En la teoría matemática de las bifurcaciones , una bifurcación de Hopf es un punto crítico donde la estabilidad de un sistema cambia y surge una solución periódica . [1] Más exactamente, es una bifurcación local en la que un punto fijo de un sistema dinámico pierde estabilidad, ya que un par de autovalores complejos conjugados —de la linealización alrededor del punto fijo— cruza el eje imaginario del plano complejo . Bajo supuestos razonablemente genéricos sobre el sistema dinámico, un ciclo límite de pequeña amplitud se ramifica desde el punto fijo.
Una bifurcación de Hopf también se conoce como una bifurcación de Poincaré-Andronov-Hopf, que lleva el nombre de Henri Poincaré , Aleksandr Andronov y Eberhard Hopf .
Descripción general
Bifurcaciones de Hopf supercríticas y subcríticas
El ciclo límite es orbitalmente estable si una cantidad específica llamada primer coeficiente de Lyapunov es negativa y la bifurcación es supercrítica. De lo contrario, es inestable y la bifurcación es subcrítica.
La forma normal de una bifurcación de Hopf es:
- donde z , b son complejos y λ es un parámetro.
Escribir: El número α se denomina primer coeficiente de Lyapunov .
- Si α es negativo, entonces hay un ciclo límite estable para λ > 0:
- dónde
- La bifurcación se denomina supercrítica.
- Si α es positivo, entonces hay un ciclo límite inestable para λ <0. La bifurcación se llama subcrítica.
Ejemplo
Las bifurcaciones de Hopf ocurren en el modelo Lotka-Volterra de interacción depredador-presa (conocido como paradoja del enriquecimiento ), el modelo de Hodgkin-Huxley para la membrana nerviosa, [2] el modelo de glucólisis de Selkov , [3] la reacción de Belousov-Zhabotinsky , el Atractor de Lorenz , el Brusselator y el electromagnetismo clásico . [4]
El modelo de Selkov es
El retrato de fase que ilustra la bifurcación de Hopf en el modelo de Selkov se muestra a la derecha. [5]
En los sistemas de vehículos ferroviarios, el análisis de la bifurcación de Hopf es especialmente importante. Convencionalmente, el movimiento estable de un vehículo ferroviario a bajas velocidades se convierte en inestable a altas velocidades. Uno de los objetivos del análisis no lineal de estos sistemas es realizar una investigación analítica de la bifurcación, la estabilidad lateral no lineal y el comportamiento de caza de los vehículos ferroviarios en una vía tangente, que utiliza el método Bogoliubov. [6]
Definición de una bifurcación de Hopf
La aparición o desaparición de una órbita periódica a través de un cambio local en las propiedades de estabilidad de un punto fijo se conoce como bifurcación de Hopf. El siguiente teorema funciona para puntos fijos con un par de valores propios puramente imaginarios conjugados distintos de cero . Indica las condiciones en las que se produce este fenómeno de bifurcación.
Teorema (ver sección 11.2 de [7] ). Dejarser el jacobiano de un sistema dinámico paramétrico continuo evaluado en un punto estable. Suponga que todos los valores propios de tienen una parte real negativa excepto un par puramente imaginario conjugado distinto de cero . Una bifurcación de Hopf surge cuando estos dos valores propios cruzan el eje imaginario debido a una variación de los parámetros del sistema.
Criterio de Routh-Hurwitz
El criterio de Routh-Hurwitz (sección I.13 de [8] ) proporciona las condiciones necesarias para que se produzca una bifurcación de Hopf. Veamos cómo se puede utilizar concretamente esta idea. [9]
Serie Sturm
Dejar ser una serie de Sturm asociada a un polinomio característico . Se pueden escribir en la forma:
Los coeficientes por en corresponden a lo que se llama determinantes de Hurwitz . [9] Su definición está relacionada con la matriz de Hurwitz asociada .
Proposiciones
Proposición 1 . Si todos los determinantes de Hurwitz son positivos, aparte quizás entonces el jacobiano asociado no tiene valores propios imaginarios puros.
