En matemáticas, una estructura de Hodge , que lleva el nombre de WVD Hodge , es una estructura algebraica a nivel de álgebra lineal , similar a la que da la teoría de Hodge a los grupos de cohomología de una variedad de Kähler suave y compacta . Las estructuras de Hodge se han generalizado para todas las variedades complejas (incluso si son singulares y no completas ) en forma de estructuras de Hodge mixtas , definidas por Pierre Deligne (1970). Una variación de la estructura de Hodge es una familia de estructuras de Hodge parametrizadas por una variedad, estudiada por primera vez por Phillip Griffiths(1968). Todos estos conceptos se generalizaron aún más a módulos Hodge mixtos sobre variedades complejas por Morihiko Saito (1989).
Estructuras Hodge
Definición de estructuras de Hodge
Una estructura de Hodge pura de peso entero n consta de un grupo abelianoy una descomposición de su complexificación H en una suma directa de subespacios complejos, dónde , con la propiedad de que el complejo conjugado de es :
Se obtiene una definición equivalente reemplazando la descomposición de suma directa de H por la filtración de Hodge , una filtración decreciente finita de H por subespacios complejos sujeto a la condición
La relación entre estas dos descripciones se da como sigue:
Por ejemplo, si X es un colector Kähler compacto ,es el n -ésimo grupo de cohomología de X con coeficientes enteros, entonceses su n -ésimo grupo de cohomología con coeficientes complejos y la teoría de Hodge proporciona la descomposición de H en una suma directa como se indicó anteriormente, de modo que estos datos definen una estructura de Hodge pura de peso n . Por otro lado, la secuencia espectral de Hodge-de Rham proporciona con la filtración decreciente por como en la segunda definición. [1]
Para aplicaciones en geometría algebraica, a saber, clasificación de variedades proyectivas complejas por sus períodos , el conjunto de todas las estructuras de Hodge de peso n enes demasiado grande. Usando las relaciones bilineales de Riemann , en este caso llamadas relaciones bilineales de Hodge Riemann , se puede simplificar sustancialmente. Una estructura de Hodge polarizada de peso n consta de una estructura de Hodgey una forma bilineal entera no degenerada Q en( polarización ), que se extiende a H por linealidad, y satisface las condiciones:
En cuanto a la filtración Hodge, estas condiciones implican que
donde C es el operador de Weil en H , dado por en .
Otra definición más de una estructura de Hodge se basa en la equivalencia entre -calificación en un espacio vectorial complejo y la acción del grupo circular U (1) . En esta definición, una acción del grupo multiplicativo de números complejosvisto como un toro algebraica real de dos dimensiones, se da en H . [2] Esta acción debe tener la propiedad de que un número real a actúa por una n . El subespacio es el subespacio en el que actúa como multiplicación por
A -Estructura de la hamaca
En la teoría de los motivos, es importante permitir coeficientes más generales para la cohomología. La definición de una estructura de Hodge se modifica fijando un subanillo noetheriano A del campode números reales , para los cualeses un campo. Entonces una estructura de Hodge A pura de peso n se define como antes, reemplazandocon A . Hay funtores naturales de cambio de base y la restricción relativas Hodge A -construcciones y sus partes y B -construcciones y sus partes para A un subanillo de B .
Estructuras mixtas de Hodge
Jean-Pierre Serre advirtió en la década de 1960 basándose en las conjeturas de Weil que incluso las variedades algebraicas singulares (posiblemente reducibles) y no completas deberían admitir «números Betti virtuales». Más precisamente, uno debería poder asignar a cualquier variedad algebraica X un polinomio P X ( t ), llamado su polinomio virtual de Poincaré , con las propiedades
- Si X es no singular y proyectivo (o completo)
- Si Y es un subconjunto algebraico cerrado de X y U = X \ Y
La existencia de tales polinomios se seguiría de la existencia de un análogo de la estructura de Hodge en las cohomologías de una variedad algebraica general (singular y no completa). La característica novedosa es que el n º cohomology de un general miradas variedad como si contuviera piezas de diferentes pesos. Esto llevó a Alexander Grothendieck a su teoría conjetural de los motivos y motivó la búsqueda de una extensión de la teoría de Hodge, que culminó en el trabajo de Pierre Deligne . Introdujo la noción de una estructura mixta de Hodge, desarrolló técnicas para trabajar con ellos, dio su construcción (basada en la resolución de singularidades de Heisuke Hironaka ) y los relacionó con los pesos de la cohomología l-ádica , demostrando la última parte de Weil conjeturas .
