En álgebra diferencial , la teoría de Picard-Vessiot es el estudio de la extensión de campo diferencial generada por las soluciones de una ecuación diferencial lineal , utilizando el grupo de Galois diferencial de la extensión de campo. Un objetivo principal es describir cuándo la ecuación diferencial se puede resolver por cuadraturas en términos de propiedades del grupo diferencial de Galois. La teoría fue iniciada por Émile Picard y Ernest Vessiot desde aproximadamente 1883 hasta 1904.
Kolchin (1973) y van der Put y Singer (2003) ofrecen descripciones detalladas de la teoría de Picard-Vessiot.
Historia
Borel (2001 , capítulo VIII) analiza la historia de la teoría de Picard-Vessiot .
La teoría de Picard-Vessiot fue desarrollada por Picard entre 1883 y 1898 y por Vessiot de 1892 a 1904 (resumida en ( Picard 1908 , capítulo XVII) y Vessiot ( 1892 , 1910 )). El resultado principal de su teoría dice de manera muy aproximada que una ecuación diferencial lineal puede resolverse por cuadraturas si y solo si su grupo de Galois diferencial está conectado y tiene solución . Desafortunadamente, es difícil decir exactamente lo que demostraron, ya que el concepto de ser "solucionable por cuadraturas" no se define con precisión ni se usa de manera consistente en sus artículos Kolchin ( 1946 , 1948 ). dio definiciones precisas de los conceptos necesarios y demostró una versión rigurosa de este teorema.
Kolchin (1952) extendió la teoría de Picard-Vessiot a campos diferenciales parciales (con varias derivaciones de conmutación).
Kovacic (1986) describió un algoritmo para decidir si las ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden pueden resolverse mediante cuadraturas, conocido como algoritmo de Kovacic .
Extensiones y anillos Picard-Vessiot
Una extensión F ⊆ K de campos diferenciales se llama extensión Picard-Vessiot si todas las constantes están en F y K se puede generar al unir las soluciones de un polinomio diferencial ordinario lineal homogéneo.
Un anillo Picard-Vessiot R sobre el campo diferencial F es un anillo diferencial sobre F que es simple (sin ideales diferenciales distintos de 0 y R ) y generado como un k- álgebra por los coeficientes de A y 1 / det ( A ), donde a es una matriz invertible sobre F tal que B = a '/ a tiene coeficientes en F . (Entonces A es una matriz fundamental para la ecuación diferencial y ′ = By .)
Extensiones de Liouvillian
Una extensión F ⊆ K de campos diferenciales se llama Liouvillian si todas las constantes están en F , y K se puede generar al unir un número finito de integrales, exponencial de integrales y funciones algebraicas. Aquí, una integral de un elemento a se define como cualquier solución de y ′ = a , y una exponencial de una integral de a se define como cualquier solución de y ′ = ay .
Una extensión de Picard-Vessiot es de Liouvillian si y solo si el componente conectado de su grupo de Galois diferencial se puede resolver ( Kolchin 1948 , p. 38, van der Put y Singer 2003 , Teorema 1.39). Más precisamente, las extensiones por funciones algebraicas corresponden a grupos de Galois diferenciales finitos, las extensiones por integrales corresponden a subquotientes del grupo de Galois diferencial que son unidimensionales y unipotentes, y las extensiones por exponenciales de integrales corresponden a subquotientes del grupo de Galois diferencial que son 1 -dimensional y reductivo (tori).
Fuentes
- Beukers, Frits (1992), "8. Teoría diferencial de Galois", en Waldschmidt, Michel; Moussa, Pierre; Suerte, Jean-Marc; et al. (eds.), De la teoría de números a la física. Conferencias de una reunión sobre teoría de números y física celebrada en el Centre de Physique, Les Houches (Francia), del 7 al 16 de marzo de 1989 , Berlín: Springer-Verlag , págs. 413–439, ISBN 3-540-53342-7, Zbl 0813.12001
- Borel, Armand (2001), Ensayos sobre la historia de los grupos de Lie y los grupos algebraicos , Historia de las matemáticas, 21 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0288-5, MR 1847105
- Kolchin, ER (1946), "La teoría de Picard-Vessiot de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 32 (12): 308–311, doi : 10.1073 / pnas. 32.12.308 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 87871 , MR 0018168 , PMC 1078958 , PMID 16578224
- Kolchin, ER (1948), "Grupos matriciales algebraicos y la teoría de Picard-Vessiot de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas", Annals of Mathematics , Second Series, 49 (1): 1-42, doi : 10.2307 / 1969111 , ISSN 0003- 486x , JSTOR 1.969.111 , MR 0024884
- Kolchin, ER (1952), "Teoría de campos diferenciales parciales de Picard-Vessiot", Proceedings of the American Mathematical Society , 3 (4): 596–603, doi : 10.2307 / 2032594 , ISSN 0002-9939 , JSTOR 2032594 , MR 0049883
- Kolchin, ER (1973), Álgebra diferencial y grupos algebraicos , Matemáticas puras y aplicadas, 54 , Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-417650-8, MR 0568864
- Kovacic, Jerald J. (1986), "Un algoritmo para resolver ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden", Journal of Symbolic Computation , 2 (1): 3-43, doi : 10.1016 / S0747-7171 (86) 80010-4 , ISSN 0747-7171 , MR 0839134
- Picard, Émile (1908) [Publicado por primera vez en 1896], Traité d'analyse (en francés), 3 (deuxieme ed.), Gauthier-Villars - a través de Internet Archive
- van der Put, Marius; Singer, Michael F. (2003), teoría de Galois de ecuaciones diferenciales lineales , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], 328 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-44228-8, MR 1960772
- Vessiot, Ernest (1892), "Sur l'intégration des équations différentielles linéaires", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 3 (en francés), 9 : 197-280, doi : 10.24033 / asens.372
- Vessiot, Ernest (1910), "Méthodes d'integration élémentaires" , en Molk, Jules (ed.), Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées (en francés), 3 , Gauthier-Villars & Teubner, págs. 58-170
enlaces externos
- Kovacic, JJ (2005), la teoría de Picard-Vessiot, grupos algebraicos y esquemas de grupo (PDF) , Archivado desde el original (PDF) en 2012-02-26 , recuperado 2011-01-01