Proposición 2 . Si todos los determinantes de Hurwitz (para todos en son positivos, y entonces todos los valores propios del jacobiano asociado tienen partes reales negativas excepto un par conjugado puramente imaginario.
Las condiciones que estamos buscando para que ocurra una bifurcación de Hopf (ver teorema arriba) para un sistema dinámico continuo paramétrico vienen dadas por esta última proposición.
Ejemplo
Considere el oscilador clásico de Van der Pol escrito con ecuaciones diferenciales ordinarias:
La matriz jacobiana asociada a este sistema es la siguiente:
El polinomio característico (en ) de la linealización en (0,0) es igual a:
Los coeficientes son:
La serie Sturm asociada es:
Los polinomios de Sturm se pueden escribir como (aquí):
La proposición 2 anterior dice que uno debe tener:
Dado que 1> 0 y −1 <0 son obvios, se puede concluir que puede ocurrir una bifurcación de Hopf para el oscilador de Van der Pol si .
Ver también
- Sistemas de reacción-difusión
Referencias
- ^ "Bifurcaciones de Hopf" (PDF) . MIT.
- ^ Guckenheimer, J .; Labouriau, JS (1993), "Bifurcación de las ecuaciones de Hodgkin y Huxley: un nuevo giro", Bulletin of Mathematical Biology , 55 (5): 937–952, doi : 10.1007 / BF02460693 , S2CID 189888352.
- ^ "Modelo de Selkov Wolfram Demo" . [demostraciones.wolfram.com] . Consultado el 30 de septiembre de 2012 .
- ^ López, Álvaro G (1 de diciembre de 2020). "Análisis de estabilidad del movimiento uniforme de cuerpos electrodinámicos" . Physica Scripta . 96 (1): 015506. doi : 10.1088 / 1402-4896 / abcad2 . ISSN 1402-4896 .
- ^ Para obtener una derivación detallada, consulte Strogatz, Steven H. (1994). Dinámica no lineal y caos . Addison Wesley. pag. 205 . ISBN 978-0-7382-0453-6.
- ^ Serajian, Reza (2011). "Efectos del bogie y la inercia del cuerpo en la caza de juego de ruedas no lineal reconocidos por la teoría de la bifurcación hopf" (PDF) . Revista Internacional de Ingeniería Automotriz . 3 (4): 186-196.
- ^ Hale, J .; Koçak, H. (1991). Dinámicas y Bifurcaciones . Textos en Matemática Aplicada. 3 . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-97141-2.
- ^ Hairer, E .; Norsett, SP; Wanner, G. (1993). Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias I: Problemas no rígidos (Segunda ed.). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-56670-0.
- ^ a b Kahoui, YO; Weber, A. (2000). "Decidir bifurcaciones de Hopf por eliminación de cuantificador en una arquitectura de componentes de software". Revista de Computación Simbólica . 30 (2): 161-179. doi : 10.1006 / jsco.1999.0353 .
Otras lecturas
- Guckenheimer, J .; Myers, M .; Sturmfels, B. (1997). "Computación de las bifurcaciones de Hopf I". Revista SIAM de Análisis Numérico . 34 (1): 1–21. CiteSeerX 10.1.1.52.1609 . doi : 10.1137 / S0036142993253461 .
- Hale, J .; Koçak, H. (1991). Dinámicas y Bifurcaciones . Textos en Matemática Aplicada. 3 . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-97141-2.
- Hassard, Brian D .; Kazarinoff, Nicholas D .; Wan, Yieh-Hei (1981). Teoría y aplicaciones de la bifurcación de Hopf . Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-23158-2.
- Kuznetsov, Yuri A. (2004). Elementos de la teoría aplicada de la bifurcación (tercera ed.). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-21906-6.
- Strogatz, Steven H. (1994). Dinámica no lineal y caos . Addison Wesley. ISBN 978-0-7382-0453-6.
enlaces externos
- La bifurcación de Hopf
- Página de bifurcación de Andronov-Hopf en Scholarpedia