Ejemplo de curvas
Para motivar la definición, considere el caso de una curva algebraica compleja reducible X que consta de dos componentes no singulares, y , que se cruzan transversalmente en los puntos y . Además, suponga que los componentes no son compactos, pero se pueden compactar agregando los puntos. El primer grupo de cohomología de la curva X (con soporte compacto) es dual al primer grupo de homología, que es más fácil de visualizar. Hay tres tipos de ciclos únicos en este grupo. Primero, hay elementos representando pequeños bucles alrededor de los pinchazos . Entonces hay elementosque proceden de la primera homología de la compactificación de cada uno de los componentes. El ciclo único en () correspondiente a un ciclo en la compactación de este componente, no es canónico: estos elementos se determinan modulo el lapso de . Finalmente, módulo los dos primeros tipos, el grupo se genera mediante un ciclo combinatorio que va desde a a lo largo de un camino en un componente y vuelve por un camino en el otro componente . Esto sugiere que admite una filtración creciente
cuyos sucesivos cocientes W n / W n -1 se originan a partir de la cohomología de variedades lisas completas, por lo que admiten estructuras de Hodge (puras), aunque de diferentes pesos. Se pueden encontrar más ejemplos en "Una guía ingenua para la teoría mixta de Hodge". [3]
Definición de estructura mixta de Hodge
Una estructura mixta de Hodge en un grupo abelianoconsiste en una filtración decreciente finita F p en el espacio vectorial complejo H (la complexificación de), denominada filtración de Hodge y filtración creciente finita W i en el espacio vectorial racional(obtenido al extender los escalares a números racionales), llamado filtrado de peso , sujeto al requisito de que el cociente graduado asociado n -ésimo decon respecto a la filtración en peso, junto con la filtración inducida por F en su complexificación, es una estructura de Hodge pura de peso n , para todo entero n . Aquí la filtración inducida en
es definido por
Se puede definir una noción de morfismo de estructuras mixtas de Hodge, que tiene que ser compatible con las filtraciones F y W y demostrar lo siguiente:
- Teorema. Las estructuras mixtas de Hodge forman una categoría abeliana . Los granos y cokernels en esta categoría coinciden con los kernels y cokernels habituales en la categoría de espacios vectoriales, con las filtraciones inducidas.
La cohomología total de un colector Kähler compacto tiene una estructura de Hodge mixta, donde el n- ésimo espacio de la filtración de peso W n es la suma directa de los grupos de cohomología (con coeficientes racionales) de grado menor o igual an . Por lo tanto, se puede pensar en la teoría clásica de Hodge en el caso compacto y complejo como que proporciona una clasificación doble en el grupo de cohomología compleja, que define una fitración creciente F p y una filtración decreciente W n que son compatibles de cierta manera. En general, el espacio de cohomología total todavía tiene estas dos filtraciones, pero ya no provienen de una descomposición de suma directa. En relación con la tercera definición de la estructura de Hodge pura, se puede decir que una estructura de Hodge mixta no se puede describir utilizando la acción del grupo.Una idea importante de Deligne es que en el caso mixto hay un grupo proalgebraico no conmutativo más complicado que se puede utilizar para el mismo efecto utilizando el formalismo tannakiano .
Además, la categoría de estructuras de Hodge (mixtas) admite una buena noción de producto tensorial, correspondiente al producto de variedades, así como conceptos relacionados de Hom interno y objeto dual , convirtiéndolo en una categoría tannakiana . Según la filosofía de Tannaka-Kerin , esta categoría es equivalente a la categoría de representaciones de dimensión finita de un determinado grupo, que Deligne, Milne y et el. ha descrito explícitamente, ver Deligne (1982) [4] y Deligne (1994) . La descripción de este grupo fue reformulada en términos más geométricos por Kapranov (2012) . Patrikis (2016) realizó el análisis correspondiente (mucho más complicado) para estructuras de Hodge polarizables puras racionales.
Estructura mixta de Hodge en cohomología (teorema de Deligne)
Deligne ha demostrado que el n- ésimo grupo de cohomología de una variedad algebraica arbitraria tiene una estructura canónica mixta de Hodge. Esta estructura es funtorial , y compatible con los productos de las variedades ( Künneth isomorfismo ) y el producto de cohomología. Para una variedad X no singular completa, esta estructura es pura de peso n , y la filtración de Hodge se puede definir a través de la hipercohomología del complejo de Rham truncado.
