Conjunto derivado (matemáticas)

En matemáticas, más específicamente en topología de conjuntos de puntos , el conjunto derivado de un subconjunto de un espacio topológico es el conjunto de todos los puntos límite de Se suele denotar por${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle S'.}$

El concepto fue introducido por primera vez por Georg Cantor en 1872 y desarrolló la teoría de conjuntos en gran parte para estudiar conjuntos derivados en la línea real .

Ejemplos de

Si está dotado de su topología euclidiana habitual, entonces el conjunto derivado del intervalo semiabierto es el intervalo cerrado.${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle [0,1)}$${\displaystyle [0,1].}$

Considere con la topología (conjuntos abiertos) que consta del conjunto vacío y cualquier subconjunto que contenga 1. El conjunto derivado de es ^[1]${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle A:=\{1\}}$${\displaystyle A'=\mathbb {R} \setminus \{1\}.}$

Propiedades

Si y son subconjuntos del espacio topológico, entonces el conjunto derivado tiene las siguientes propiedades: ^[2]${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \left(X,{\mathcal {F}}\right),}$

• ${\displaystyle \varnothing '=\varnothing }$
• ${\displaystyle a\in A'\implies a\in (A\setminus \{a\})'}$
• ${\displaystyle (A\cup B)'=A'\cup B'}$
• ${\displaystyle A\subseteq B\implies A'\subseteq B'}$

Un subconjunto de un espacio topológico se cierra precisamente cuando ^[1] es decir, cuando contiene todos sus puntos límite. Para cualquier subconjunto, el conjunto está cerrado y es el cierre de (es decir, el conjunto ). ^[3]${\displaystyle S}$${\displaystyle S'\subseteq S,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle S\cup S'}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\overline {S}}}$

El conjunto derivado de un subconjunto de un espacio no necesita estar cerrado en general. Por ejemplo, si con la topología trivial , el conjunto tiene un conjunto derivado que no está cerrado en Pero el conjunto derivado de un conjunto cerrado siempre está cerrado. ( Prueba: Suponiendo que es un subconjunto cerrado del cual muestra que toman el conjunto derivado en ambos lados para obtener , es decir, está cerrado en ) Además, si es un espacio T ₁ , el conjunto derivado de cada subconjunto de está cerrado en ^{[4] [5]}${\displaystyle X}$${\displaystyle X=\{a,b\}}$${\displaystyle S=\{a\}}$${\displaystyle S'=\{b\},}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle S'\subseteq S,}$${\displaystyle S''\subseteq S',}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

Dos subconjuntos y se separaron precisamente cuando son disjuntos y cada uno es disjunta de los otros del conjunto derivado (aunque los conjuntos de derivados no necesitan ser disjuntos entre sí). Esta condición se escribe a menudo, utilizando cierres, como${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle \left(S\cap {\bar {T}}\right)\cup \left({\bar {S}}\cap T\right)=\varnothing ,}$

y se conoce como la condición de separación de Hausdorff-Lennes . ^[6]

Una biyección entre dos espacios topológicos es un homeomorfismo si y solo si el conjunto derivado de la imagen (en el segundo espacio) de cualquier subconjunto del primer espacio es la imagen del conjunto derivado de ese subconjunto. ^[7]

Un espacio es un T 1 espacio si cada subconjunto que consta de un solo punto está cerrado. ^[8] En un espacio T ₁ , el conjunto derivado de un conjunto que consta de un solo elemento está vacío (el ejemplo 2 anterior no es un espacio T ₁ ). De ello se deduce que en los espacios T ₁ , el conjunto derivado de cualquier conjunto finito está vacío y, además,

${\displaystyle \left(S-\{p\}\right)'=S'=\left(S\cup \{p\}\right)',}$

para cualquier subconjunto y cualquier punto del espacio. En otras palabras, el conjunto derivado no se cambia agregando o quitando del conjunto dado un número finito de puntos. ^[9] También se puede demostrar que en un espacio T ₁ , para cualquier subconjunto ^[10]${\displaystyle S}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \left(S'\right)'\subseteq S'}$${\displaystyle S.}$

Un conjunto con se llama denso en sí mismo y no puede contener puntos aislados . Un conjunto con se llama perfecto . ^{[11] De manera} equivalente, un conjunto perfecto es un conjunto cerrado denso en sí mismo o, dicho de otra manera, un conjunto cerrado sin puntos aislados. Los conjuntos perfectos son particularmente importantes en las aplicaciones del teorema de la categoría de Baire .${\displaystyle S}$${\displaystyle S\subseteq S'}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S=S'}$

El teorema de Cantor-Bendixson establece que cualquier espacio polaco se puede escribir como la unión de un conjunto contable y un conjunto perfecto. Debido a que cualquier subconjunto G δ de un espacio polaco es nuevamente un espacio polaco, el teorema también muestra que cualquier subconjunto G _δ de un espacio polaco es la unión de un conjunto contable y un conjunto que es perfecto con respecto a la topología inducida .

