Diseño de Plackett-Burman

Los diseños de Plackett-Burman son diseños experimentales presentados en 1946 por Robin L. Plackett y JP Burman mientras trabajaban en el Ministerio de Abastecimiento británico . [1] Su objetivo era encontrar diseños experimentales para investigar la dependencia de alguna cantidad medida en un número de variables independientes (factores), cada una tomando niveles L , de tal manera que se minimice la varianza de las estimaciones de estas dependencias usando un número limitado de experimentos. Las interacciones entre los factores se consideraron insignificantes. La solución a este problema es encontrar un diseño experimental donde cada combinaciónde niveles para cualquier par de factores aparece el mismo número de veces , a lo largo de todas las corridas experimentales (consulte la tabla). Un diseño factorial completo satisfaría este criterio, pero la idea era encontrar diseños más pequeños.

Diseño de Plackett-Burman para 12 corridas y 11 factores de dos niveles [2] Para dos X i cualesquiera , cada combinación (−−, - +, + -, ++) aparece tres, es decir, el mismo número de veces.
CorrerX 1X 2X 3X 4X 5X 6X 7X 8X 9X 10X 11
1 +++++++++++
2 -+-+++---+-
3 --+-+++---+
4 +--+-+++---
5 -+--+-+++--
6 --+--+-+++-
7 ---+--+-+++
8 +---+--+-++
9 ++---+--+-+
10 +++---+--+-
11 -+++---+--+
12 +-+++---+--

Para el caso de dos niveles ( L  = 2), Plackett y Burman utilizaron el método encontrado en 1933 por Raymond Paley para generar matrices ortogonales cuyos elementos son todos 1 o -1 ( matrices de Hadamard ). El método de Paley podría usarse para encontrar tales matrices de tamaño N para la mayoría de N iguales a un múltiplo de 4. En particular, funcionó para todos esos N hasta 100 excepto N  = 92. Sin embargo, si N es una potencia de 2, el El diseño resultante es idéntico a un diseño factorial fraccional , por lo que los diseños de Plackett-Burman se utilizan principalmente cuando N es un múltiplo de 4 pero no una potencia de 2 (es decir, N  = 12, 20, 24, 28, 36…). [3] Si uno está tratando de estimar menos de N parámetros (incluido el promedio general), entonces simplemente usa un subconjunto de las columnas de la matriz.

Para el caso de más de dos niveles, Plackett y Burman redescubrieron diseños que anteriormente habían sido dados por Raj Chandra Bose y K. Kishen en el Instituto de Estadística de la India . [4] Plackett y Burman dan detalles para diseños que tienen un número de experimentos igual al número de niveles L a alguna potencia entera, para L = 3, 4, 5 o 7.

Cuando las interacciones entre factores no son despreciables, a menudo se confunden en los diseños de Plackett-Burman con los efectos principales, lo que significa que los diseños no permiten distinguir entre ciertos efectos principales y ciertas interacciones. Esto se llama aliasing o confusión .

En 1993, Dennis Lin describió un método de construcción a través de medias fracciones de diseños de Plackett-Burman, usando una columna para tomar la mitad del resto de las columnas. [5] La matriz resultante, menos esa columna, es un "diseño sobresaturado" [6] para encontrar efectos de primer orden significativos, bajo el supuesto de que existen pocos.

Los diseños de Box-Behnken se pueden hacer más pequeños, o construir diseños muy grandes, reemplazando los factoriales fraccionales y los bloques incompletos tradicionalmente usados ​​para matrices de planta y semilla, respectivamente, con Plackett-Burmans. Por ejemplo, un diseño cuadrático para 30 variables requiere una matriz de plan PB de 30 columnas de ceros y unos, reemplazando los de cada línea usando matrices semilla PB de −1s y + 1s (para 15 o 16 variables) siempre que aparezca uno en el plan de matriz, creando un diseño de 557 corridas con valores, -1, 0, +1, para estimar los 496 parámetros de un modelo cuadrático completo. Agregar puntos axiales permite estimar efectos cúbicos y cuárticos univariados.

