{4,9} hiperbólico	8	8	0.13045681 (3) [220]	0,92820305 (3) [220]	0.1260724 (1) [220]	0,66641596 (2) [220]
{5,5} hiperbólico	5	5	0,26186660 (5) [220]	0,89883342 (7) [220]	0,263 (10), [223] 0,25416087 (3) [220]	0,749 (10) [223] 0,74583913 (3) [220]
{7,3} hiperbólico	3	3	0,54710885 (10) [220]	0,8550371 (5), [220] 0,86 (2) [221]	0,53, [222] 0,551 (10), [223] 0,5305246 (8) [220]	0,72, [222] 0,810 (10), [223] 0,8006495 (5) [220]
{∞, 3} árbol de Cayley	3	3	1/2		1/2 [222]	1 [222]
Árbol binario mejorado (EBT)					0.304 (1), [224] 0.306 (10), [223] ( √ 13 - 3) / 2 = 0.302776 [225]	0,48, [222] 0,564 (1), [224] 0,564 (10), [223] 1/2 [225]
Árbol binario mejorado dual					0,436 (1), [224] 0,452 (10) [223]	0,696 (1), [224] 0,699 (10) [223]
Red no plana de Hanoi (HN-NP)					0,319445 [219]	0,381996 [219]
Cayley tree con abuelos		8			0,158656326 [226]

Nota: {m, n} es el símbolo de Schläfli, que significa una red hiperbólica en la que n m-gons regulares se encuentran en cada vértice

Para la percolación de enlaces en {P, Q}, tenemos por dualidad . Para la percolación del sitio, debido a la autoajuste de las celosías trianguladas.${\displaystyle p_{c,\ell }(P,Q)+p_{c,u}(Q,P)=1}$${\displaystyle p_{c,\ell }(3,Q)+p_{c,u}(3,Q)=1}$

Árbol de Cayley (Bethe enrejado) con número de coordinación z : p _c = 1 / ( z - 1)

Árbol de Cayley con una distribución de z con media , media cuadrática p _c = ^[227] (sitio o umbral de enlace)${\displaystyle {\overline {z}}}$${\displaystyle {\overline {z^{2}}}:}$ ${\displaystyle {\overline {z}}/({\overline {z^{2}}}-{\overline {z}})}$

Umbrales de percolación dirigida

(1 + 1) D Celosía Kagome

(1 + 1) D Celosía cuadrada

(1 + 1) D Celosía triangular

(2 + 1) D SC Celosía

(2 + 1) D BCC Celosía

Enrejado	z	Umbral de filtración del sitio	Umbral de percolación de enlaces
(1 + 1) -d panal	1,5	0,8399316 (2), [228] 0,839933 (5), [229] de (1 + 1) -d sq.${\displaystyle ={\sqrt {p_{c}({\mathrm {site} })}}}$	0,8228569 (2), [228] 0,82285680 (6) [228]
(1 + 1) -d kagome	2	0,7369317 (2), [228] 0,73693182 (4) [230]	0,6589689 (2), [228] 0,65896910 (8) [228]
(1 + 1) -d cuadrado, diagonal	2	0,705489 (4), [231] 0,705489 (4), [232] 0,70548522 (4), [233] 0,70548515 (20), [230] 0,7054852 (3), [228]	0,644701 (2), [234] 0,644701 (1), [235] 0,644701 (1), [231] 0,6447006 (10), [229] 0,64470015 (5), [236] 0,644700185 (5), [233] 0,6447001 (2), [228] 0,643 (2) [237]
(1 + 1) -d triangular	3	0,595646 (3), [231] 0,5956468 (5), [236] 0,5956470 (3) [228]	0,478018 (2), [231] 0,478025 (1), [236] 0,4780250 (4) [228] 0,479 (3) [237]
(2 + 1) -d planos diagonales cúbicos simples	3	0,43531 (1), [238] 0,43531411 (10) [228]	0,382223 (7), [238] 0,38222462 (6) [228] 0,383 (3) [237]
(2 + 1) -d cuadrado nn (= bcc)	4	0,3445736 (3), [239] 0,344575 (15) [240] 0,3445740 (2) [228]	0,2873383 (1), [241] 0,287338 (3) [238] 0,28733838 (4) [228] 0,287 (3) [237]
(2 + 1) -d fcc			0,199 (2)) [237]
(3 + 1) -d hipercúbico, diagonal	4	0.3025 (10), [242] 0.30339538 (5) [228]	0,26835628 (5), [228] 0,2682 (2) [237]
(3 + 1) -d cúbico, nn	6	0,2081040 (4) [239]	0,1774970 (5) [151]
(3 + 1) -d Cco	8	0,160950 (30), [240] 0,16096128 (3) [228]	0,13237417 (2) [228]
(4 + 1) -d hipercúbico, diagonal	5	0,23104686 (3) [228]	0,20791816 (2), [228] 0,2085 (2) [237]
(4 + 1) -d hipercúbico, nn	8	0,1461593 (2), [239] 0,1461582 (3) [243]	0.1288557 (5) [151]
(4 + 1) -d Cco	dieciséis	0,075582 (17) [240] 0,0755850 (3), [243] 0,07558515 (1) [228]	0,063763395 (5) [228]
(5 + 1) -d hipercúbico, diagonal	6	0,18651358 (2) [228]	0,170615155 (5), [228] 0,1714 (1) [237]
(5 + 1) -d hipercúbico, nn	10	0.1123373 (2) [239]	0.1016796 (5) [151]
(5 + 1) -d cco hipercúbico	32	0,035967 (23), [240] 0,035972540 (3) [228]	0,0314566318 (5) [228]
(6 + 1) -d hipercúbico, diagonal	7	0,15654718 (1) [228]	0,145089946 (3), [228] 0,1458 [237]
(6 + 1) -d hipercúbico, nn	12	0,0913087 (2) [239]	0,0841997 (14) [151]
(6 + 1) -d cco hipercúbico	64	0,017333051 (2) [228]	0,01565938296 (10) [228]
(7 + 1) -d hipercúbico, diagonal	8	0,135004176 (10) [228]	0,126387509 (3), [228] 0,1270 (1) [237]
(7 + 1) -d hipercúbico, nn	14	0,07699336 (7) [239]	0,07195 (5) [151]
(7 + 1) -d Cco	128	0,008 432 989 (2) [228]	0,007 818 371 82 (6) [228]

nn = vecinos más cercanos. Para un  sistema hipercúbico ( d + 1) -dimensional, el hipercubo está en d dimensiones y la dirección del tiempo apunta a los vecinos 2D más cercanos.

Variedades críticas exactas de sistemas no homogéneos

Percolación de enlaces de celosía triangular no homogénea ^[17]

${\displaystyle 1-p_{1}-p_{2}-p_{3}+p_{1}p_{2}p_{3}=0}$

Percolación de enlace de celosía de panal no homogénea = percolación del sitio de celosía de Kagome ^[17]

${\displaystyle 1-p_{1}p_{2}-p_{1}p_{3}-p_{2}p_{3}+p_{1}p_{2}p_{3}=0}$

Celosía no homogénea (3,12 ^ 2), percolación del sitio ^{[4] [244]}

${\displaystyle 1-3(s_{1}s_{2})^{2}+(s_{1}s_{2})^{3}=0,}$o ${\displaystyle s_{1}s_{2}=1-2\sin(\pi /18)}$

Celosía union jack no homogénea, percolación del sitio con probabilidades ^[245]${\displaystyle p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}}$

${\displaystyle p_{3}=1-p_{1};\qquad p_{4}=1-p_{2}}$

Celosía de martini no homogénea, percolación de enlaces ^{[56] [246]}${\displaystyle 1-(p_{1}p_{2}r_{3}+p_{2}p_{3}r_{1}+p_{1}p_{3}r_{2})-(p_{1}p_{2}r_{1}r_{2}+p_{1}p_{3}r_{1}r_{3}+p_{2}p_{3}r_{2}r_{3})+p_{1}p_{2}p_{3}(r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3})+}$${\displaystyle r_{1}r_{2}r_{3}(p_{1}p_{2}+p_{1}p_{3}+p_{2}p_{3})-2p_{1}p_{2}p_{3}r_{1}r_{2}r_{3}=0}$

Celosía de martini no homogénea, percolación del sitio. r = sitio en la estrella

${\displaystyle 1-r(p_{1}p_{2}+p_{1}p_{3}+p_{2}p_{3}-p_{1}p_{2}p_{3})=0}$

Rejilla martini-A (3-7) no homogénea, percolación de enlaces. El lado izquierdo (parte superior de "A" a abajo): . Lado derecho: . Trabazón cruzada: .${\displaystyle r_{2},\ p_{1}}$${\displaystyle r_{1},\ p_{2}}$${\displaystyle \ r_{3}}$

${\displaystyle 1-p_{1}r_{2}-p_{2}r_{1}-p_{1}p_{2}r_{3}-p_{1}r_{1}r_{3}-p_{2}r_{2}r_{3}+p_{1}p_{2}r_{1}r_{3}+p_{1}p_{2}r_{2}r_{3}+p_{1}r_{1}r_{2}r_{3}+p_{2}r_{1}r_{2}r_{3}-p_{1}p_{2}r_{1}r_{2}r_{3}=0}$

Celosía martini-B (3-5) no homogénea, percolación de enlaces

Celosía de martini no homogénea con un triángulo de enlaces exterior circundante, probabilidades de dentro hacia fuera, percolación de enlaces ^[246]${\displaystyle y,x,z}$${\displaystyle 1-3z+z^{3}-(1-z^{2})[3x^{2}y(1+y-y^{2})(1+z)+x^{3}y^{2}(3-2y)(1+2z)]=0}$

Celosía de tablero de ajedrez no homogénea, percolación de enlaces ^{[46] [76]}

${\displaystyle 1-(p_{1}p_{2}+p_{1}p_{3}+p_{1}p_{4}+p_{2}p_{3}+p_{2}p_{4}+p_{3}p_{4})+p_{1}p_{2}p_{3}+p_{1}p_{2}p_{4}+p_{1}p_{3}p_{4}+p_{2}p_{3}p_{4}=0}$

Celosía de pajarita no homogénea, percolación de enlace ^{[45] [76]}

${\displaystyle 1-(p_{1}p_{2}+p_{1}p_{3}+p_{1}p_{4}+p_{2}p_{3}+p_{2}p_{4}+p_{3}p_{4})+p_{1}p_{2}p_{3}+p_{1}p_{2}p_{4}+p_{1}p_{3}p_{4}+p_{2}p_{3}p_{4}-}$${\displaystyle u(1-p_{1}p_{2}-p_{3}p_{4}+p_{1}p_{2}p_{3}p_{4})=0}$

donde están los cuatro enlaces alrededor del cuadrado y es el enlace diagonal que conecta el vértice entre los enlaces y .${\displaystyle p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle p_{4},p_{1}}$${\displaystyle p_{2},p_{3}}$

Para gráficos

Para gráficos aleatorios no incrustados en el espacio, el umbral de percolación se puede calcular con exactitud. Por ejemplo, para gráficos regulares aleatorios donde todos los nodos tienen el mismo grado k, p _c = 1 / k. Para gráficos de Erdős – Rényi (ER) con distribución de grados de Poisson, p _c = 1 / <k>. ^[247] El umbral crítico también se calculó exactamente para una red de redes ER interdependientes. ^{[248] [249]}

