En topología y ramas relacionadas de las matemáticas , un espacio T 1 es un espacio topológico en el que, por cada par de puntos distintos, cada uno tiene una vecindad que no contiene al otro punto. [1] Un espacio R 0 es aquel en el que esto es válido para cada par de puntos distinguibles topológicamente . Las propiedades T 1 y R 0 son ejemplos de axiomas de separación .
Axiomas de separación en espacios topológicos | |
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Clasificación de Kolmogorov | |
T 0 | (Kolmogorov) |
T 1 | (Fréchet) |
T 2 | (Hausdorff) |
T 2 ½ | (Urysohn) |
completamente T 2 | (completamente Hausdorff) |
T 3 | (Hausdorff regular) |
T 3½ | (Tychonoff) |
T 4 | (Hausdorff normal) |
T 5 | ( Hausdorff completamente normal ) |
T 6 | ( Hausdorff perfectamente normal ) |
Definiciones
Deje X ser un espacio topológico y dejar que x e y ser puntos en X . Decimos que X e Y podemos ser separados si cada uno se encuentra en un barrio que no contiene el otro punto.
- X es un espacio T 1 si dos puntos distintos en X están separados.
- X es un espacio R 0 si dos puntos que se pueden distinguir topológicamente en X están separados.
El espacio AT 1 también se denomina espacio accesible o un espacio con topología de Fréchet y un espacio R 0 también se denomina espacio simétrico . (El término espacio de Fréchet también tiene un significado completamente diferente en el análisis funcional . Por esta razón, se prefiere el término espacio T 1. También existe la noción de un espacio de Fréchet-Urysohn como un tipo de espacio secuencial . El término espacio simétrico tiene otro significado .)
Propiedades
Si X es un espacio topológico, las siguientes condiciones son equivalentes:
- X es un espacio T 1 .
- X es un espacio T 0 y un espacio R 0 .
- Los puntos están cerrados en X ; es decir, dado cualquier x ∈ X , el conjunto singleton { x } es un conjunto cerrado .
- Cada subconjunto de X es la intersección de todos los conjuntos abiertos que lo contienen.
- Todo conjunto finito está cerrado. [2]
- Todos los cofinitos de X están abiertos.
- El ultrafiltro fijo en x converge solo ax .
- Para cada subconjunto S de X y cada punto x ∈ X , x es un punto límite de S si y sólo si cada abierto vecindad de x contiene un número infinito de puntos de S .
Si X es un espacio topológico, las siguientes condiciones son equivalentes:
- X es un espacio R 0 .
- Dado cualquier x ∈ X , el cierre de { x } contiene solo los puntos que son topológicamente indistinguibles de x .
- Para cualquier par de puntos x y y en el espacio, x está en el cierre de { y } si y sólo si y es en el cierre de { x }.
- El preorden de especialización en X es simétrico (y por lo tanto una relación de equivalencia ).
- El ultrafiltro fijo en x converge solo a los puntos que son topológicamente indistinguibles de x .
- Todo conjunto abierto es la unión de conjuntos cerrados .
En cualquier espacio topológico tenemos, como propiedades de dos puntos cualesquiera, las siguientes implicaciones
- separados ⇒ topológicamente distinguibles ⇒ distintos
Si la primera flecha se puede invertir, el espacio es R 0 . Si la segunda flecha se puede invertir, el espacio es T 0 . Si la flecha compuesta se puede invertir, el espacio es T 1 . Un espacio es T 1 si y solo si es tanto R 0 como T 0 .
Tenga en cuenta que un espacio T 1 finito es necesariamente discreto (ya que todo conjunto es cerrado).
Ejemplos de
- El espacio de Sierpinski es un ejemplo simple de una topología que es T 0 pero no T 1 .
- La topología de intervalo superpuesto es un ejemplo simple de una topología que es T 0 pero no T 1 .
- Cada espacio débilmente de Hausdorff es T 1 pero lo contrario no es cierto en general.
- La topología cofinita en un conjunto infinito es un ejemplo simple de una topología que es T 1 pero no es Hausdorff (T 2 ). Esto se sigue ya que no hay dos conjuntos abiertos de la topología de cofinita que estén separados. Específicamente, sea X el conjunto de números enteros y defina los conjuntos abiertos O A como aquellos subconjuntos de X que contienen todo menos un subconjunto A de X finito . Luego dan números enteros distintos x e y :
- el conjunto abierto O { x } contiene y pero no x , y el conjunto abierto O { y } contiene x y no y ;
- de manera equivalente, cada conjunto único { x } es el complemento del conjunto abierto O { x } , por lo que es un conjunto cerrado;
- por lo que el espacio resultante es T 1 según cada una de las definiciones anteriores. Este espacio no es T 2 , porque la intersección de dos conjuntos abiertos cualesquiera O A y O B es O A ∪ B , que nunca está vacío. Alternativamente, el conjunto de enteros pares es compacto pero no cerrado , lo que sería imposible en un espacio de Hausdorff.
