El método Petrov-Galerkin es un método matemático utilizado para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales parciales que contienen términos con orden impar y donde la función de prueba y la función de solución pertenecen a diferentes espacios funcionales. [1] Puede verse como una extensión del método de Bubnov-Galerkin donde las bases de las funciones de prueba y las funciones de solución son las mismas. En una formulación de operador de la ecuación diferencial, el método de Petrov-Galerkin puede verse como la aplicación de una proyección que no es necesariamente ortogonal, en contraste con el método de Bubnov-Galerkin .
Introducción con un problema abstracto
El método de Petrov-Galerkin es una extensión natural del método de Galerkin y se puede introducir de manera similar de la siguiente manera.
Un problema de formulación débil
Consideremos un problema abstracto planteado como una formulación débil en un par de espacios de Hilbert y , a saber,
- encontrar tal que para todos .
Aquí, es una forma bilineal y es un funcional lineal acotado en .
Reducción de dimensiones de Petrov-Galerkin
Elija subespacios de dimensión n yde dimensión my resolver el problema proyectado:
- Encontrar tal que para todos para todos .
Observamos que la ecuación no ha cambiado y solo han cambiado los espacios. Reducir el problema a un subespacio vectorial de dimensión finita nos permite calcular numéricamente como una combinación lineal finita de los vectores base en .
Ortogonalidad generalizada de Petrov-Galerkin
La propiedad clave del enfoque de Petrov-Galerkin es que el error es en cierto sentido "ortogonal" a los subespacios elegidos. Desde, nosotros podemos usar como vector de prueba en la ecuación original. Restando los dos, obtenemos la relación del error, que es el error entre la solución del problema original, , y la solución de la ecuación de Galerkin, , como sigue
- para todos .
Forma de matriz
Dado que el objetivo de la aproximación es producir un sistema lineal de ecuaciones , construimos su forma matricial, que se puede usar para calcular la solución algorítmicamente.
Dejar ser una base para y ser una base para. Entonces, es suficiente usar estos a su vez para probar la ecuación de Galerkin, es decir: encontrar tal que
Nos expandimos con respecto a la base de la solución, e insértelo en la ecuación anterior, para obtener
Esta ecuación anterior es en realidad un sistema lineal de ecuaciones. , dónde
Simetría de la matriz
Debido a la definición de las entradas de la matriz, la matriz es simétrico si, la forma bilineal es simétrico, , , y para todos A diferencia del caso del método de Bubnov-Galerkin , la matriz del sistema ni siquiera es cuadrado, si
Ejemplos de
Un ejemplo de ecuación diferencial que contiene un término con orden impar es el siguiente:
Si una función de prueba se utiliza para obtener la forma débil, después de la integración por partes, la formulación final de Galerkin se dará de la siguiente manera:
El término con orden par (segundo término en LHS) ahora es simétrico, ya que la función de prueba y la función de solución tienen el mismo orden de diferenciación y ambas pertenecen a . Sin embargo, no hay forma de que el primer trimestre en LHS se pueda hacer de esta manera. En este caso, el espacio de la solución y prueba el espacio de funciones son diferentes y, por lo tanto, no se puede utilizar el método de Bubnov-Galerkin empleado habitualmente .
Ver también
Notas
- ^ JN Reddy: Introducción al método de los elementos finitos , 2006, Mcgraw – Hill