En la teoría de la bifurcación , un campo dentro de las matemáticas , una bifurcación en horquilla es un tipo particular de bifurcación local donde el sistema pasa de un punto fijo a tres puntos fijos. Las bifurcaciones de Pitchfork, como las bifurcaciones de Hopf, tienen dos tipos: supercríticas y subcríticas.
En los sistemas dinámicos continuos descritos por las EDO, es decir, los flujos, las bifurcaciones en forma de horquilla ocurren genéricamente en sistemas con simetría .
Caso supercrítico
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/2/22/Pitchfork_bifurcation_supercritical.svg/180px-Pitchfork_bifurcation_supercritical.svg.png)
La forma normal de la bifurcación de horquilla supercrítica es
Para , hay un equilibrio estable en . Para hay un equilibrio inestable en , y dos equilibrios estables en .
Caso subcrítico
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/b/be/Pitchfork_bifurcation_subcritical.svg/180px-Pitchfork_bifurcation_subcritical.svg.png)
La forma normal para el caso subcrítico es
En este caso, para el equilibrio en es estable, y hay dos equilibrios inestables en . Para el equilibrio en es inestable.
Definicion formal
Una EDO
descrito por una función de un parámetro con satisfactorio:
- (f es una función extraña ),
tiene una bifurcación de horquilla en. La forma de la horquilla viene dada por el signo de la tercera derivada:
Tenga en cuenta que subcrítico y supercrítico describen la estabilidad de las líneas exteriores de la horquilla (discontinua o sólida, respectivamente) y no dependen de la dirección en la que se enfrenta la horquilla. Por ejemplo, el negativo de la primera EDO anterior,, mira en la misma dirección que la primera imagen pero invierte la estabilidad.
Ver también
Referencias
- Steven Strogatz, Dinámica no lineal y caos: con aplicaciones a la física, biología, química e ingeniería , Perseus Books, 2000.
- S. Wiggins, Introducción a los sistemas dinámicos no lineales aplicados y al caos , Springer-Verlag, 1990.