Ver también

• Clúster de percolación 2D
• Percolación dirigida
• Aproximaciones medianas efectivas
• Modelos de epidemia en celosías.
• Teoría de grafos
• Ciencia de la red
• Filtración
• Exponentes críticos de filtración
• Teoría de la filtración
• Percolación bootstrap
• Adsorción secuencial aleatoria
• Azulejos uniformes

Referencias

1. Kasteleyn, PW; Fortuin, CM (1969). "Transiciones de fase en sistemas de celosía con propiedades locales aleatorias". Suplemento de la Revista de la Sociedad Física de Japón . 26 : 11-14. Código bibliográfico : 1969PSJJS..26 ... 11K .
2. = Grünbaum, Branko y Shephard, GC (1987). Azulejos y Patrones . Nueva York: WH Freeman. ISBN 978-0-7167-1193-3.
3. Parviainen, Robert (2005). Propiedades de conectividad de las celosías de Arquímedes y Laves . Diva . 34 . Disertaciones de Uppsala en Matemáticas. pag. 37. ISBN 978-91-506-1751-1.
4. Suding, PN; RM Ziff (1999). "Umbrales de filtración del sitio para celosías de Arquímedes". Revisión E física . 60 (1): 275–283. Código Bibliográfico : 1999PhRvE..60..275S . doi : 10.1103 / PhysRevE.60.275 . PMID 11969760 . 
5. Parviainen, Robert (2007). "Estimación de los umbrales de percolación de bonos en las celosías de Arquímedes". Journal of Physics A . 40 (31): 9253–9258. arXiv : 0704.2098 . Código Bibliográfico : 2007JPhA ... 40.9253P . doi : 10.1088 / 1751-8113 / 40/31/005 . S2CID 680787 . 
6. Ding, Chengxiang; Zhe Fu. Wenan Guo; Año fiscal Wu (2010). "Frontera crítica para los modelos de Potts y percolación en celosías de tipo triangular y tipo kagome II: análisis numérico". Revisión E física . 81 (6): 061111. arXiv : 1001.1488 . Código bibliográfico : 2010PhRvE..81f1111D . doi : 10.1103 / PhysRevE.81.061111 . PMID 20866382 . S2CID 29625353 .  
7. Scullard, CR; JL Jacobsen (2012). "Cálculo de la matriz de transferencia de polinomios críticos generalizados en percolación". arXiv : 1209.1451 [ cond-mat.stat-mech ].
8. Jacobsen, JL (2014). "Umbrales de percolación de alta precisión y variedades críticas del modelo de Potts a partir de polinomios de gráfico". Journal of Physics A . 47 (13): 135001. arXiv : 1401.7847 . Código bibliográfico : 2014JPhA ... 47m5001G . doi : 10.1088 / 1751-8113 / 47/13/135001 . S2CID 119614758 . 
9. Jacobsen, Jesper L .; Christian R. Scullard (2013). "Variedades críticas, polinomios de gráficos y solubilidad exacta" (PDF) . StatPhys 25, Seúl, Corea del 21 al 26 de julio .
10. Scullard, Christian R .; Jesper Lykke Jacobsen (2020). "Umbrales de percolación de enlace en celosías de Arquímedes de raíces polinomiales críticas". Investigación de revisión física . 2 (1): 012050. arXiv : 1910.12376 . Código Bib : 2020PhRvR ... 2a2050S . doi : 10.1103 / PhysRevResearch.2.012050 . S2CID 204904858 . 
11. d'Iribarne, C .; G. Resigni; M. Resigni (1995). "Determinación de las transiciones de percolación del sitio para mosaicos 2D mediante el enfoque de árbol de expansión mínima". Physics Letters A . 209 (1–2): 95–98. Código Bibliográfico : 1995PhLA..209 ... 95D . doi : 10.1016 / 0375-9601 (95) 00794-8 .
12. d'Iribarne, C .; Rasigni, M .; Rasigni, G. (1999). "De la percolación de celosía de largo alcance al continuo". Phys. Letón. Una . 263 (1–2): 65–69. Código Bibliográfico : 1999PhLA..263 ... 65D . doi : 10.1016 / S0375-9601 (99) 00585-X .
13. Schliecker, G .; C. Kaiser (1999). "Percolación sobre mosaicos desordenados". Un Physica . 269 (2–4): 189–200. Código bibliográfico : 1999PhyA..269..189S . doi : 10.1016 / S0378-4371 (99) 00093-X .
14. Djordjevic, ZV; HE Stanley; Alla Margolina (1982). "Umbral de percolación del sitio para celosías cuadradas y alveolares". Journal of Physics A . 15 (8): L405 – L412. Código Bibliográfico : 1982JPhA ... 15L.405D . doi : 10.1088 / 0305-4470 / 15/8/006 .
15. Feng, Xiaomei; Youjin Deng; HWJ Blöte (2008). "Transiciones de percolación en dos dimensiones" . Revisión E física . 78 (3): 031136. arXiv : 0901.1370 . Código Bibliográfico : 2008PhRvE..78c1136F . doi : 10.1103 / PhysRevE.78.031136 . PMID 18851022 . S2CID 29282598 .  
16. Ziff, RM; Hang Gu (2008). "Relación universal para los umbrales de percolación críticos de las celosías de clase kagome".
17. Sykes, MF; JW Essam (1964). "Probabilidades de filtración críticas exactas para problemas de sitio y enlace en dos dimensiones". Revista de Física Matemática . 5 (8): 1117–1127. Código Bibliográfico : 1964JMP ..... 5.1117S . doi : 10.1063 / 1.1704215 .
18. Ziff, RM; PW Suding (1997). "Determinación del umbral de percolación de enlace para la red de kagome". Journal of Physics A . 30 (15): 5351–5359. arXiv : cond-mat / 9707110 . Código Bibliográfico : 1997JPhA ... 30.5351Z . doi : 10.1088 / 0305-4470 / 30/15/021 . S2CID 28814369 . 
19. Scullard, CR (2012). "Polinomio crítico de percolación como un gráfico invariante". Revisión E física . 86 (4): 1131. arXiv : 1111.1061 . Código bibliográfico : 2012PhRvE..86d1131S . doi : 10.1103 / PhysRevE.86.041131 . PMID 23214553 . S2CID 33348328 .  
20. Jacobsen, JL (2015). "Puntos críticos de los modelos de Potts y O (N) de las identidades de valores propios en álgebras periódicas de Temperley-Lieb". Journal of Physics A . 48 (45): 454003. arXiv : 1507.03027 . Código Bibliográfico : 2015JPhA ... 48S4003L . doi : 10.1088 / 1751-8113 / 48/45/454003 . S2CID 119146630 . 
21. Lin, Keh Ying; Wen Jong Ma (1983). "Modelo de Ising bidimensional en una celosía de rubí". Journal of Physics A . 16 (16): 3895–3898. Código Bibliográfico : 1983JPhA ... 16.3895L . doi : 10.1088 / 0305-4470 / 16/16/027 .
22. Derrida, B .; D. Stauffer (1985). "Correcciones a escalamiento y renormalización fenomenológica para problemas de percolación bidimensional y celosía animal" . J. Physique . 46 (45): 1623. doi : 10.1051 / jphys: 0198500460100162300 . S2CID 8289499 . 
23. Yang, Y .; S. Zhou .; Y. Li. (2013). "Cuadrado ++: Hacer un juego de conexión ganar-perder complementario y jugar limpio". Computación de entretenimiento . 4 (2): 105-113. doi : 10.1016 / j.entcom.2012.10.004 .
24. Newman, MEJ; RM Ziff (2000). "Eficiente algoritmo de Monte-Carlo y resultados de alta precisión para la percolación". Cartas de revisión física . 85 (19): 4104–7. arXiv : cond-mat / 0005264 . Código Bibliográfico : 2000PhRvL..85.4104N . CiteSeerX 10.1.1.310.4632 . doi : 10.1103 / PhysRevLett.85.4104 . PMID 11056635 . S2CID 747665 .   
25. de Oliveira, PMC; RA Nobrega, D. Stauffer. (2003). "Correcciones a la escala de tamaño finito en la percolación". Revista Brasileña de Física . 33 (3): 616–618. arXiv : cond-mat / 0308525 . Código Bibliográfico : 2003BrJPh..33..616O . doi : 10.1590 / S0103-97332003000300025 . S2CID 8972025 . 
26. Lee, MJ (2007). "Algoritmos complementarios para gráficas y percolación". Revisión E física . 76 (2): 027702. arXiv : 0708.0600 . Código Bibliográfico : 2007PhRvE..76b7702L . doi : 10.1103 / PhysRevE.76.027702 . PMID 17930184 . S2CID 304257 .  
27. Lee, MJ (2008). "Generadores de números pseudoaleatorios y el umbral de percolación del sitio cuadrado". Revisión E física . 78 (3): 031131. arXiv : 0807.1576 . Código Bibliográfico : 2008PhRvE..78c1131L . doi : 10.1103 / PhysRevE.78.031131 . PMID 18851017 . S2CID 7027694 .  
28. Levenshteĭn, YO; BI Shklovskiĭ; MS Shur; AL Éfros (1975). "La relación entre los exponentes críticos de la teoría de la percolación". Z h. Eksp. Teor. Fiz . 69 : 386–392. Código bibliográfico : 1976JETP ... 42..197L .
29. Dean, P .; NF Bird (1967). "Estimaciones de Monte Carlo de probabilidades críticas de filtración". Proc. Camb. Phil. Soc . 63 (2): 477–479. Código Bibliográfico : 1967PCPS ... 63..477D . doi : 10.1017 / s0305004100041438 .
30. Dean, P (1963). "Un nuevo método de Monte Carlo para problemas de percolación en una celosía". Proc. Camb. Phil. Soc . 59∂malarg (2): 397–410. Código Bibliográfico : 1963PCPS ... 59..397D . doi : 10.1017 / s0305004100037026 .
31. Betts, DD (1995). "Una nueva red bidimensional de coordinación número cinco" . Proc. Inst. De Nueva Escocia Sci . 40 : 95-100. hdl : 10222/35332 .
32. d'Iribarne, C .; G. Resigni; M. Resigni (1999). "Árbol de expansión mínima y percolación en mosaicos: teoría de grafos y percolación". J. Phys. A: Matemáticas. Gen . 32 (14): 2611–2622. Código Bibliográfico : 1999JPhA ... 32.2611D . doi : 10.1088 / 0305-4470 / 32/14/002 .
33. van der Marck, Carolina del Sur (1997). "Umbrales de percolación y fórmulas universales". Revisión E física . 55 (2): 1514-1517. Código Bibliográfico : 1997PhRvE..55.1514V . doi : 10.1103 / PhysRevE.55.1514 .
34. Malarz, K .; S. Galam (2005). "Percolación del sitio de celosía cuadrada en rangos crecientes de enlaces vecinos". Revisión E física . 71 (1): 016125. arXiv : cond-mat / 0408338 . Código bibliográfico : 2005PhRvE..71a6125M . doi : 10.1103 / PhysRevE.71.016125 . PMID 15697676 . 