La prueba consta aproximadamente de dos partes, cuidando la falta de compacidad y las singularidades. Ambas partes utilizan la resolución de singularidades (debido a Hironaka) de manera esencial. En el caso singular, las variedades se reemplazan por esquemas simples, lo que lleva a un álgebra homológica más complicada, y se utiliza una noción técnica de una estructura de Hodge en complejos (en oposición a la cohomología).
Usando la teoría de los motivos , es posible refinar la filtración de peso en la cohomología con coeficientes racionales a uno con coeficientes integrales. [5]
Ejemplos de
- La estructura Tate-Hodge es la estructura de Hodge con subyacente módulo dado por (un subgrupo de ), con Por lo tanto, es puro de peso -2 por definición y es la estructura de Hodge pura unidimensional única de peso -2 hasta isomorfismos. Más en general, su n ésima potencia tensor se denota pores unidimensional y puro de peso -2 n .
- La cohomología de una variedad de Kähler completa es una estructura de Hodge, y el subespacio que consiste en el n- ésimo grupo de cohomología es puro de peso n .
- La cohomología de una variedad compleja (posiblemente singular o incompleta) es una estructura mixta de Hodge. Esto fue demostrado para las variedades suaves por Deligne (1971) , Deligne (1971a) y en general por Deligne (1974) .
- Para una variedad proyectiva con singularidades cruzadas normales hay una secuencia espectral con una página E 2 degenerada que calcula todas sus estructuras mixtas. La página E 1 tiene términos explícitos con un diferencial proveniente de un conjunto simplicial. [6]
- Cualquier variedad afín suave admite una compactificación suave (que se puede encontrar tomando su cierre proyectivo y encontrando su resolución de singularidades) con un divisor de cruce normal. Las formas logarítmicas correspondientes se pueden utilizar para encontrar una filtración por peso explícita de la estructura de mezcolanza mixta. [7]
- La estructura de Hodge para una hipersuperficie proyectiva suave de grado fue elaborado explícitamente por Griffiths en su artículo "Periodos integrales de los colectores algebraicos". Si es el polinomio que define la hipersuperficie luego el anillo del cociente jacobiano graduadocontiene toda la información de la cohomología media de . Él muestra quePor ejemplo, considere la superficie K3 dada por , por eso y . Entonces, el anillo jacobiano graduado esEl isomorfismo para los grupos de cohomología primitiva luego leapor esoDarse cuenta de es el espacio vectorial abarcado porque es de 19 dimensiones. Hay un vector extra en impartido por la clase de Lefschetz . Desde el teorema del hiperplano de Lefschetz y la dualidad de Hodge, el resto de la cohomología está en como es -dimensional. Por lo tanto, la mezcolanza de diamantes lee
1 0 0 1 20 1 0 0 1 - También podemos utilizar el isomorfismo anterior para verificar el género de un grado curva plana. Desde es una curva suave y el teorema de fibración de Ehresmann garantiza que cualquier otra curva suave del género es difeomorfo, tenemos que el género entonces el mismo. Entonces, usando el isomorfismo de la cohomología primitiva con la parte graduada del anillo jacobiano, vemos que Esto implica que la dimensión escomo se desee.
- Los números de Hodge para una intersección completa también se pueden calcular fácilmente: hay una fórmula combinatoria encontrada por Friedrich Hirzebruch . [8]
Aplicaciones
La maquinaria basada en las nociones de estructura de Hodge y estructura mixta de Hodge forma parte de la teoría de los motivos, todavía en gran parte conjetural , concebida por Alexander Grothendieck . La información aritmética para la variedad algebraica no singular X , codificada por el valor propio de los elementos de Frobenius que actúan sobre su cohomología l-ádica , tiene algo en común con la estructura de Hodge que surge de X considerada como una variedad algebraica compleja. Sergei Gelfand y Yuri Manin comentaron alrededor de 1988 en sus Métodos de álgebra homológica , que a diferencia de las simetrías de Galois que actúan sobre otros grupos de cohomología, el origen de las "simetrías de Hodge" es muy misterioso, aunque formalmente, se expresan a través de la acción del grupo bastante sencillo.sobre la cohomología de De Rham. Desde entonces, el misterio se ha profundizado con el descubrimiento y la formulación matemática de la simetría especular.
