En matemáticas , en el campo de la geometría algebraica , el mapeo de períodos relaciona familias de variedades de Kähler con familias de estructuras de Hodge .
Teorema de ehresmann
Sea f : X → B un morfismo sumergible holomórfico. Para un punto b de B , denotamos la fibra de f sobre b por X b . Fijar un punto 0 en B . El teorema de Ehresmann garantiza que hay un pequeño vecindario abierto U alrededor de 0 en el que f se convierte en un haz de fibras . Es decir, f -1 ( U ) es difeomorfa a X 0 × U . En particular, el mapa compuesto
es un difeomorfismo. Este difeomorfismo no es único porque depende de la elección de la banalización. La trivialización se construye a partir de trayectorias suaves en U , y se puede demostrar que la clase de homotopía del difeomorfismo depende solo de la elección de una clase de homotopía de trayectorias de b a 0. En particular, si U es contráctil, hay un pozo -difeomorfismo definido hasta homotopía.
El difeomorfismo de X b a X 0 induce un isomorfismo de grupos cohomológicos
y dado que los mapas homotópicos inducen mapas idénticos en cohomología, este isomorfismo depende sólo de la clase de homotopía del camino de b a 0.
Asignaciones de períodos locales no polarizados
Suponga que f es propia y que X 0 es una variedad de Kähler. La condición Kähler está abierta, así que después de posiblemente la reducción de U , X b es compacto y Kähler para todos b en U . Después de encoger aún más U , podemos suponer que es contráctil. Entonces hay un isomorfismo bien definido entre los grupos de cohomología de X 0 y X b . Estos isomorfismos de grupos de cohomología no preservarán en general las estructuras de Hodge de X 0 y X b porque son inducidos por difeomorfismos, no por biholomorfismos. Sea F p H k ( X b , C ) el paso p- ésimo de la filtración de Hodge . Los números de Hodge de X b son los mismos que los de X 0 , [1] por lo que el número b p , k = dim F p H k ( X b , C ) es independiente de b . El mapa del período es el mapa
donde F es la variedad bandera de cadenas de subespacios de dimensiones b p , k para todo p , que envía
Como X b es una variedad de Kähler, la filtración de Hodge satisface las relaciones bilineales de Hodge-Riemann . Estos implican que
No todos los indicadores de subespacios cumplen esta condición. El subconjunto de la variedad bandera que satisface esta condición se denomina dominio del período local no polarizado y se denota. es un subconjunto abierto de la variedad bandera F .
Mapeos de períodos polarizados locales
Suponga ahora no solo que cada X b es Kähler, sino que hay una clase de Kähler que varía holomórficamente en b . En otras palabras, suponga que hay una clase ω en H 2 ( X , Z ) tal que para cada b , la restricción ω b de ω a X b es una clase de Kähler. ω b determina una forma bilineal Q en H k ( X b , C ) por la regla
Esta forma varía holomórficamente en b y, en consecuencia, la imagen del mapeo del período satisface restricciones adicionales que nuevamente provienen de las relaciones bilineales de Hodge-Riemann. Estos son:
- Ortogonalidad : F p H k ( X b , C ) es ortogonal a F k - p + 1 H k ( X b , C ) con respecto a Q .
- Definición positiva : Para todo p + q = k , la restricción dea las clases primitivas de tipo ( p , q ) es positivo definido.
El dominio de período local polarizado es el subconjunto del dominio de período local no polarizado cuyas banderas satisfacen estas condiciones adicionales. La primera condición es una condición cerrada, y la segunda es una condición abierta, y por consiguiente el dominio período local de polarización es un subconjunto localmente cerrado del dominio período local de no polarizada y de la variedad bandera F . El mapeo de períodos se define de la misma manera que antes.
El dominio del período local polarizado y el mapeo del período polarizado todavía se indican y , respectivamente.
Asignaciones de períodos globales
Centrarse sólo en asignaciones período locales ignora la información presente en la topología del espacio base B . Las asignaciones de períodos globales se construyen para que esta información aún esté disponible. La dificultad en la construcción de las asignaciones globales de época proviene de la monodromía de B : Ya no es una clase única de homotopía difeomorfismos que relacionan las fibras X b y X 0 . En cambio, distintas clases de homotopía de trayectorias en B inducen posiblemente distintas clases de homotopía de difeomorfismos y, por lo tanto, posiblemente distintos isomorfismos de grupos de cohomología. En consecuencia, ya no hay una bandera bien definida para cada fibra. En cambio, la bandera se define solo hasta la acción del grupo fundamental.
En el caso no polarizado, defina el grupo de monodromía Γ como el subgrupo de GL ( H k ( X 0 , Z )) que consiste en todos los automorfismos inducidos por una clase de homotopía de curvas en B como antes. La variedad de bandera es un cociente de un grupo de Lie por un subgrupo parabólico, y el grupo de monodromía es un subgrupo aritmético del grupo de Lie. El dominio de período no polarizado global es el cociente del dominio de período no polarizado local por la acción de Γ (por lo tanto, es una colección de clases dobles ). En el caso polarizado, se requiere que los elementos del grupo de monodromía conserven también la forma bilineal Q , y el dominio del período polarizado global se construye como un cociente por Γ de la misma manera. En ambos casos, el mapeo del período lleva un punto de B a la clase de filtración de Hodge en X b .