35. Majewski, M .; K. Malarz (2007). "Umbrales de percolación de sitio de celosía cuadrada para vecindarios complejos". Acta Phys. Pol. B . 38 (38): 2191. arXiv : cond-mat / 0609635 . Código Bibliográfico : 2007AcPPB..38.2191M .
36. Dalton, NW; C. Domb; MF Sykes (1964). "Dependencia de la concentración crítica de un ferromagnet diluido en el rango de interacción". Proc. Phys. Soc . 83 (3): 496–498. doi : 10.1088 / 0370-1328 / 83/3/118 .
37. Collier, Andrew. "Umbral de filtración: incluidos los próximos vecinos más cercanos" .
38. Ouyang, Yunqing; Y. Deng; Henk WJ Blöte (2018). "Modelos de percolación de vecino equivalente en dos dimensiones: cruce entre comportamiento de campo medio y corto alcance". Phys. Rev. E . 98 (6): 062101. arXiv : 1808.05812 . Código bibliográfico : 2018PhRvE..98f2101O . doi : 10.1103 / PhysRevE.98.062101 . S2CID 119328197 . 
39. Xu, Wenhui; Junfeng Wang; Hao Hu; Youjin Deng (2020). "Polinomios críticos en los modelos de percolación no planar y continuo". arXiv : 2010.02887 [ cond-mat.stat-mech ].
40. Malarz, Krzysztof (2020). "Umbrales de percolación del sitio en celosía triangular con vecindarios complejos". arXiv : 2006.15621 [ cond-mat.stat-mech ].
41. Domb, C .; NW Dalton (1966). "Estadísticas de cristal con fuerzas de largo alcance I. El modelo vecino equivalente". Proc. Phys. Soc . 89 (4): 859–871. Código bibliográfico : 1966PPS .... 89..859D . doi : 10.1088 / 0370-1328 / 89/4/311 .
42. Gouker, Mark; Familia, Fereydoon (1983). "Evidencia de comportamiento crítico clásico en percolación de sitios de largo alcance". Phys. Rev. B . 28 (3): 1449. Bibcode : 1983PhRvB..28.1449G . doi : 10.1103 / PhysRevB.28.1449 .
43. Koza, Zbigniew; Kondrat, Grzegorz; Suszczyński, Karol (2014). "Percolación de cuadrados o cubos superpuestos en una celosía". J. Stat. Mech .: Teoría Exp . 2014 (11): P11005. arXiv : 1606.07969 . Código bibliográfico : 2014JSMTE..11..005K . doi : 10.1088 / 1742-5468 / 2014/11 / P11005 . S2CID 118623466 . 
44. Deng, Youjin; Yunqing Ouyang; Henk WJ Blöte (2019). "Percolación de medio alcance en dos dimensiones" . J. Phys .: Conf. Ser . 1163 (1): 012001. Código Bibliográfico : 2019JPhCS1163a2001D . doi : 10.1088 / 1742-6596 / 1163/1/012001 .
45. Scullard, CR; RM Ziff (2010). "Superficies críticas para problemas generales de percolación de enlaces no homogéneos". J. Stat. Mech .: Teoría Exp . 2010 (3): P03021. arXiv : 0911.2686 . Código Bibliográfico : 2010JSMTE..03..021S . doi : 10.1088 / 1742-5468 / 2010/03 / P03021 . S2CID 119230786 . 
46. Wu, AF (1979). "Punto crítico de los modelos planos de Potts". Journal of Physics C . 12 (17): L645 – L650. Código bibliográfico : 1979JPhC ... 12L.645W . doi : 10.1088 / 0022-3719 / 12/17/002 .
47. Hovi, J.-P .; A. Aharony (1996). "Escala y universalidad en la probabilidad de penetración de percolación". Revisión E física . 53 (1): 235–253. Código Bibliográfico : 1996PhRvE..53..235H . doi : 10.1103 / PhysRevE.53.235 . PMID 9964253 . 
48. Tarasevich, Yuriy Yu; Steven C. van der Marck (1999). "Una investigación de la filtración de enlaces de sitio en muchas celosías". En t. J. Mod. Phys. C . 10 (7): 1193–1204. arXiv : cond-mat / 9906078 . Código bibliográfico : 1999IJMPC..10.1193T . doi : 10.1142 / S0129183199000978 . S2CID 16917458 . 
49. Sakamoto, S .; F. Yonezawa y M. Hori (1989). "Una propuesta para la estimación de umbrales de percolación en celosías bidimensionales". J. Phys. Una . 22 (14): L699 – L704. Código bibliográfico : 1989JPhA ... 22L.699S . doi : 10.1088 / 0305-4470 / 22/14/009 .
50. Deng, Y .; Y. Huang, JL Jacobsen, J. Salas y AD Sokal (2011). "Transición de fase de temperatura finita en una clase de antiferromagnetos de Potts de cuatro estados". Cartas de revisión física . 107 (15): 150601. arXiv : 1108.1743 . Código Bibliográfico : 2011PhRvL.107o0601D . doi : 10.1103 / PhysRevLett.107.150601 . PMID 22107278 . S2CID 31777818 .  
51. Syozi, I (1972). "Transformación de modelos de Ising". En Domb, C .; Green, MS (eds.). Transiciones de fase en fenómenos críticos . 1 . Prensa académica, Londres. págs. 270–329.
52. Neher, Richard; Mecke, Klaus y Wagner, Herbert (2008). "Estimación topológica de los umbrales de percolación". Revista de Mecánica Estadística: Teoría y Experimento . 2008 (1): P01011. arXiv : 0708.3250 . Código Bibliográfico : 2008JSMTE..01..011N . doi : 10.1088 / 1742-5468 / 2008/01 / P01011 . S2CID 8584164 . 
53. Grimmett, G .; Manolescu, I (2012). "Percolación de enlaces en gráficos isoradiales". arXiv : 1204.0505 [ math.PR ].
54. Scullard, CR (2006). "Umbrales de percolación de sitio exacto utilizando una transformación de sitio a enlace y la transformación estrella-triángulo". Revisión E física . 73 (1): 016107. arXiv : cond-mat / 0507392 . Código Bibliográfico : 2006PhRvE..73a6107S . doi : 10.1103 / PhysRevE.73.016107 . PMID 16486216 . S2CID 17948429 .  
55. Ziff, RM (2006). "Transformación célula-célula dual generalizada y umbrales exactos de percolación". Revisión E física . 73 (1): 016134. Bibcode : 2006PhRvE..73a6134Z . doi : 10.1103 / PhysRevE.73.016134 . PMID 16486243 . 
56. Scullard, CR; Robert M. Ziff (2006). "Umbrales de percolación de enlace exactos en dos dimensiones". Journal of Physics A . 39 (49): 15083–15090. arXiv : cond-mat / 0610813 . Código Bibliográfico : 2006JPhA ... 3915083Z . doi : 10.1088 / 0305-4470 / 39/49/003 . S2CID 14332146 . 
57. Ding, Chengxiang; Yancheng Wang; Yang Li (2012). "Potts y modelos de percolación sobre celosías bowtie". Revisión E física . 86 (2): 021125. arXiv : 1203.2244 . Código bibliográfico : 2012PhRvE..86b1125D . doi : 10.1103 / PhysRevE.86.021125 . PMID 23005740 . S2CID 27190130 .  
58. Wierman, John (1984). "Una determinación de probabilidad crítica de percolación de enlaces basada en la transformación estrella-triángulo". J. Phys. A: Matemáticas. Gen . 17 (7): 1525-1530. Código Bibliográfico : 1984JPhA ... 17.1525W . doi : 10.1088 / 0305-4470 / 17/7/020 .
59. Ziff, RM; Scullard, CR (2010). "Superficies críticas para problemas generales de percolación de enlaces no homogéneos". J. Stat. Mech . 2010 (3): P03021. arXiv : 0911.2686 . Código Bibliográfico : 2010JSMTE..03..021S . doi : 10.1088 / 1742-5468 / 2010/03 / P03021 . S2CID 119230786 . 
60. [1] [2]
61. Melchert, Oliver; Helmut G. Katzgraber; Mark A. Novotny (2016). "Umbrales de percolación de enlace y sitio en Kn, celosías basadas en n: vulnerabilidad de los annealers cuánticos a qubit aleatorios y fallas de acoplador en topologías de quimera". Revisión E física . 93 (4): 042128. arXiv : 1511.07078 . Código Bibliográfico : 2016PhRvE..93d2128M . doi : 10.1103 / PhysRevE.93.042128 . PMID 27176275 . S2CID  206249608 .
62. Okubo, S .; M. Hayashi, S. Kimura, H. Ohta, M. Motokawa, H. Kikuchi y H. Nagasawa (1998). "ESR de onda submilimétrica de antiferromagnet de kagome triangular Cu9X2 (cpa) 6 (X = Cl, Br)". Physica B . 246--247 (2): 553–556. Código Bibliográfico : 1998PhyB..246..553O . doi : 10.1016 / S0921-4526 (97) 00985-X .
63. Haji Akbari, Amir; RM Ziff (2009). "Percolación en redes con vacíos y cuellos de botella". Revisión E física . 79 (2): 021118. arXiv : 0811.4575 . Código Bibliográfico : 2009PhRvE..79b1118H . doi : 10.1103 / PhysRevE.79.021118 . PMID 19391717 . S2CID 2554311 .  
64. Cornette, V .; AJ Ramirez-Pastor; F. Nieto (2003). "Dependencia del umbral de percolación del tamaño de la especie percoladora". Un Physica . 327 (1): 71–75. Código bibliográfico : 2003PhyA..327 ... 71C . doi : 10.1016 / S0378-4371 (03) 00453-9 .
65. Lebrecht, W .; Centros PM; AJ Ramirez-Pastor (2019). "Aproximación analítica de los umbrales de percolación del sitio para monómeros y dímeros en redes bidimensionales". Un Physica . 516 : 133-143. Código bibliográfico : 2019PhyA..516..133L . doi : 10.1016 / j.physa.2018.10.023 .
66. Longone, Pablo; Centros PM; AJ Ramirez-Pastor (2019). "Percolación de varillas rígidas alineadas sobre celosías triangulares bidimensionales". Revisión E física . 100 (5): 052104. arXiv : 1906.03966 . Código bibliográfico : 2019PhRvE.100e2104L . doi : 10.1103 / PhysRevE.100.052104 . PMID 31870027 . S2CID 182953009 .  
67. Budinski-Petkovic, Lj; I. Loncarevic; ZM Jacsik; y SB Vrhovac (2016). "Atasco y percolación en adsorción secuencial aleatoria de objetos extendidos en una red triangular con impurezas apagadas" . J. Stat. Mech .: Th. Exp . 2016 (5): 053101. Código bibliográfico : 2016JSMTE..05.3101B . doi : 10.1088 / 1742-5468 / 2016/05/053101 . S2CID 3913989 . 
68. Cherkasova, VA; Yu. Yu. Tarasevich; NI Lebovka; y NV Vygornitskii (2010). "Percolación de los dímeros alineados en una celosía cuadrada". EUR. Phys. J. B . 74 (2): 205-209. arXiv : 0912.0778 . Código Bibliográfico : 2010EPJB ... 74..205C . doi : 10.1140 / epjb / e2010-00089-2 . S2CID 118485353 . 
69. Leroyer, Y .; E. Pommiers (1994). "Análisis de Monte Carlo de percolación de segmentos de línea en una celosía cuadrada". Phys. Rev. B . 50 (5): 2795–2799. arXiv : cond-mat / 9312066 . Código Bibliográfico : 1994PhRvB..50.2795L . doi : 10.1103 / PhysRevB.50.2795 . PMID 9976520 . 