Variación de la estructura de Hodge
Una variación de la estructura de Hodge ( Griffiths (1968) , Griffiths (1968a) , Griffiths (1970) ) es una familia de estructuras de Hodge parametrizados por un complejo colector X . Más precisamente, una variación de la estructura de Hodge de peso n en una variedad compleja X consiste en una gavilla localmente constante S de grupos abelianos generados finitamente en X , junto con una filtración de Hodge decreciente F en S ⊗ O X , sujeto a las dos condiciones siguientes:
- La filtración induce una estructura de Hodge de peso n en cada tallo de la gavilla S
- ( Transversalidad de Griffiths ) La conexión natural en los mapas S ⊗ O X dentro
Aquí la conexión natural (plana) en S ⊗ O X inducida por la conexión plana en S y la conexión plana d en O X , y O X es el haz de funciones holomorfas en X , yes la gavilla de 1-formas en X . Esta conexión plana natural es una conexión Gauss-Manin ∇ y puede describirse mediante la ecuación de Picard-Fuchs .
Una variación de la estructura de Hodge mixta se puede definir de una manera similar, mediante la adición de una graduación o filtración W a S . Se pueden encontrar ejemplos típicos de morfismos algebraicos. Por ejemplo,
tiene fibras
que son curvas planas suaves del género 10 para y degenerar en una curva singular en Entonces, las gavillas de cohomología
dar variaciones de estructuras de mezcolanza mixtas.
Módulos Hodge
Los módulos de Hodge son una generalización de la variación de las estructuras de Hodge en una variedad compleja. Pueden pensarse informalmente como algo así como haces de estructuras de Hodge en una variedad; la definición precisa de Saito (1989) es bastante técnica y complicada. Hay generalizaciones para módulos Hodge mixtos y para variedades con singularidades.
Para cada variedad de complejo suave, hay una categoría abeliana de módulos mixtos de Hodge asociados a ella. Estos se comportan formalmente como las categorías de gavillas sobre las variedades; por ejemplo, los morfismos f entre variedades inducen los functores f ∗ , f * , f ! , f ! entre ( categorías derivadas de) módulos Hodge mixtos similares a los de las poleas.
Ver también
- Estructura mixta de Hodge
- Conjetura de Hodge
- Ideal jacobiano
- Estructura de Hodge-Tate , un análogo p -ádico de las estructuras de Hodge.
- Forma logarítmica
Notas
- ^ En términos de secuencias espectrales, ver álgebra homológica , las adaptaciones de Hodge se pueden describir de la siguiente manera:
- ^ Más precisamente, sea S el grupo algebraico real conmutativo bidimensionaldefinido como la restricción de Weil del grupo multiplicativo de a en otras palabras, si A es un álgebra sobreentonces el grupo S ( A ) de puntos valorados A de S es el grupo multiplicativo de Luego es el grupo de números complejos distintos de cero.
- ^ Durfee, Alan (1981). "Una guía ingenua para la teoría mixta de Hodge". Análisis complejo de singularidades : 48–63. hdl : 2433/102472 .
- ↑ El segundo artículo titulado Categorías tannakianas de Deligne y Milne se concentró en este tema.
- ^ Gillet, Henri ; Soulé, Christophe (1996). "Descenso, motivos y teoría K ". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik . 478 : 127-176. arXiv : alg-geom / 9507013 . Código bibliográfico : 1995alg.geom..7013G . doi : 10.1515 / crll.1996.478.127 . Señor 1409056 ., sección 3.1
- ^ Jones, BF, "Estructura mixta de Hodge de Deligne para variedades proyectivas con solo singularidades cruzadas normales" (PDF) , Seminario de trabajo sobre la teoría de Hodge , primavera de 2005
- ^ Nicolaescu, Liviu, "Estructuras mixtas de Hodge en variedades algebraicas suaves" (PDF) , Seminario de trabajo sobre teoría de Hodge , primavera de 2005
- ^ "Diamante de Hodge de intersecciones completas" . Stack Exchange . 14 de diciembre de 2013.
Referencias introductorias
- Debarre, Olivier, períodos y módulos
- Arapura, Donu, Variedades algebraicas complejas y su cohomología (PDF) , págs. 120–123, archivado desde el original (PDF) el 4 de enero de 2020 (Proporciona herramientas para calcular números mixtos utilizando cohomología de gavillas)
- Una guía ingenua para la teoría mixta de Hodge
- Dimca, Alexandru (1992). Singularidades y topología de hipersuperficies . Universitext. Nueva York: Springer-Verlag . págs. 240, 261. doi : 10.1007 / 978-1-4612-4404-2 . ISBN 0-387-97709-0. Señor 1194180 .(Da una fórmula y generadores para números de Hodge mixtos de fibra afín de Milnor de un polinomio homogéneo ponderado, y también una fórmula para complementos de polinomios homogéneos ponderados en un espacio proyectivo ponderado).
Artículos de encuestas
- Arapura, Donu, estructuras mixtas de Hodge asociadas a variaciones geométricas (PDF)
Referencias
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