En topología y ramas relacionadas de las matemáticas , los conjuntos separados son pares de subconjuntos de un espacio topológico dado que están relacionados entre sí de cierta manera: hablando en términos generales, no se superponen ni se tocan. La noción de cuándo dos conjuntos están separados o no es importante tanto para la noción de espacios conectados (y sus componentes conectados) como para los axiomas de separación para espacios topológicos.
Los conjuntos separados no deben confundirse con espacios separados (definidos a continuación), que están algo relacionados pero son diferentes. Los espacios separables son nuevamente un concepto topológico completamente diferente.
Definiciones
Hay varias formas en las que dos subconjuntos de un espacio topológico X pueden considerarse separados.
- A y B son disjuntos si su intersección es el conjunto vacío . Esta propiedad no tiene nada que ver con la topología como tal, sino solo con la teoría de conjuntos . Se incluye aquí porque es el más débil en la secuencia de diferentes nociones. Para obtener más información sobre la disjunción en general, consulte Conjuntos disjuntos .
- A y B están separados en X si cada uno está separado del cierre del otro . Los cierres en sí mismos no tienen por qué estar separados entre sí; por ejemplo, los intervalos [0,1) y (1,2] están separados en la línea real R , aunque el punto 1 pertenece a ambos cierres. Un ejemplo más general es que en cualquier espacio métrico , dos bolas abiertas B r (x 1 ) = {y: d (x 1 , y) < r } y B s (x 2 ) = {y: d (x 2 , y) < s } están separados siempre que d (x 1 , x 2 ) ≥ r + s . Tenga en cuenta que dos conjuntos separados deben separarse automáticamente.
- A y B están separados por vecindarios si hay vecindarios U de A y V de B de manera que U y V son disjuntos. (A veces verá el requisito de que U y V sean vecindarios abiertos , pero esto no hace ninguna diferencia al final). Para el ejemplo de A = [0,1) y B = (1,2], podría tomar U = (-1,1) y V = (1,3). Tenga en cuenta que si dos conjuntos están separados por vecindarios, entonces ciertamente están separados. Si A y B están abiertos y separados, entonces deben estar separados por vecindarios; simplemente tome U = A y V = B. Por esta razón, la separación se usa a menudo con conjuntos cerrados (como en el axioma de separación normal ).
- A y B están separados por vecindarios cerrados si hay un vecindario cerrado U de A y un vecindario cerrado V de B de manera que U y V son disjuntos. Nuestros ejemplos, [0,1) y (1,2], no están separados por vecindarios cerrados. Puede cerrar U o V incluyendo el punto 1 en él, pero no puede hacer que ambos estén cerrados mientras los mantiene separados. Tenga en cuenta que si dos conjuntos cualesquiera están separados por vecindarios cerrados, entonces ciertamente están separados por vecindarios.
- A y B están separados por una función si existe una función continua f desde el espacio X a la línea real R tal que f ( A ) = {0} yf ( B ) = {1}. (A veces verá el intervalo unitario [0,1] usado en lugar de R en esta definición, pero esto no hace ninguna diferencia). En nuestro ejemplo, [0,1) y (1,2] no están separados por una función , porque no hay forma de definir continuamente f en el punto 1. Tenga en cuenta que si dos conjuntos cualesquiera están separados por una función, también están separados por vecindarios cerrados; los vecindarios se pueden dar en términos de la preimagen de f como U : = f −1 [- e , e ] y V : = f −1 [1- e , 1 + e ], siempre que e sea un número real positivo menor que 1/2.
- A y B están separados exactamente por una función de si existe una función continua f de X a R que tal f -1 (0) = A y f -1 (1) = B . (Nuevamente, también puede ver el intervalo unitario en lugar de R , y nuevamente no hay diferencia). Tenga en cuenta que si dos conjuntos cualesquiera están separados con precisión por una función, entonces ciertamente están separados por una función. Dado que {0} y {1} están cerrados en R , solo los conjuntos cerrados pueden ser separados con precisión por una función, pero el hecho de que dos conjuntos estén cerrados y separados por una función no significa que estén automáticamente separados con precisión por una función. (incluso una función diferente).
Relación con axiomas de separación y espacios separados
Los axiomas de separación son varias condiciones que a veces se imponen a los espacios topológicos, muchos de los cuales pueden describirse en términos de los diversos tipos de conjuntos separados. Como ejemplo definiremos el axioma T 2 , que es la condición que se impone a los espacios separados. Específicamente, un espacio topológico se separó si, dado cualquier dos distintos puntos x y y , los conjuntos singleton { x } y { Y } están separados por barrios.
Espacios separados son también llamados espacios de Hausdorff o T 2 espacios . Se puede encontrar más información sobre los espacios separados en el artículo Espacio de Hausdorff . La discusión general de los diversos axiomas de separación se encuentra en el artículo Axioma de separación .
Relación con los espacios conectados
Dado un espacio topológico X , a veces es útil considerar si es posible que un subconjunto A se separe de su complemento . Esto ciertamente es cierto si A es el conjunto vacío o el espacio completo X , pero puede haber otras posibilidades. Un espacio topológico X está conectado si estas son las únicas dos posibilidades. A la inversa, si un subconjunto no vacío A se separa de su propio complemento, y si el único subconjunto de A a compartir esta propiedad es el conjunto vacío, entonces A es un componente conectado abierto de X . (En el caso degenerado donde X es en sí mismo el conjunto vacío , las autoridades difieren sobre si está conectado y si es un componente de conexión abierta en sí mismo.)
Para obtener más información sobre los espacios conectados, consulte Espacio conectado .
Relación con puntos topológicamente distinguibles
Dado un espacio topológico X , dos puntos x y y son topológicamente distinguible si existe un conjunto abierto que un punto pertenece a pero el otro punto no lo hace. Si X y Y son topológicamente distinguibles, a continuación, los conjuntos únicos { x } y { Y } debe ser disjuntos. Por otro lado, si los singletons { x } y { Y se separan}, entonces los puntos x y y deben ser topológicamente distinguibles. Por lo tanto, para los singleton, la distinción topológica es una condición entre la dislocación y la separación.
Para obtener más información sobre los puntos distinguibles topológicamente, consulte Distinguibilidad topológica .
Citas
Fuentes
- Munkres, James R. (2000). Topología . Prentice-Hall . ISBN 0-13-181629-2.
- Willard, Stephen (2004). Topología general . Addison-Wesley . ISBN 0-486-43479-6.