70. Vanderwalle, N .; S. Galam; M. Kramer (2000). "Una nueva universalidad para la deposición secuencial aleatoria de agujas". EUR. Phys. J. B . 14 (3): 407–410. arXiv : cond-mat / 0004271 . Código Bibliográfico : 2000EPJB ... 14..407V . doi : 10.1007 / s100510051047 . S2CID 11142384 . 
71. Kondrat, Grzegorz; Andrzej Pękalski (2001). "Percolación y bloqueo en adsorción secuencial aleatoria de segmentos lineales en una celosía cuadrada". Phys. Rev. E . 63 (5): 051108. arXiv : cond-mat / 0102031 . Código Bibliográfico : 2001PhRvE..63e1108K . doi : 10.1103 / PhysRevE.63.051108 . PMID 11414888 . S2CID 44490067 .  
72. Haji-Akbari, A .; Nasim Haji-Akbari; Robert M. Ziff (2015). "Frustración de cubrimiento y filtración de dímeros". Phys. Rev. E . 92 (3): 032134. arXiv : 1507.04411 . Código bibliográfico : 2015PhRvE..92c2134H . doi : 10.1103 / PhysRevE.92.032134 . PMID 26465453 . S2CID 34100812 .  
73. Zia, RKP; W. Yong; B. Schmittmann (2009). "Percolación de una colección de paseos aleatorios finitos: un modelo de permeación de gas a través de membranas poliméricas delgadas". Revista de Química Matemática . 45 : 58–64. doi : 10.1007 / s10910-008-9367-6 . S2CID 94092783 . 
74. Wu, Yong; B. Schmittmann ; RKP Zia (2008). "Redes de polímeros bidimensionales cerca de la percolación" . Journal of Physics A . 41 (2): 025008. Código Bibliográfico : 2008JPhA ... 41b5004W . doi : 10.1088 / 1751-8113 / 41/2/025004 . S2CID 13053653 . 
75. Cornette, V .; AJ Ramírez-Pastor, F. Nieto (2003). "Redes de polímeros bidimensionales cerca de la percolación". Diario Europea de Física B . 36 (3): 397. Bibcode : 2003EPJB ... 36..391C . doi : 10.1140 / epjb / e2003-00358-1 . S2CID 119852589 .
76. Ziff, RM; CR Scullard; JC Wierman; MRA Sedlock (2012). "Las variedades críticas de percolación de enlaces no homogéneos en celosías de pajarita y tablero de ajedrez". Journal of Physics A . 45 (49): 494005. arXiv : 1210.6609 . Código bibliográfico : 2012JPhA ... 45W4005Z . doi : 10.1088 / 1751-8113 / 45/49/494005 . S2CID 2121370 . 
77. Mertens, Stephan; Cristopher Moore (2012). "Umbrales de percolación continua en dos dimensiones". Revisión E física . 86 (6): 061109. arXiv : 1209.4936 . Código bibliográfico : 2012PhRvE..86f1109M . doi : 10.1103 / PhysRevE.86.061109 . PMID 23367895 . S2CID 15107275 .  
78. Quintanilla, John A .; RM Ziff (2007). "Asimetría en los umbrales de percolación de discos totalmente penetrables con dos radios diferentes". Revisión E física . 76 (5): 051115 [6 páginas]. Código Bibliográfico : 2007PhRvE..76e1115Q . doi : 10.1103 / PhysRevE.76.051115 . PMID 18233631 . 
79. Quintanilla, J; S. Torquato; RM Ziff (2000). "Medición eficiente del umbral de percolación para discos totalmente penetrables". J. Phys. A: Matemáticas. Gen . 33 (42): L399 – L407. Código Bibliográfico : 2000JPhA ... 33L.399Q . CiteSeerX 10.1.1.6.8207 . doi : 10.1088 / 0305-4470 / 33/42/104 . 
80. Lorenz, B; I. Orgzall y H.-O. Heuer (1993). "Universalidad y estructuras de conglomerados en modelos continuos de percolación con dos distribuciones de radio diferentes". J. Phys. A: Matemáticas. Gen . 26 (18): 4711–4712. Código Bibliográfico : 1993JPhA ... 26.4711L . doi : 10.1088 / 0305-4470 / 26/18/032 .
81. Rosso, M (1989). "Enfoque de gradiente de concentración para la percolación continua en dos dimensiones". J. Phys. A: Matemáticas. Gen . 22 (4): L131 – L136. Código Bibliográfico : 1989JPhA ... 22L.131R . doi : 10.1088 / 0305-4470 / 22/4/004 .
82. Gawlinski, Edward T; H. Eugene Stanley (1981). "Percolación continua en dos dimensiones: pruebas de Monte Carlo de escala y universalidad para discos que no interactúan". J. Phys. A: Matemáticas. Gen . 14 (8): L291 – L299. Código Bibliográfico : 1981JPhA ... 14L.291G . doi : 10.1088 / 0305-4470 / 14/8/007 .
83. Yi, Y.-B .; AM Sastry (2004). "Aproximación analítica del umbral de percolación para elipsoides de revolución superpuestos". Proceedings of the Royal Society A . 460 (5): 2353–2380. Código bibliográfico : 2004RSPSA.460.2353Y . doi : 10.1098 / rspa.2004.1279 . S2CID 2475482 . 
84. Pike, GE; CH Seager (1974). "Percolación y conductividad: un estudio informático I". Phys. Rev. B . 10 (4): 1421–1434. Código bibliográfico : 1974PhRvB..10.1421P . doi : 10.1103 / PhysRevB.10.1421 .
85. Lin, Jianjun; Chen, Huisu (2019). "Medición de las propiedades de percolación continua de sistemas particulados bidimensionales que comprenden superelipses congruentes y binarios". Tecnología de polvo . 347 : 17-26. doi : 10.1016 / j.powtec.2019.02.036 .
86. Domb, EN (1961). "Redes de planos aleatorios". J. Soc. Indust. Apl. Matemáticas . 9 (4): 533–543. doi : 10.1137 / 0109045 .
87. Gilbert, EN (1961). "Redes de planos aleatorios". J. Soc. Indust. Apl. Matemáticas . 9 (4): 533–543. doi : 10.1137 / 0109045 .
88. Xu, Wenhui; Junfeng Wang; Hao Hu; Youjin Deng (2020). "Polinomios críticos en los modelos de percolación no planar y continuo". arXiv : 2010.02887 [ cond-mat.stat-mech ].
89. Tarasevich, Yuri Yu.; Andrei V. Eserkepov (2020). "Percolation thresholds for discorectangles: numerical estimation for a range of aspect ratios". Physical Review E. 101 (2): 022108. arXiv:1910.05072. Bibcode:2020PhRvE.101b2108T. doi:10.1103/PhysRevE.101.022108. PMID 32168641. S2CID 204401814.
90. Li, Jiantong; Mikael Östling (2016). "Precise percolation thresholds of two-dimensional random systems comprising overlapping ellipses". Physica A. 462: 940–950. Bibcode:2016PhyA..462..940L. doi:10.1016/j.physa.2016.06.020.
91. Nguyen, Van Lien; Enrique Canessa (1999). "Finite-size scaling in two-dimensional continuum percolation models". Modern Physics Letters B. 13 (17): 577–583. arXiv:cond-mat/9909200. Bibcode:1999MPLB...13..577N. doi:10.1142/S0217984999000737. S2CID 18560722.
92. Roberts, F. D. K. (1967). "A Monte Carlo Solution of a Two-Dimensional Unstructured Cluster Problem". Biometrika. 54 (3/4): 625–628. doi:10.2307/2335053. JSTOR 2335053. PMID 6064024.
93. Xia, W.; M. F. Thorpe (1988). "Percolation properties of random ellipses". Physical Review A. 38 (5): 2650–2656. Bibcode:1988PhRvA..38.2650X. doi:10.1103/PhysRevA.38.2650. PMID 9900674.
94. Torquato, S.; Y. Jiao (2012). "Effect of dimensionality on the continuum percolation of overlapping hyperspheres and hypercubes. II. Simulation results and analyses". J. Chem. Phys. 137 (7): 074106. arXiv:1208.3720. Bibcode:2012JChPh.137g4106T. doi:10.1063/1.4742750. PMID 22920102. S2CID 13188197.
95. Baker, Don R.; Gerald Paul; Sameet Sreenivasan; H. Eugene Stanley (2002). "Continuum percolation threshold for interpenetrating squares and cubes". Physical Review E. 66 (4): 046136 [5 pages]. arXiv:cond-mat/0203235. Bibcode:2002PhRvE..66d6136B. doi:10.1103/PhysRevE.66.046136. PMID 12443288. S2CID 9561586.
96. Li, Jiantong; Mikael Östling (2013). "Percolation thresholds of two-dimensional continuum systems of rectangles". Physical Review E. 88 (1): 012101. Bibcode:2013PhRvE..88a2101L. doi:10.1103/PhysRevE.88.012101. PMID 23944408. S2CID 21438506.
97. Li, Jiantong; Shi-Li Zhang (2009). "Finite-size scaling in stick percolation". Physical Review E. 80 (4): 040104(R). Bibcode:2009PhRvE..80d0104L. doi:10.1103/PhysRevE.80.040104. PMID 19905260.
98. Tarasevich, Yuri Yu.; Andrei V. Eserkepov (2018). "Percolation of sticks: Effect of stick alignment and length dispersity". Physical Review E. 98 (6): 062142. arXiv:1811.06681. Bibcode:2018PhRvE..98f2142T. doi:10.1103/PhysRevE.98.062142. S2CID 54187951.
99. Sasidevan, V. (2013). "Continuum percolation of overlapping discs with a distribution of radii having a power-law tail". Physical Review E. 88 (2): 022140. arXiv:1302.0085. Bibcode:2013PhRvE..88b2140S. doi:10.1103/PhysRevE.88.022140. PMID 24032808. S2CID 24046421.
100. van der Marck, S. C. (1996). "Network approach to void percolation in a pack of unequal spheres". Physical Review Letters. 77 (9): 1785–1788. Bibcode:1996PhRvL..77.1785V. doi:10.1103/PhysRevLett.77.1785. PMID 10063171.
101. Jin, Yuliang; Patrick Charbonneau (2014). "Mapping the arrest of the random Lorentz gas onto the dynamical transition of a simple glass former". Physical Review E. 91 (4): 042313. arXiv:1409.0688. Bibcode:2015PhRvE..91d2313J. doi:10.1103/PhysRevE.91.042313. PMID 25974497. S2CID 16117644.
102. Lin, Jianjun; Zhang, Wulong; Chen, Huisu; Zhang, Rongling; Liu, Lin (2019). "Effect of pore characteristic on the percolation threshold and diffusivity of porous media comprising overlapping concave-shaped pores". International Journal of Heat and Mass Transfer. 138: 1333–1345. doi:10.1016/j.ijheatmasstransfer.2019.04.110.
103. Meeks, Kelsey; J. Tencer; M.L. Pantoya (2017). "Percolation of binary disk systems: Modeling and theory". Phys. Rev. E. 95 (1): 012118. Bibcode:2017PhRvE..95a2118M. doi:10.1103/PhysRevE.95.012118. PMID 28208494.
