En la teoría matemática de conjuntos , un modelo de permutación es un modelo de teoría de conjuntos con átomos (ZFA) construido utilizando un grupo de permutaciones de los átomos. Un modelo simétrico es similar excepto que es un modelo de ZF (sin átomos) y se construye usando un grupo de permutaciones de un forzamiento poset . Una aplicación es mostrar la independencia del axioma de elección de los otros axiomas de ZFA o ZF. Los modelos de permutación fueron introducidos por Fraenkel ( 1922 ) y desarrollados por Mostowski ( 1938 ). Los modelos simétricos fueron introducidos por Paul Cohen.
Suponga que A es un conjunto de átomos y G es un grupo de permutaciones de A. Un filtro normal de G es una colección F de subgrupos de G tal que
Si V es un modelo de ZFA con A el conjunto de átomos, entonces un elemento de V se llama simétrico si el subgrupo que lo fija está en F , y se llama hereditariamente simétrico si él y todos los elementos de su clausura transitiva son simétricos. El modelo de permutación consta de todos los elementos hereditariamente simétricos y es un modelo de ZFA.
Se puede construir un filtro en un grupo a partir de un ideal invariante del álgebra booleana de subconjuntos de A que contiene todos los elementos de A . Aquí un ideal es una colección I de subconjuntos de A cerrado bajo que toman los sindicatos y los subconjuntos, y se llama invariante si es invariante bajo la acción del grupo G . Para cada elemento S del ideal se puede tomar el subgrupo de G que consiste en todos los elementos de fijación cada elemento S . Estos subgrupos generan un filtro normal de G .