Las formulaciones débiles son herramientas importantes para el análisis de ecuaciones matemáticas que permiten la transferencia de conceptos de álgebra lineal para resolver problemas en otros campos como las ecuaciones diferenciales parciales . En una formulación débil, ya no se requiere que las ecuaciones o condiciones se mantengan absolutamente (y esto ni siquiera está bien definido) y, en cambio, tiene soluciones débiles solo con respecto a ciertos "vectores de prueba" o " funciones de prueba ". En una formulación Strong , el espacio de la solución se construye de manera que estas ecuaciones o condiciones ya se cumplan.
Introducimos formulaciones débiles mediante algunos ejemplos y presentamos el teorema principal para la solución, el teorema de Lax-Milgram . El teorema lleva el nombre de Peter Lax y Arthur Milgram , quienes lo demostraron en 1954.
Concepto general
Dejar ser un espacio de Banach . Queremos encontrar la solución de la ecuación
- ,
dónde y , con siendo el dual de.
Esto es equivalente a encontrar tal que para todos sostiene:
- .
Aquí, llamamos un vector de prueba o una función de prueba.
Traemos esto a la forma genérica de una formulación débil, a saber, encontrar tal que
definiendo la forma bilineal
Dado que esto es muy abstracto, sigamos esto con algunos ejemplos.
Ejemplo 1: sistema lineal de ecuaciones
Ahora deja y ser un mapeo lineal. Entonces, la formulación débil de la ecuación
implica encontrar tal que para todos la siguiente ecuación es válida:
dónde denota un producto interior.
Desde es un mapeo lineal, es suficiente probar con vectores base, y obtenemos
En realidad, expandiendo , obtenemos la forma matricial de la ecuación
dónde y .
La forma bilineal asociada a esta formulación débil es
Ejemplo 2: ecuación de Poisson
Nuestro objetivo es resolver la ecuación de Poisson
en un dominio con en su límite, y queremos especificar el espacio de la solución mas tarde. Usaremos el-producto escalar
para derivar nuestra formulación débil. Luego, prueba con funciones diferenciables, obtenemos
Podemos hacer que el lado izquierdo de esta ecuación sea más simétrico mediante la integración por partes usando la identidad de Green y asumiendo que en :
Esto es lo que generalmente se llama la formulación débil de la ecuación de Poisson . Aún tenemos que especificar un espacioen el que encontrar una solución, pero como mínimo debe permitirnos escribir esta ecuación. Por lo tanto, requerimos que las funciones enson cero en el límite y tienen derivadas cuadradas integrables. El espacio adecuado para satisfacer estos requisitos es el espacio Sobolev de funciones con derivadas débiles en y con condiciones de contorno cero, por lo que establecemos
Obtenemos la forma genérica asignando
y
El teorema de Lax-Milgram
Ésta es una formulación del teorema de Lax-Milgram que se basa en las propiedades de la parte simétrica de la forma bilineal . No es la forma más general.
Dejar ser un espacio de Hilbert yuna forma bilineal en, cual es
- acotado : y
- coercitivo :
Entonces, para cualquier , hay una solución única a la ecuación
y aguanta
Aplicación al ejemplo 1
Aquí, la aplicación del teorema de Lax-Milgram es definitivamente un resultado más fuerte de lo que se necesita, pero aún podemos usarlo y darle a este problema la misma estructura que tienen los demás.
- Delimitación: todas las formas bilineales en están delimitados. En particular, tenemos
- Coercitividad: esto en realidad significa que las partes reales de los valores propios de no son más pequeños que . Dado que esto implica en particular que ningún valor propio es cero, el sistema se puede resolver.
Además, obtenemos la estimación
dónde es la parte real mínima de un valor propio de .
Aplicación al ejemplo 2
Aquí, como mencionamos anteriormente, elegimos con la norma
donde la norma de la derecha es la -norm en (esto proporciona una verdadera norma sobre por la desigualdad de Poincaré ). Pero vemos quey por la desigualdad de Cauchy-Schwarz ,.
Por lo tanto, para cualquier , hay una solución única de la ecuación de Poisson y tenemos la estimación
Ver también
Referencias
- Lax, Peter D .; Milgram, Arthur N. (1954), "Ecuaciones parabólicas", Contribuciones a la teoría de ecuaciones diferenciales parciales , Annals of Mathematics Studies, 33 , Princeton, NJ : Princeton University Press , págs. 167-190, doi : 10.1515 / 9781400882182- 010 , MR 0.067.317 , Zbl 0.058,08703