104. Quintanilla, John A. (2001). "Measurement of the percolation threshold for fully penetrable disks of different radii". Phys. Rev. E. 63 (6): 061108. Bibcode:2001PhRvE..63f1108Q. doi:10.1103/PhysRevE.63.061108. PMID 11415069.
105. Melchert, Oliver (2013). "Percolation thresholds on planar Euclidean relative-neighborhood graphs". Physical Review E. 87 (4): 042106. arXiv:1301.6967. Bibcode:2013PhRvE..87d2106M. doi:10.1103/PhysRevE.87.042106. PMID 23679372. S2CID 9691279.
106. Bernardi, Olivier; Curien, Nicolas; Miermont, Grėgory (2019). "A Boltzmann approach to percolation on random triangulations". Canadian Journal of Mathematics. 71: 1–43. arXiv:1705.04064. doi:10.4153/CJM-2018-009-x. S2CID 6817693.
107. Becker, A.; R. M. Ziff (2009). "Percolation thresholds on two-dimensional Voronoi networks and Delaunay triangulations". Physical Review E. 80 (4): 041101. arXiv:0906.4360. Bibcode:2009PhRvE..80d1101B. doi:10.1103/PhysRevE.80.041101. PMID 19905267. S2CID 22549508.
108. Shante, K. S.; S. Kirkpatrick (1971). "An introduction to percolation theory". Advances in Physics. 20 (85): 325–357. Bibcode:1971AdPhy..20..325S. doi:10.1080/00018737100101261.
109. Hsu, H. P.; M. C. Huang (1999). "Percolation thresholds, critical exponents, and scaling functions on planar random lattices and their duals". Physical Review E. 60 (6): 6361–6370. Bibcode:1999PhRvE..60.6361H. doi:10.1103/PhysRevE.60.6361. PMID 11970550. S2CID 8750738.
110. Norrenbrock, C. (2014). "Percolation threshold on planar Euclidean Gabriel Graphs". Journal of Physics A. 40 (31): 9253–9258. arXiv:0704.2098. Bibcode:2007JPhA...40.9253P. doi:10.1088/1751-8113/40/31/005. S2CID 680787.
111. Bertin, E; J.-M. Billiot, R. Drouilhet (2002). "Continuum percolation in the Gabriel graph". Adv. Appl. Probab. 34 (4): 689. doi:10.1239/aap/1037990948.
112. Lepage, Thibaut; Lucie Delaby; Fausto Malvagi; Alain Mazzolo (2011). "Monte Carlo simulation of fully Markovian stochastic geometries". Progress in Nuclear Science and Technology. 2: 743–748. doi:10.15669/pnst.2.743.
113. Zhang, C.; K. De'Bell (1993). "Reformulation of the percolation problem on a quasilattice: Estimates of the percolation threshold, chemical dimension, and amplitude ratio". Phys. Rev. B. 47 (14): 8558. doi:10.1103/PhysRevB.47.8558.
114. Ziff, R. M.; F. Babalievski (1999). "Site percolation on the Penrose rhomb lattice". Physica A. 269 (2–4): 201–210. Bibcode:1999PhyA..269..201Z. doi:10.1016/S0378-4371(99)00166-1.
115. Lu, Jian Ping; Joseph L. Birman (1987). "Percolation and Scaling on a Quasilattice". Journal of Statistical Physics. 46 (5/6): 1057–1066. doi:10.1007/BF01011156.
116. Babalievski, F. (1995). "Percolation thresholds and percolation conductivities of octagonal and dodecagonal quasicrystalline lattices". Physica A. 220 (1995): 245–250. Bibcode:1995PhyA..220..245B. doi:10.1016/0378-4371(95)00260-E.
117. Bollobás, Béla; Oliver Riordan (2006). "The critical probability for random Voronoi percolation in the plane is 1/2". Probab. Theory Relat. Fields. 136 (3): 417–468. arXiv:math/0410336. doi:10.1007/s00440-005-0490-z. S2CID 15985691.
118. Angel, Omer; Schramm, Oded (2003). "Uniform infinite planar triangulation". Commun. Math. Phys. 241 (2–3): 191–213. arXiv:math/0207153. Bibcode:2003CMaPh.241..191A. doi:10.1007/s00220-003-0932-3. S2CID 17718301.
119. Angel, O.; Curien, Nicolas (2014). "Percolations on random maps I: Half-plane models". Annales de l'Institut Henri Poincaré, Probabilités et Statistiques. 51 (2): 405–431. arXiv:1301.5311. Bibcode:2015AIHPB..51..405A. doi:10.1214/13-AIHP583. S2CID 14964345.
120. Zierenberg, Johannes; Niklas Fricke; Martin Marenz; F. P. Spitzner; Viktoria Blavatska; Wolfhard Janke (2017). "Percolation thresholds and fractal dimensions for square and cubic lattices with long-range correlated defects". Phys. Rev. E. 96 (6): 062125. arXiv:1708.02296. Bibcode:2017PhRvE..96f2125Z. doi:10.1103/PhysRevE.96.062125. PMID 29347311. S2CID 22353394.
121. Sotta, P.; D. Long (2003). "The crossover from 2D to 3D percolation: Theory and numerical simulations". Eur. Phys. J. E. 11 (4): 375–388. Bibcode:2003EPJE...11..375S. doi:10.1140/epje/i2002-10161-6. PMID 15011039. S2CID 32831742.
122. Horton, M. K.; Moram, M. A. (April 17, 2017). "Alloy composition fluctuations and percolation in semiconductor alloy quantum wells". Applied Physics Letters. 110 (16): 162103. Bibcode:2017ApPhL.110p2103H. doi:10.1063/1.4980089. ISSN 0003-6951.
123. Gliozzi, F.; S. Lottini; M. Panero; A. Rago (2005). "Random percolation as a gauge theory". Nuclear Physics B. 719 (3): 255–274. arXiv:cond-mat/0502339. Bibcode:2005NuPhB.719..255G. doi:10.1016/j.nuclphysb.2005.04.021. hdl:2318/5995. S2CID 119360708.
124. Yoo, Ted Y.; Jonathan Tran; Shane P. Stahlheber; Carina E. Kaainoa; Kevin Djepang; Alexander R. Small (2014). "Site percolation on lattices with low average coordination numbers". J. Stat. Mech. Theory Exp. 2014 (6): P06014. arXiv:1403.1676. Bibcode:2014JSMTE..06..014Y. doi:10.1088/1742-5468/2014/06/p06014. S2CID 119290405.
125. Tran, Jonathan; Ted Yoo; Shane Stahlheber; Alex Small (2013). "Percolation thresholds on 3-dimensional lattices with 3 nearest neighbors". J. Stat. Mech.: Theory Exp. 2013 (5): P05014. arXiv:1211.6531. Bibcode:2013JSMTE..05..014T. doi:10.1088/1742-5468/2013/05/P05014. S2CID 119182062.
126. Wells, A. F. (1984). "Structures Based on the 3-Connected Net 10³ – b". Journal of Solid State Chemistry. 54 (3): 378–388. Bibcode:1984JSSCh..54..378W. doi:10.1016/0022-4596(84)90169-5.
127. Pant, Mihir; Don Towsley; Dirk Englund; Saikat Guha (2017). "Percolation thresholds for photonic quantum computing". Nature Communications. 10 (1): 1070. arXiv:1701.03775. doi:10.1038/s41467-019-08948-x. PMC 6403388. PMID 30842425.
128. Hyde, Stephen T.; O'Keeffe, Michael; Proserpio, Davide M. (2008). "A short history of an elusive yet ubiquitous structure in chemistry, materials, and mathematics". Angew. Chem. Int. Ed. 47 (42): 7996–8000. doi:10.1002/anie.200801519. PMID 18767088.
129. van der Marck, S. C. (1997). "Percolation thresholds of the duals of the face-centered-cubic, hexagonal-close-packed, and diamond lattices". Phys. Rev. E. 55 (6): 6593–6597. Bibcode:1997PhRvE..55.6593V. doi:10.1103/PhysRevE.55.6593.
130. Frisch, H. L.; E. Sonnenblick; V. A. Vyssotsky; J. M. Hammersley (1961). "Critical Percolation Probabilities (Site Problem)". Physical Review. 124 (4): 1021–1022. Bibcode:1961PhRv..124.1021F. doi:10.1103/PhysRev.124.1021.
131. Vyssotsky, V. A.; S. B. Gordon; H. L. Frisch; J. M. Hammersley (1961). "Critical Percolation Probabilities (Bond Problem)". Physical Review. 123 (5): 1566–1567. Bibcode:1961PhRv..123.1566V. doi:10.1103/PhysRev.123.1566.
132. Gaunt, D. S.; M. F. Sykes (1983). "Series study of random percolation in three dimensions". J. Phys. A. 16 (4): 783. Bibcode:1983JPhA...16..783G. doi:10.1088/0305-4470/16/4/016.
133. Xu, Xiao; Junfeng Wang, Jian-Ping Lv, Youjin Deng (2014). "Simultaneous analysis of three-dimensional percolation models". Frontiers of Physics. 9 (1): 113–119. arXiv:1310.5399. Bibcode:2014FrPhy...9..113X. doi:10.1007/s11467-013-0403-z. S2CID 119250232.
134. Silverman, Amihal; J. Adler (1990). "Site-percolation threshold for a diamond lattice with diatomic substitution". Physical Review B. 42 (2): 1369–1373. Bibcode:1990PhRvB..42.1369S. doi:10.1103/PhysRevB.42.1369. PMID 9995550.
135. van der Marck, Steven C. (1997). "Erratum: Percolation thresholds and universal formulas". Phys. Rev. E. 56 (4): 3732.
136. van der Marck, Steven C. (1998). "Calculation of Percolation Thresholds in High Dimensions for FCC, BCC and Diamond Lattices". International Journal of Modern Physics C. 9 (4): 529–540. arXiv:cond-mat/9802187. Bibcode:1998IJMPC...9..529V. doi:10.1142/S0129183198000431. S2CID 119097158.
137. Sykes, M. F.; D. S. Gaunt; M. Glen (1976). "Percolation processes in three dimensions". J. Phys. A: Math. Gen. 9 (10): 1705–1712. Bibcode:1976JPhA....9.1705S. doi:10.1088/0305-4470/9/10/021.
138. Sykes, M. F.; J. W. Essam (1964). "Critical percolation probabilities by series method". Physical Review. 133 (1A): A310–A315. Bibcode:1964PhRv..133..310S. doi:10.1103/PhysRev.133.A310.
139. van der Marck, Steven C. (1998). "Site percolation and random walks on d-dimensional Kagome lattices". Journal of Physics A. 31 (15): 3449–3460. arXiv:cond-mat/9801112. Bibcode:1998JPhA...31.3449V. doi:10.1088/0305-4470/31/15/010. S2CID 18989583.
140. Sur, Amit; Joel L. Lebowitz; J. Marro; M. H. Kalos; S. Kirkpatrick (1976). "Monte Carlo studies of percolation phenomena for a simple cubic lattice". Journal of Statistical Physics. 15 (5): 345–353. Bibcode:1976JSP....15..345S. doi:10.1007/BF01020338. S2CID 38734613.