- El ejemplo anterior se puede modificar ligeramente para crear la topología de cofinita de doble punta , que es un ejemplo de un espacio R 0 que no es ni T 1 ni R 1 . Sea X el conjunto de números enteros nuevamente, y usando la definición de O A del ejemplo anterior, defina una subbase de conjuntos abiertos G x para que cualquier entero x sea G x = O { x , x +1} si x es un número par , y G x = O { x -1, x } si x es impar. Entonces, la base de la topología viene dada por intersecciones finitas de los conjuntos de subbase: dado un conjunto finito A , los conjuntos abiertos de X son
- El espacio resultante no es T 0 (y por tanto no T 1 ), porque los puntos x y x + 1 (para x par) son topológicamente indistinguible; pero por lo demás es esencialmente equivalente al ejemplo anterior.
- La topología de Zariski en una variedad algebraica (sobre un campo algebraicamente cerrado ) es T 1 . Para ver esto, observe que el singleton que contiene un punto con coordenadas locales ( c 1 , ..., c n ) es el conjunto cero de los polinomios x 1 - c 1 , ..., x n - c n . Por tanto, el punto está cerrado. Sin embargo, este ejemplo es bien conocido como un espacio que no es Hausdorff (T 2 ). La topología de Zariski es esencialmente un ejemplo de topología cofinita.
- La topología de Zariski en un anillo conmutativo (es decir, el espectro principal de un anillo ) es T 0 pero no, en general, T 1 . [3] Para ver esto, tenga en cuenta que el cierre de un conjunto de un punto es el conjunto de todos los ideales primos que contienen el punto (y por lo tanto la topología es T 0 ). Sin embargo, este cierre es un ideal máximo , y los únicos puntos cerrados son los ideales máximos y, por lo tanto, no están contenidos en ninguno de los conjuntos abiertos de la topología y, por lo tanto, el espacio no satisface el axioma T 1 . Para ser claros acerca de este ejemplo: la topología de Zariski para un anillo conmutativo A se da como sigue: el espacio topológico es el conjunto X de todos los ideales primos de A . La base de la topología está dada por los conjuntos abiertos O una de ideales primos que no contienen una en una . Es sencillo verificar que este hecho constituye la base: de modo O una ∩ O b = O ab y O 0 = O y O 1 = X . Los conjuntos cerrados de la topología de Zariski son los conjuntos de ideales primos que no contienen una . Observe cómo este ejemplo difiere sutilmente del ejemplo de topología cofinita, arriba: los puntos en la topología no están cerrados, en general, mientras que en un espacio T 1 , los puntos siempre están cerrados.
- Todo espacio totalmente desconectado es T 1 , ya que todo punto es un componente conectado y, por tanto, cerrado.
Generalizaciones a otro tipo de espacios
Los términos "T 1 ", "R 0 " y sus sinónimos también pueden aplicarse a variaciones de espacios topológicos tales como espacios uniformes , espacios de Cauchy y espacios de convergencia . La característica que une el concepto en todos estos ejemplos es que los límites de los ultrafiltros fijos (o redes constantes ) son únicos (para espacios T 1 ) o únicos hasta la indistinguibilidad topológica (para espacios R 0 ).
Resulta que los espacios uniformes, y más generalmente los espacios de Cauchy, son siempre R 0 , por lo que la condición T 1 en estos casos se reduce a la condición T 0 . Pero R 0 por sí solo puede ser una condición interesante en otros tipos de espacios de convergencia, como los espacios pretopológicos .
Referencias
- ^ Arkhangel'skii (1990). Ver sección 2.6.
- ^ Archangel'skii (1990) Véase la proposición 13, sección 2.6.
- ^ Arkhangel'skii (1990). Consulte el ejemplo 21, sección 2.6.
- Lynn Arthur Steen y J. Arthur Seebach, Jr., contraejemplos en topología . Springer-Verlag, Nueva York, 1978. Reimpreso por Dover Publications, Nueva York, 1995. ISBN 0-486-68735-X (edición de Dover).
- Willard, Stephen (1998). Topología general . Nueva York: Dover. págs. 86–90. ISBN 0-486-43479-6.
- Folland, Gerald (1999). Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones (2ª ed.). John Wiley & Sons, Inc. pág. 116 . ISBN 0-471-31716-0.
- AV Arkhangel'skii, LS Pontryagin (Eds.) Topología general I (1990) Springer-Verlag ISBN 3-540-18178-4 .