Urelement
En la teoría de conjuntos , una rama de las matemáticas , un urelemento o ur-elemento (del prefijo alemán ur- , 'primordial') es un objeto que no es un conjunto , pero que puede ser un elemento de un conjunto. También se le conoce como átomo o individuo .
Hay varias formas diferentes pero esencialmente equivalentes de tratar los urelementos en una teoría de primer orden .
Una forma es trabajar en una teoría de primer orden con dos tipos, conjuntos y urelementos, con a ∈ b solo definido cuando b es un conjunto. En este caso, si U es un urelemento, no tiene sentido decir , aunque es perfectamente legítimo.
Otra forma es trabajar en una teoría de orden único con una relación unaria utilizada para distinguir conjuntos y urelementos. Como los conjuntos no vacíos contienen miembros mientras que los urelements no, la relación unaria solo es necesaria para distinguir el conjunto vacío de los urelements. Tenga en cuenta que en este caso, el axioma de extensionalidad debe formularse para aplicarse solo a objetos que no son urelements.
Esta situación es análoga a los tratamientos de las teorías de conjuntos y clases . De hecho, los urelements son, en cierto sentido, duales a las clases adecuadas : los urelements no pueden tener miembros, mientras que las clases adecuadas no pueden ser miembros. Dicho de otra manera, los urelements son objetos mínimos mientras que las clases adecuadas son objetos máximos por la relación de pertenencia (que, por supuesto, no es una relación de orden, por lo que esta analogía no debe tomarse literalmente).
La teoría de conjuntos de Zermelo de 1908 incluía urelementos y, por lo tanto, es una versión que ahora llamamos ZFA o ZFCA (es decir, ZFA con axioma de elección ). [1] Pronto se dio cuenta de que en el contexto de esta y otras teorías de conjuntos axiomáticas estrechamente relacionadas , los urelements no eran necesarios porque se pueden modelar fácilmente en una teoría de conjuntos sin urelements. [2] Por lo tanto, las exposiciones estándar de las teorías de conjuntos axiomáticas canónicas ZF y ZFC no mencionan urelements. (Para una excepción, vea Suppes. [3] ) Las axiomatizaciones de la teoría de conjuntos que invocan urelements incluyen la teoría de conjuntos de Kripke-Platek con urelements, y la variante de la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel descrita por Mendelson. [4] En la teoría de tipos , un objeto de tipo 0 puede llamarse urelement; de ahí el nombre "átomo".