Propiedades
Griffiths demostró que el mapa del período es holomórfico. Su teorema de transversalidad limita el rango del mapa de período.
Matrices de período
La filtración de Hodge se puede expresar en coordenadas utilizando matrices de período. Elija una base δ 1 , ..., δ r para la parte libre de torsión del k- ésimo grupo de homología integral H k ( X , Z ) . Fix p y q con p + q = k , y elegir una base ω 1 , ..., ω s para las formas armónicas de tipo ( p , q ) . La matriz de períodos de X 0 con respecto a estas bases es la matriz
Las entradas de la matriz de períodos dependen de la elección de la base y de la estructura compleja. Los δs pueden variarse eligiendo una matriz Λ en SL ( r , Z ) , y los ωs pueden variarse eligiendo una matriz A en GL ( s , C ) . Una matriz de período es equivalente a Ω si se puede escribir como A ΩΛ para alguna elección de A y Λ.
El caso de las curvas elípticas
Considere la familia de curvas elípticas
donde λ es cualquier número complejo distinto de cero o uno. La filtración de Hodge en el primer grupo de cohomología de una curva tiene dos pasos, F 0 y F 1 . Sin embargo, F 0 es todo el grupo de cohomología, por lo que el único término interesante de la filtración es F 1 , que es H 1,0 , el espacio de las formas 1 armónicas holomorfas.
H 1,0 es unidimensional porque la curva es elíptica, y para todo λ, se amplía mediante la forma diferencial ω = dx / y . Para encontrar representantes explícitos del grupo de homología de la curva, tenga en cuenta que la curva se puede representar como el gráfico de la función multivalor
en la esfera de Riemann . Los puntos de ramificación de esta función están en cero, uno, λ e infinito. Haga dos cortes de rama, uno que va de cero a uno y el otro que va de λ al infinito. Estos agotan los puntos de ramificación de la función, por lo que cortan la función de varios valores en dos hojas de un solo valor. Fije un pequeño ε> 0 . En una de estas hojas, trace la curva γ ( t ) = 1/2 + (1/2 + ε) exp (2π it ) . Para ε suficientemente pequeño, esta curva rodea el corte de la rama [0, 1] y no se encuentra con el corte de la rama [λ, ∞] . Ahora traza otra curva δ ( t ) que comienza en una hoja como δ ( t ) = 1 + 2 (λ - 1) t para 0 ≤ t ≤ 1/2 y continúa en la otra hoja como δ ( t ) = λ + 2 (1 - λ) (t - 1/2) para 1/2 ≤ t ≤ 1 . Cada mitad de esta curva conecta los puntos 1 y λ en las dos hojas de la superficie de Riemann. Según el teorema de Seifert-van Kampen , el grupo de homología de la curva está libre de rango dos. Debido a que las curvas se encuentran en un solo punto, 1 + ε , ninguna de sus clases de homología es un múltiplo propio de alguna otra clase de homología y, por tanto, forman una base de H 1 . Por tanto, la matriz de períodos para esta familia es
La primera entrada de esta matriz vamos a abreviar como A , y la segunda como B .
La forma bilineal √ −1 Q es definida positiva porque localmente, siempre podemos escribir ω como f dz , por lo tanto
Por dualidad de Poincaré, γ y δ corresponden a las clases de cohomología γ * y δ * que juntas son una base para H 1 ( X 0 , Z ) . De ello se deduce que ω se puede escribir como una combinación lineal de γ * y δ * . Los coeficientes se dan evaluando ω con respecto a los elementos de base dual γ y δ:
Cuando reescribimos la definición positiva de Q en estos términos, tenemos
Dado que γ * y δ * son integrales, no cambian bajo la conjugación. Además, dado que γ y δ se cruzan en un solo punto y un solo punto es un generador de H 0 , el producto de copa de γ * y δ * es la clase fundamental de X 0 . En consecuencia, esta integral es igual a. La integral es estrictamente positiva, por lo que ni A ni B pueden ser cero.
Después de cambiar la escala de ω, podemos suponer que la matriz del período es igual a (1 τ) para algún número complejo τ con una parte imaginaria estrictamente positiva. Esto elimina la ambigüedad proveniente de la acción GL (1, C ) . La acción de SL (2, Z ) es entonces la acción habitual del grupo modular en el semiplano superior. En consecuencia, el dominio del período es la esfera de Riemann . Esta es la parametrización habitual de una curva elíptica como rejilla.
Ver también
Referencias
- ↑ Voisin, Proposición 9.20
Cálculos
- Cálculo explícito de matrices de período para curvas de la forma - incluye ejemplos
- Cálculo explícito de matrices de períodos para curvas hiperelípticas : incluye ejemplos
- Algoritmo para calcular periodos de hipersuperficies
General
- Voisin, teoría de Hodge y geometría algebraica compleja I, II
Aplicaciones
enlaces externos
- Mapeo de períodos en la Enciclopedia de Matemáticas