141. Wang, J; Z. Zhou; W. Zhang; T. Garoni; Y. Deng (2013). "Bond and site percolation in three dimensions". Physical Review E. 87 (5): 052107. arXiv:1302.0421. Bibcode:2013PhRvE..87e2107W. doi:10.1103/PhysRevE.87.052107. PMID 23767487. S2CID 14087496.
142. Grassberger, P. (1992). "Numerical studies of critical percolation in three dimensions". J. Phys. A. 25 (22): 5867–5888. Bibcode:1992JPhA...25.5867G. doi:10.1088/0305-4470/25/22/015.
143. Acharyya, M.; D. Stauffer (1998). "Effects of Boundary Conditions on the Critical Spanning Probability". Int. J. Mod. Phys. C. 9 (4): 643–647. arXiv:cond-mat/9805355. Bibcode:1998IJMPC...9..643A. doi:10.1142/S0129183198000534. S2CID 15684907.
144. Jan, N.; D. Stauffer (1998). "Random Site Percolation in Three Dimensions". Int. J. Mod. Phys. C. 9 (4): 341–347. Bibcode:1998IJMPC...9..341J. doi:10.1142/S0129183198000261.
145. Deng, Youjin; H. W. J. Blöte (2005). "Monte Carlo study of the site-percolation model in two and three dimensions". Physical Review E. 72 (1): 016126. Bibcode:2005PhRvE..72a6126D. doi:10.1103/PhysRevE.72.016126. PMID 16090055.
146. Ballesteros, P. N.; L. A. Fernández, V. Martín-Mayor, A. Muñoz, Sudepe, G. Parisi, and J. J. Ruiz-Lorenzo (1999). "Scaling corrections: site percolation and Ising model in three dimensions". Journal of Physics A. 32 (1): 1–13. arXiv:cond-mat/9805125. Bibcode:1999JPhA...32....1B. doi:10.1088/0305-4470/32/1/004. S2CID 2787294.
147. Lorenz, C. D.; R. M. Ziff (1998). "Universality of the excess number of clusters and the crossing probability function in three-dimensional percolation". Journal of Physics A. 31 (40): 8147–8157. arXiv:cond-mat/9806224. Bibcode:1998JPhA...31.8147L. doi:10.1088/0305-4470/31/40/009. S2CID 12493873.
148. Koza, Zbigniew; Jakub Poła (2016). "From discrete to continuous percolation in dimensions 3 to 7". Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. 2016 (10): 103206. arXiv:1606.08050. Bibcode:2016JSMTE..10.3206K. doi:10.1088/1742-5468/2016/10/103206. S2CID 118580056.
149. Škvor, Jiří; Ivo Nezbeda (2009). "Percolation threshold parameters of fluids". Physical Review E. 79 (4): 041141. Bibcode:2009PhRvE..79d1141S. doi:10.1103/PhysRevE.79.041141. PMID 19518207.
150. Adler, Joan; Yigal Meir; Amnon Aharony; A. B. Harris; Lior Klein (1990). "Low-Concentration Series in General Dimension". Journal of Statistical Physics. 58 (3/4): 511–538. Bibcode:1990JSP....58..511A. doi:10.1007/BF01112760. S2CID 122109020.
151. Dammer, Stephan M; Haye Hinrichsen (2004). "Spreading with immunization in high dimensions". J. Stat. Mech.: Theory Exp. 2004 (7): P07011. arXiv:cond-mat/0405577. Bibcode:2004JSMTE..07..011D. doi:10.1088/1742-5468/2004/07/P07011. S2CID 118981083.
152. Lorenz, C. D.; R. M. Ziff (1998). "Precise determination of the bond percolation thresholds and finite-size scaling corrections for the sc, fcc, and bcc lattices". Physical Review E. 57 (1): 230–236. arXiv:cond-mat/9710044. Bibcode:1998PhRvE..57..230L. doi:10.1103/PhysRevE.57.230. S2CID 119074750.
153. Schrenk, K. J.; N. A. M. Araújo; H. J. Herrmann (2013). "Stacked triangular lattice: percolation properties". Physical Review E. 87 (3): 032123. arXiv:1302.0484. Bibcode:2013PhRvE..87c2123S. doi:10.1103/PhysRevE.87.032123. S2CID 2917074.
154. Martins, P.; J. Plascak (2003). "Percolation on two- and three-dimensional lattices". Physical Review. 67 (4): 046119. arXiv:cond-mat/0304024. Bibcode:2003PhRvE..67d6119M. doi:10.1103/physreve.67.046119. PMID 12786448. S2CID 31891392.
155. Bradley, R. M.; P. N. Strenski, J.-M. Debierre (1991). "Surfaces of percolation clusters in three dimensions". Physical Review B. 44 (1): 76–84. Bibcode:1991PhRvB..44...76B. doi:10.1103/PhysRevB.44.76. PMID 9998221.
156. Kurzawski, Ł.; K. Malarz (2012). "Simple cubic random-site percolation thresholds for complex neighbourhoods". Rep. Math. Phys. 70 (2): 163–169. arXiv:1111.3254. Bibcode:2012RpMP...70..163K. CiteSeerX 10.1.1.743.1726. doi:10.1016/S0034-4877(12)60036-6. S2CID 119120046.
157. Gallyamov, S. R.; S.A. Melchukov (2013). "Percolation threshold of a simple cubic lattice with fourth neighbors: the theory and numerical calculation with parallelization" (PDF). Third International Conference "High Performance Computing" HPC-UA 2013 (Ukraine, Kyiv, October 7–11, 2013).
158. Sykes, M. F.; D. S. Gaunt; J. W. Essam (1976). "The percolation probability for the site problem on the face-centred cubic lattice". Journal of Physics A. 9 (5): L43–L46. Bibcode:1976JPhA....9L..43S. doi:10.1088/0305-4470/9/5/002.
159. Lorenz, C. D.; R. May; R. M. Ziff (2000). "Similarity of Percolation Thresholds on the HCP and FCC Lattices" (PDF). Journal of Statistical Physics. 98 (3/4): 961–970. doi:10.1023/A:1018648130343. hdl:2027.42/45178. S2CID 10950378.
160. Tahir-Kheli, Jamil; W. A. Goddard III (2007). "Chiral plaquette polaron theory of cuprate superconductivity". Physical Review B. 76 (1): 014514. arXiv:0707.3535. Bibcode:2007PhRvB..76a4514T. doi:10.1103/PhysRevB.76.014514. S2CID 8882419.
161. Malarz, Krzysztof (2015). "Simple cubic random-site percolation thresholds for neighborhoods containing fourth-nearest neighbors". Phys. Rev. E. 91 (4): 043301. arXiv:1501.01586. Bibcode:2015PhRvE..91d3301M. doi:10.1103/PhysRevE.91.043301. PMID 25974606. S2CID 37943657.
162. Xun, Zhipeng; Robert M. Ziff (2020). "Bond percolation on simple cubic lattices with extended neighborhoods". Phys. Rev. E. 102 (4): 012102. arXiv:2001.00349. Bibcode:2020PhRvE.102a2102X. doi:10.1103/PhysRevE.102.012102. PMID 32795057. S2CID 209531616.
163. Jerauld, G. R.; L. E. Scriven; H. T. Davis (1984). "Percolation and conduction on the 3D Voronoi and regular networks: a second case study in topological disorder". J. Phys. C: Solid State Phys. 17 (19): 3429–3439. Bibcode:1984JPhC...17.3429J. doi:10.1088/0022-3719/17/19/017.
164. Xu, Fangbo; Zhiping Xu; Boris I. Yakobson (2014). "Site-Percolation Threshold of Carbon Nanotube Fibers---Fast Inspection of Percolation with Markov Stochastic Theory". Physica A. 407: 341–349. arXiv:1401.2130. Bibcode:2014PhyA..407..341X. doi:10.1016/j.physa.2014.04.013. S2CID 119267606.
165. Gawron, T. R.; Marek Cieplak (1991). "Site percolation thresholds of the FCC lattice" (PDF). Acta Physica Polonica A. 80 (3): 461. Bibcode:1991AcPPA..80..461G. doi:10.12693/APhysPolA.80.461.
166. Harter, T. (2005). "Finite-size scaling analysis of percolation in three-dimensional correlated binary Markov chain random fields". Physical Review E. 72 (2): 026120. Bibcode:2005PhRvE..72b6120H. doi:10.1103/PhysRevE.72.026120. PMID 16196657. S2CID 2708506.
167. Sykes, M. F.; J. J. Rehr; Maureen Glen (1996). "A note on the percolation probabilities of pairs of closely similar lattices". Proc. Camb. Phil. Soc. 76: 389–392. doi:10.1017/S0305004100049021.
168. Weber, H.; W. Paul (1996). "Penetrant diffusion in frozen polymer matrices: A finite-size scaling study of free volume percolation". Physical Review E. 54 (4): 3999–4007. Bibcode:1996PhRvE..54.3999W. doi:10.1103/PhysRevE.54.3999. PMID 9965547.
169. Tarasevich, Yu. Yu.; V. A. Cherkasova (2007). "Dimer percolation and jamming on simple cubic lattice". European Physical Journal B. 60 (1): 97–100. arXiv:0709.3626. Bibcode:2007EPJB...60...97T. doi:10.1140/epjb/e2007-00321-2. S2CID 5419806.
170. Holcomb, D F..; J. J. Rehr, Jr. (1969). "Percolation in heavily doped semiconductors*". Physical Review. 183 (3): 773–776. Bibcode:1969PhRv..183..773H. doi:10.1103/PhysRev.183.773.
171. Holcomb, D F.; F. Holcomb; M. Iwasawa (1972). "Clustering of randomly placed spheres". Biometrika. 59: 207–209. doi:10.1093/biomet/59.1.207.
172. Shante, Vinod K. S.; Scott Kirkpatrick (1971). "An introduction to percolation theory". Advances in Physics. 20 (85): 325–357. doi:10.1080/00018737100101261.
173. Rintoul, M. D.; S. Torquato (1997). "Precise determination of the critical threshold and exponents in a three-dimensional continuum percolation model". J. Phys. A: Math. Gen. 30 (16): L585. Bibcode:1997JPhA...30L.585R. CiteSeerX 10.1.1.42.4284. doi:10.1088/0305-4470/30/16/005.
174. Consiglio, R.; R. Baker; G. Paul; H. E. Stanley (2003). "Continuum percolation of congruent overlapping spherocylinders". Physica A. 319: 49–55. doi:10.1016/S0378-4371(02)01501-7.
175. Xu, Wenxiang; Xianglong Su; Yang Jiao (2016). "Continuum percolation of congruent overlapping spherocylinders". Phys. Rev. E. 93 (3): 032122. Bibcode:2016PhRvE..94c2122X. doi:10.1103/PhysRevE.94.032122. PMID 27078307.
176. Lorenz, C. D.; R. M. Ziff (2000). "Precise determination of the critical percolation threshold for the three dimensional Swiss cheese model using a growth algorithm" (PDF). J. Chem. Phys. 114 (8): 3659. Bibcode:2001JChPh.114.3659L. doi:10.1063/1.1338506. hdl:2027.42/70114.
177. Lin, Jianjun; Chen, Huisu; Xu, Wenxiang (2018). "Geometrical percolation threshold of congruent cuboidlike particles in overlapping particle systems". Physical Review E. 98 (1): 012134. Bibcode:2018PhRvE..98a2134L. doi:10.1103/PhysRevE.98.012134. PMID 30110832.