Topología en términos de conjuntos derivados

Debido a que los homeomorfismos se pueden describir completamente en términos de conjuntos derivados, los conjuntos derivados se han utilizado como la noción primitiva en topología . Un conjunto de puntos se puede equipar con un operador que mapee subconjuntos de a subconjuntos de tal que para cualquier conjunto y cualquier punto :${\displaystyle X}$${\displaystyle S\mapsto S^{*}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle a}$

1. ${\displaystyle \varnothing ^{*}=\varnothing }$
2. ${\displaystyle S^{**}\subseteq S^{*}\cup S}$
3. ${\displaystyle a\in S^{*}}$ implica ${\displaystyle a\in (S\setminus \{a\})^{*}}$
4. ${\displaystyle (S\cup T)^{*}\subseteq S^{*}\cup T^{*}}$
5. ${\displaystyle S\subseteq T}$ implica ${\displaystyle S^{*}\subseteq T^{*}.}$

Llamar a un conjunto cerrado si definirá una topología en el espacio en el que se encuentra el operador del conjunto derivado, es decir,${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S^{*}\subseteq S}$${\displaystyle S\mapsto X^{*}}$${\displaystyle S^{*}=S'.}$

Rango Cantor-Bendixson

Para los números ordinales, la derivada -ésima de Cantor-Bendixson de un espacio topológico se define aplicando repetidamente la operación de conjunto derivado utilizando la recursividad transfinita de la siguiente manera:${\displaystyle \alpha ,}$${\displaystyle \alpha }$

• ${\displaystyle \displaystyle X^{0}=X}$
• ${\displaystyle \displaystyle X^{\alpha +1}=\left(X^{\alpha }\right)'}$
• ${\displaystyle \displaystyle X^{\lambda }=\bigcap _{\alpha <\lambda }X^{\alpha }}$para ordinales límite ${\displaystyle \lambda .}$

La secuencia transfinita de las derivadas de Cantor-Bendixson de debe eventualmente ser constante. El ordinal más pequeño, tal que se denomina rango de Cantor-Bendixson de${\displaystyle X}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle X^{\alpha +1}=X^{\alpha }}$${\displaystyle X.}$

Ver también

• Punto adherente  : punto que pertenece al cierre de algún subconjunto de un espacio topológico.
• Punto de condensación
• Punto aislado
• Punto límite  : un punto x en un espacio topológico, todos cuyos vecindarios contienen algún otro punto en un subconjunto dado que es diferente de x

Notas

1. Baker , 1991 , p. 41
2. Pervin 1964 , p. 38
3. Baker , 1991 , p. 42
4. Engelking 1989 , p. 47
5. https://math.stackexchange.com/a/940849/52912
6. Pervin 1964 , pág. 51
7. Hocking, John G .; Young, Gail S. (1988) [1961], Topology , Dover, pág. 4 , ISBN 0-486-65676-4
8. Pervin 1964 , pág. 70
9. Kuratowski 1966 , p.77
10. Kuratowski 1966 , p.76
11. Pervin 1964 , pág. 62

Referencias

• Baker, Crump W. (1991), Introducción a la topología , Wm C. Brown Publishers, ISBN 0-697-05972-3
• Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Heldermann Verlag, Berlín. ISBN 3-88538-006-4.
• Kuratowski, K. (1966), Topología , 1 , Academic Press, ISBN 0-12-429201-1
• Pervin, William J. (1964), Fundamentos de la topología general , Academic Press

Otras lecturas

• Kechris, Alexander S. (1995). Teoría Clásica Descriptiva de Conjuntos ( Textos de Posgrado en Matemáticas 156 ed.). Saltador. ISBN 978-0-387-94374-9.
• Sierpiński, Wacław F .; traducido por Krieger, C. Cecilia (1952). Topología general . Prensa de la Universidad de Toronto .

enlaces externos

• Artículo de PlanetMath sobre la derivada de Cantor-Bendixson