178. Garboczi, E. J.; K. A. Snyder; J. F. Douglas (1995). "Geometrical percolation threshold of overlapping ellipsoids". Phys. Rev. E. 52 (1): 819–827. Bibcode:1995PhRvE..52..819G. doi:10.1103/PhysRevE.52.819. PMID 9963485.
179. Gori, Giacomo; Andrea Trombettoni (2015). "Conformal invariance in three dimensional percolation". J. Stat. Mech.: Th. Exp. 2015: P07014. arXiv:1504.07209. doi:10.1088/1742-5468/2015/07/P07014.
180. Yi, Y.-B.; A. M. Sastry (2004). "Analytical approximation of the percolation threshold for overlapping ellipsoids of revolution". Proc. R. Soc. Lond. A. 460 (2048): 2353–2380. Bibcode:2004RSPSA.460.2353Y. doi:10.1098/rspa.2004.1279. S2CID 2475482.
181. Hyytiä, E.; J. Virtamo, P. Lassila and J. Ott (2012). "Continuum percolation threshold for permeable aligned cylinders and opportunistic networking". IEEE Communications Letters. 16 (7): 1064–1067. doi:10.1109/LCOMM.2012.051512.120497. S2CID 1056865.
182. Torquato, S.; Y. Jiao (2012). "Effect of Dimensionality on the Percolation Threshold of Overlapping Nonspherical Hyperparticles". Physical Review E. 87 (2): 022111. arXiv:1210.0134. Bibcode:2013PhRvE..87b2111T. doi:10.1103/PhysRevE.87.022111. PMID 23496464. S2CID 11417012.
183. Yi, Y. B.; E. Tawerghi (2009). "Geometric percolation thresholds of interpenetrating plates in three-dimensional space". Physical Review E. 79 (4): 041134. Bibcode:2009PhRvE..79d1134Y. doi:10.1103/PhysRevE.79.041134. PMID 19518200.
184. Yi, Y. B.; K. Esmail (2012). "Computational measurement of void percolation thresholds of oblate particles and thin plate composites". J. Appl. Phys. 111 (12): 124903. Bibcode:2012JAP...111l4903Y. doi:10.1063/1.4730333.
185. Priour, Jr., D. J.; N. J. McGuigan (2017). "Percolation through voids around randomly oriented faceted inclusions". arXiv:1712.10241 [cond-mat.stat-mech].
186. Priour, Jr., D. J.; N. J. McGuigan (2018). "Percolation through voids around randomly oriented polyhedra and axially symmetric grains". Phys. Rev. Lett. 121 (22): 225701. arXiv:1801.09970. Bibcode:2018PhRvL.121v5701P. doi:10.1103/PhysRevLett.121.225701. PMID 30547614. S2CID 119185480.
187. Kertesz, Janos (1981). "Percolation of holes between overlapping spheres: Monte Carlo calculation of the critical volume fraction" (PDF). Journal de Physique Lettres. 42 (17): L393–L395. doi:10.1051/jphyslet:019810042017039300.
188. Elam, W. T.; A. R. Kerstein; J. J. Rehr (1984). "Critical properties of the void percolation problem for spheres". Phys. Rev. Lett. 52 (7): 1516–1519. Bibcode:1984PhRvL..52.1516E. doi:10.1103/PhysRevLett.52.1516.
189. Rintoul, M. D. (2000). "Precise determination of the void percolation threshold for two distributions of overlapping spheres". Physical Review E. 62 (6): 68–72. Bibcode:2000PhRvE..62...68R. doi:10.1103/PhysRevE.62.68. PMID 11088435.
190. Yi, Y. B. (2006). "Void percolation and conduction of overlapping ellipsoids". Physical Review E. 74 (3): 031112. Bibcode:2006PhRvE..74c1112Y. doi:10.1103/PhysRevE.74.031112. PMID 17025599.
191. Höfling, F.; T. Munk; E. Frey; T. Franosch (2008). "Critical dynamics of ballistic and Brownian particles in a heterogeneous environment". J. Chem. Phys. 128 (16): 164517. arXiv:0712.2313. Bibcode:2008JChPh.128p4517H. doi:10.1063/1.2901170. PMID 18447469. S2CID 25509814.
192. Priour, Jr., D.J. (2014). "Percolation through voids around overlapping spheres: A dynamically based finite-size scaling analysis". Phys. Rev. E. 89 (1): 012148. arXiv:1208.0328. Bibcode:2014PhRvE..89a2148P. doi:10.1103/PhysRevE.89.012148. PMID 24580213. S2CID 20349307.
193. Powell, M. J. (1979). "Site percolation in randomly packed spheres". Physical Review B. 20 (10): 4194–4198. Bibcode:1979PhRvB..20.4194P. doi:10.1103/PhysRevB.20.4194.
194. Ziff, R. M.; Salvatore Torquato (2016). "Percolation of disordered jammed sphere packings". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 50 (8): 085001. arXiv:1611.00279. Bibcode:2017JPhA...50h5001Z. doi:10.1088/1751-8121/aa5664. S2CID 53003822.
195. Lin, Jianjun; Chen, Huisu (2018). "Continuum percolation of porous media via random packing of overlapping cube-like particles". Theoretical & Applied Mechanics Letters. 8 (5): 299–303. doi:10.1016/j.taml.2018.05.007.
196. Lin, Jianjun; Chen, Huisu (2018). "Effect of particle morphologies on the percolation of particulate porous media: A study of superballs". Powder Technology. 335: 388–400. doi:10.1016/j.powtec.2018.05.015.
197. Clerc, J. P.; G. Giraud; S. Alexander; E. Guyon (1979). "Conductivity of a mixture of conducting and insulating grains: Dimensionality effects". Physical Review B. 22 (5): 2489–2494. doi:10.1103/PhysRevB.22.2489.
198. C. Larmier, E. Dumonteil, F. Malvagi, A. Mazzolo, and A. Zoia, C (2016). "Finite-size effects and percolation properties of Poisson geometries". Physical Review E. 94 (1): 012130. arXiv:1605.04550. Bibcode:2016PhRvE..94a2130L. doi:10.1103/PhysRevE.94.012130. PMID 27575099. S2CID 19361619.
199. Zakalyukin, R. M.; V. A. Chizhikov (2005). "Calculations of the Percolation Thresholds of a Three-Dimensional (Icosahedral) Penrose Tiling by the Cubic Approximant Method". Crystallography Reports. 50 (6): 938–948. Bibcode:2005CryRp..50..938Z. doi:10.1134/1.2132400. S2CID 94290876.
200. Grassberger, P. (2017). "Some remarks on drilling percolation". Phys. Rev. E. 95 (1): 010103. arXiv:1611.07939. doi:10.1103/PhysRevE.95.010103. PMID 28208497. S2CID 12476714.
201. Schrenk, K. J.; M. R. Hilário; V. Sidoravicius; N. A. M. Araújo; H. J. Herrmann; M. Thielmann; A. Teixeira (2016). "Critical Fragmentation Properties of Random Drilling: How Many Holes Need to Be Drilled to Collapse a Wooden Cube?". Phys. Rev. Lett. 116 (5): 055701. arXiv:1601.03534. Bibcode:2016PhRvL.116e5701S. doi:10.1103/PhysRevLett.116.055701. PMID 26894717. S2CID 3145131.
202. Kantor, Yacov (1986). "Three-dimensional percolation with removed lines of sites". Phys. Rev. B. 33 (5): 3522–3525. Bibcode:1986PhRvB..33.3522K. doi:10.1103/PhysRevB.33.3522. PMID 9938740.
203. Kirkpatrick, Scott (1976). "Percolation phenomena in higher dimensions: Approach to the mean-field limit". Physical Review Letters. 36 (2): 69–72. Bibcode:1976PhRvL..36...69K. doi:10.1103/PhysRevLett.36.69.
204. Gaunt, D. S.; Sykes, M. F.; Ruskin, Heather (1976). "Percolation processes in d-dimensions". J. Phys. A: Math. Gen. 9 (11): 1899–1911. Bibcode:1976JPhA....9.1899G. doi:10.1088/0305-4470/9/11/015.
205. Grassberger, Peter (2003). "Critical percolation in high dimensions". Physical Review E. 67 (3): 4. arXiv:cond-mat/0202144. Bibcode:2003PhRvE..67c6101G. doi:10.1103/PhysRevE.67.036101. PMID 12689126. S2CID 43707822.
206. Paul, Gerald; Robert M. Ziff; H. Eugene Stanley (2001). "Percolation threshold, Fisher exponent, and shortest path exponent for four and five dimensions". Physical Review E. 64 (2): 8. arXiv:cond-mat/0101136. Bibcode:2001PhRvE..64b6115P. doi:10.1103/PhysRevE.64.026115. PMID 11497659. S2CID 18271196.
207. Ballesteros, H. G.; L. A. Fernández; V. Martín-Mayor; A. Muñoz Sudupe; G. Parisi; J. J. Ruiz-Lorenzo (1997). "Measures of critical exponents in the four dimensional site percolation". Phys. Lett. B. 400 (3–4): 346–351. arXiv:hep-lat/9612024. Bibcode:1997PhLB..400..346B. doi:10.1016/S0370-2693(97)00337-7. S2CID 10242417.
208. Kotwica, M.; P. Gronek; K. Malarz (2019). "Efficient space virtualisation for Hoshen–Kopelman algorithm". International Journal of Modern Physics C. 30: 1950055. arXiv:1803.09504. Bibcode:2018arXiv180309504K. doi:10.1142/S0129183119500554. S2CID 4418563.
209. Mertens, Stephan; Christopher Moore (2018). "Percolation Thresholds and Fisher Exponents in Hypercubic Lattices". Phys. Rev. E. 98 (2): 022120. arXiv:1806.08067. Bibcode:2018PhRvE..98b2120M. doi:10.1103/PhysRevE.98.022120. PMID 30253462. S2CID 52821851.
210. Xun, Zhipeng (2020). "Precise bond percolation thresholds on several four-dimensional lattices". Physical Review Research. 2 (1): 013067. arXiv:1910.11408. Bibcode:2020PhRvR...2a3067X. doi:10.1103/PhysRevResearch.2.013067. S2CID 204915841.
211. Adler, Joan; Yigal Meir; Amnon Aharony; A. B. Harris (1990). "Series Study of Percolation Moments in General Dimension". Physical Review B. 41 (13): 9183–9206. Bibcode:1990PhRvB..41.9183A. doi:10.1103/PhysRevB.41.9183. PMID 9993262.
212. Stauffer, Dietrich; Robert M. Ziff (1999). "Reexamination of Seven-Dimensional Site Percolation Thresholds". International Journal of Modern Physics C. 11 (1): 205–209. arXiv:cond-mat/9911090. Bibcode:2000IJMPC..11..205S. doi:10.1142/S0129183100000183. S2CID 119362011.
213. Gaunt, D. S.; Ruskin, Heather (1978). "Bond percolation processes in d-dimensions". J. Phys. A: Math. Gen. 11 (7): 1369. Bibcode:1978JPhA...11.1369G. doi:10.1088/0305-4470/11/7/025.
214. Mertens, Stephan; Christopher Moore (2018). "Series Expansion of Critical Densities for Percolation on ℤ^d". J. Phys. A: Math. Theor. 51 (47): 475001. arXiv:1805.02701. doi:10.1088/1751-8121/aae65c. S2CID 119399128.
215. Gori, G.; Michelangeli, M.; Defenu, N.; Trombettoni, A. (2017). "One-dimensional long-range percolation: A numerical study". Physical Review E. 96 (1): 012108. arXiv:1610.00200. Bibcode:2017PhRvE..96a2108G. doi:10.1103/physreve.96.012108. PMID 29347133. S2CID 9926800.
216. Schulman, L. S. (1983). "Long range percolation in one dimension". Journal of Physics A: Mathematical and General. 16 (17): L639–L641. Bibcode:1983JPhA...16L.639S. doi:10.1088/0305-4470/16/17/001. ISSN 0305-4470.
217. Aizenman, M.; Newman, C. M. (December 1, 1986). "Discontinuity of the percolation density in one dimensional 1/|x−y|2 percolation models". Communications in Mathematical Physics. 107 (4): 611–647. Bibcode:1986CMaPh.107..611A. doi:10.1007/BF01205489. ISSN 0010-3616. S2CID 117904292.
218. Baek, S.K.; Petter Minnhagen and Beom Jun Kim (2009). "Comment on 'Monte Carlo simulation study of the two-stage percolation transition in enhanced binary trees'". J. Phys. A: Math. Theor. 42 (47): 478001. arXiv:0910.4340. Bibcode:2009JPhA...42U8001B. doi:10.1088/1751-8113/42/47/478001. S2CID 102489139.
219. Boettcher, Stefan; Jessica L. Cook and Robert M. Ziff (2009). "Patchy percolation on a hierarchical network with small-world bonds". Phys. Rev. E. 80 (4): 041115. arXiv:0907.2717. Bibcode:2009PhRvE..80d1115B. doi:10.1103/PhysRevE.80.041115. PMID 19905281.
220. Mertens, Stephan; Cristopher Moore (2017). "Percolation thresholds in hyperbolic lattices". Phys. Rev. E. 96 (4): 042116. arXiv:1708.05876. Bibcode:2017PhRvE..96d2116M. doi:10.1103/PhysRevE.96.042116. PMID 29347529. S2CID 39025690.
221. Lopez, Jorge H.; J. M. Schwarz (2017). "Constraint percolation on hyperbolic lattices". Phys. Rev. E. 96 (5): 052108. arXiv:1512.05404. Bibcode:2017PhRvE..96e2108L. doi:10.1103/PhysRevE.96.052108. PMID 29347694. S2CID 44770310.
222. Baek, S.K.; Petter Minnhagen and Beom Jun Kim (2009). "Percolation on hyperbolic lattices". Phys. Rev. E. 79 (1): 011124. arXiv:0901.0483. Bibcode:2009PhRvE..79a1124B. doi:10.1103/PhysRevE.79.011124. PMID 19257018. S2CID 29468086.
223. Gu, Hang; Robert M. Ziff (2012). "Crossing on hyperbolic lattices". Phys. Rev. E. 85 (5): 051141. arXiv:1111.5626. Bibcode:2012PhRvE..85e1141G. doi:10.1103/PhysRevE.85.051141. PMID 23004737. S2CID 7141649.
224. Nogawa, Tomoaki; Takehisa Hasegawa (2009). "Monte Carlo simulation study of the two-stage percolation transition in enhanced binary trees". J. Phys. A: Math. Theor. 42 (14): 145001. arXiv:0810.1602. Bibcode:2009JPhA...42n5001N. doi:10.1088/1751-8113/42/14/145001. S2CID 118367190.
225. Minnhagen, Petter; Seung Ki Baek (2010). "Analytic results for the percolation transitions of the enhanced binary tree". Phys. Rev. E. 82 (1): 011113. arXiv:1003.6012. Bibcode:2010PhRvE..82a1113M. doi:10.1103/PhysRevE.82.011113. PMID 20866571. S2CID 21018113.
226. Kozáková, Iva (2009). "Critical percolation of virtually free groups and other tree-like graphs". Annals of Probability. 37 (6): 2262–2296. arXiv:0801.4153. doi:10.1214/09-AOP458.
227. Cohen, R; K. Erez; D. Ben-Avraham; S. Havlin (2000). "Resilience of the Internet to random breakdowns". Phys. Rev. Lett. 85 (21): 4626–8. arXiv:cond-mat/0007048. Bibcode:2000PhRvL..85.4626C. CiteSeerX 10.1.1.242.6797. doi:10.1103/PhysRevLett.85.4626. PMID 11082612. S2CID 15372152.
228. Wang, Junfeng; Zongzheng Zhou; Qingquan Liu; Timothy M. Garoni; Youjin Deng (2013). "A high-precision Monte Carlo study of directed percolation in (d + 1) dimensions". Physical Review E. 88 (4): 042102. arXiv:1201.3006. Bibcode:2013PhRvE..88d2102W. doi:10.1103/PhysRevE.88.042102. PMID 24229111. S2CID 43011467.
229. Jensen, Iwan; Anthony J. Guttmann (1995). "Series expansions of the percolation probability for directed square and honeycomb lattices". J. Phys. A: Math. Gen. 28 (17): 4813–4833. arXiv:cond-mat/9509121. Bibcode:1995JPhA...28.4813J. doi:10.1088/0305-4470/28/17/015. S2CID 118993303.
230. Jensen, Iwan (2004). "Low-density series expansions for directed percolation: III. Some two-dimensional lattices". J. Phys. A: Math. Gen. 37 (4): 6899–6915. arXiv:cond-mat/0405504. Bibcode:2004JPhA...37.6899J. CiteSeerX 10.1.1.700.2691. doi:10.1088/0305-4470/37/27/003. S2CID 119326380.
231. Essam, J. W.; A. J. Guttmann; K. De'Bell (1988). "On two-dimensional directed percolation". J. Phys. A. 21 (19): 3815–3832. Bibcode:1988JPhA...21.3815E. doi:10.1088/0305-4470/21/19/018.
232. Lübeck, S.; R. D. Willmann (2002). "Universal scaling behaviour of directed percolation and the pair contact process in an external field". J. Phys. A. 35 (48): 10205. arXiv:cond-mat/0210403. Bibcode:2002JPhA...3510205L. doi:10.1088/0305-4470/35/48/301. S2CID 11831269.
233. Jensen, Iwan (1999). "Low-density series expansions for directed percolation: I. A new efficient algorithm with applications to the square lattice". J. Phys. A. 32 (28): 5233–5249. arXiv:cond-mat/9906036. Bibcode:1999JPhA...32.5233J. doi:10.1088/0305-4470/32/28/304. S2CID 2681356.
234. Essam, John; K. De'Bell; J. Adler; F. M. Bhatti (1986). "Analysis of extended series for bond percolation on the directed square lattice". Physical Review B. 33 (2): 1982–1986. Bibcode:1986PhRvB..33.1982E. doi:10.1103/PhysRevB.33.1982. PMID 9938508.
235. Baxter, R. J.; A. J. Guttmann (1988). "Series expansion of the percolation probability for the directed square lattice". J. Phys. A. 21 (15): 3193–3204. Bibcode:1988JPhA...21.3193B. doi:10.1088/0305-4470/21/15/008.
236. Jensen, Iwan (1996). "Low-density series expansions for directed percolation on square and triangular lattices". J. Phys. A. 29 (22): 7013–7040. Bibcode:1996JPhA...29.7013J. doi:10.1088/0305-4470/29/22/007. S2CID 121332666.
237. Blease, J. (1977). "Series expansions for the directed-bond percolation problem". J. Phys. C: Solid State Phys. 10 (7): 917–924. Bibcode:1977JPhC...10..917B. doi:10.1088/0022-3719/10/7/003.
238. Grassberger, P.; Y.-C. Zhang (1996). ""Self-organized" formulation of standard percolation phenomena". Physica A. 224 (1): 169–179. Bibcode:1996PhyA..224..169G. doi:10.1016/0378-4371(95)00321-5.
239. Grassberger, P. (2009). "Local persistence in directed percolation". J. Stat. Mech. Th. Exp. 2009 (8): P08021. arXiv:0907.4021. Bibcode:2009JSMTE..08..021G. doi:10.1088/1742-5468/2009/08/P08021. S2CID 119236556.
240. Lübeck, S.; R. D. Willmann (2004). "Universal scaling behavior of directed percolation around the upper critical dimension". J. Stat. Phys. 115 (5–6): 1231–1250. arXiv:cond-mat/0401395. Bibcode:2004JSP...115.1231L. CiteSeerX 10.1.1.310.8700. doi:10.1023/B:JOSS.0000028059.24904.3b. S2CID 16267627.
241. Perlsman, E.; S. Havlin (2002). "Method to estimate critical exponents using numerical studies". Europhys. Lett. 58 (2): 176–181. Bibcode:2002EL.....58..176P. doi:10.1209/epl/i2002-00621-7. S2CID 67818664.
242. Adler, Joan; J. Berger, M. A. M. S. Duarte, Y. Meir (1988). "Directed percolation in 3+1 dimensions". Physical Review B. 37 (13): 7529–7533. Bibcode:1988PhRvB..37.7529A. doi:10.1103/PhysRevB.37.7529. PMID 9944046.
243. Grassberger, Peter (2009). "Logarithmic corrections in (4 + 1)-dimensional directed percolation". Physical Review E. 79 (5): 052104. arXiv:0904.0804. Bibcode:2009PhRvE..79e2104G. doi:10.1103/PhysRevE.79.052104. PMID 19518501. S2CID 23876626.
244. Wu, F. Y. (2010). "Critical frontier of the Potts and percolation models on triangular-type and kagome-type lattices I: Closed-form expressions". Physical Review E. 81 (6): 061110. arXiv:0911.2514. Bibcode:2010PhRvE..81f1110W. doi:10.1103/PhysRevE.81.061110. PMID 20866381. S2CID 31590247.
245. Damavandi, Ojan Khatib; Robert M. Ziff (2015). "Percolation on hypergraphs with four-edges". J. Phys. A: Math. Theor. 48 (40): 405004. arXiv:1506.06125. Bibcode:2015JPhA...48N5004K. doi:10.1088/1751-8113/48/40/405004. S2CID 118481075.
246. Wu, F. Y. (2006). "New Critical Frontiers for the Potts and Percolation Models". Physical Review Letters. 96 (9): 090602. arXiv:cond-mat/0601150. Bibcode:2006PhRvL..96i0602W. CiteSeerX 10.1.1.241.6346. doi:10.1103/PhysRevLett.96.090602. PMID 16606250. S2CID 15182833.
247. Reuven Cohen; Shlomo Havlin (2010). Complex Networks: Structure, Robustness and Function. Cambridge University Press.
248. S. V. Buldyrev; R. Parshani; G. Paul; H. E. Stanley; S. Havlin (2010). "Catastrophic cascade of failures in interdependent networks". Nature. 464 (7291): 1025–28. arXiv:0907.1182. Bibcode:2010Natur.464.1025B. doi:10.1038/nature08932. PMID 20393559. S2CID 1836955.
249. Gao, Jianxi; Buldyrev, Sergey V.; Stanley, H. Eugene; Havlin, Shlomo (2011). "Networks formed from interdependent networks". Nature Physics. 8 (1): 40–48. Bibcode:2012NatPh...8...40G. CiteSeerX 10.1.1.379.8214. doi:10.1038/nphys2180. ISSN 1745-2473.