Al confundir ciertas columnas con parámetros a estimar, Plackett-Burmans también se puede usar para construir diseños categóricos y numéricos mixtos, con interacciones o efectos de alto orden, requiriendo no más de 4 corridas más que el número de parámetros del modelo a estimar. Ordene por las columnas a -1 asignadas a la variable categórica A y las siguientes columnas, donde A  = 1 + int ( a · i / (max ( i ) + 0.00001)), i = número de fila y a = número de valores de A. A continuación, ordene las columnas asignadas a cualquier otra variable categórica y las siguientes columnas, repitiendo según sea necesario. Dichos diseños, si son grandes, pueden resultar incomputables de otro modo mediante técnicas de búsqueda estándar como D-optimalidad . Por ejemplo, 13 variables con un promedio de 3 valores cada una podrían tener más de un millón de combinaciones para buscar. Para estimar los 105 parámetros en un modelo cuadrático de 13 variables, uno debe excluir formalmente de consideración o calcular | X'X | para más de 10 6 C10 2 , es decir, 3 13 C105, o aproximadamente 10 484 matrices.

PB4+ + + + - - - + - - - + PB8+ + + + + + + + + - - - - + + - + + - - - + - - - + + - - + + - + - - - + - + - + - - - + - - + + - - - + + - + PB12+ + + + + + + + + + + + + + + - - - + - - - + + - - - + - - + - + + - + - + + + - - - - + - - + - - + - + + - + - - - + - - + - + + - + + - - - + - - + + - + - + + + - - - + - - + - - + - + + + - - - - + + + - - - + - + - - + - - + - + + + - - - - + - + + + - - + PB16+ + + + + + + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - + + + + + + - + - - - - + + + - - - + + + - - + + + + - - - - - - + + - + + + - - + + - - + - - - + - + - - + + - - + + + - - - + - - + - + + - + - - - + + - + - - - + - - + - + + - + + - - + + + - + - + - + - - + - - - + + - + - + - + - + - + - - - + - + + - + - - + - + - + - - + - - - + - + + - + + - + - - - + + - - + + - - + - - + + - - + - + + - - + + - - - + + - - - + + + - - - - + + + - + - - - - - - + + + + - + + - + PB20+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + - + - + - - - - + + - - + - - + + + - + - + - - - - + + - - + - - + + + + - + - - - - + + - - + - - + + + - + + - - - - + + - - + - - + + + + - - + - + + + + - + - + - - - - + + - - - + - + - + - - - - + + - - + - - + + + + - + - - + + + + - + - + - - - - + - + - - + - - + + + + - + - + - - - - + + - - - + + - - + - - + + + + - + - - - + + + + - + - + - - - - + + - - + - - + + + - + - + - - - - + + - - + - + - + + - - + - - + + + + - + - + - - - - + - - + + + + - + - + - - - - + + - - + - - + - - + + + + - + - + - - - + - - + + - - + - - + + + + - + - + - - - - + - - - - + + - - + - - + + + + + - - - + + + + - + - + - - - - + + - + - - - + + - - + - - + + + + - + - + - - - - - - + + - - + - - + + + + - + + PB24+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + - + - + + - - + + - - + - + - - - - - + + + + - - + + - - + - + - - - - - + + + + - - + + - + + - - + + - - + - + - - - - - + + + - + + - + - + + - - + + - - + - + - - - - - + + + + - - - - - + + + + - + - + + - - + + - - - + - + + - - + - + - - - - - + + + + - + - + - + - + - + + - - + + - - + - + - - - - - + + + + - + - + - - - - - + + + + - + - + + - - + - + - - + + - - + - + - - - - - + + + + - + - + + - - + - + - - - - - + + + + - + - + + - - + + - - - - + + + + - + - + + - - + + - - + - - - + + + + - + - + + - - + + - - + - + - - - - - + + + - + - + + - - + + - - + - + - - - - + - + + - - + - + - - - - - + + + + - + - + + - - + - + - - - - - + + + + - + - + + - - + + - - + - - + + - - + - + - - - - - + + + + - + + - + - - + - + - - - - - + + + + - + - + + - + - - + + + + - + - + + - - + + - - + - + - - - - - + + - - + + - - + - + - - - - - + + + + + - - + - - - - - + + + + - + - + + - - + + - + - - - + + + + - + - + + - - + + - - + - + - - - - - - + + + + - + - + + - - + + - - + - + - - - - - - - + + + + - + - + + - - + + - - + + PB28+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + - + + + - - + + + - + + - - + + + + - - - - - - - - + + + + + - - - - - - - - + + + + - - + + + - + + - - + + + + - + + - - + + + + - - - - - - - - + + + + - - + + + + - + - - + + - - - + - - + + - + - - + - + - + - - + + - + - - + - + - + - + + - + - - + + - - - + - - - + + - - - + - - + + - + - - + - + - + - + + - + - - - + - + + - + - - + + - - - + - - + + - + - - + - + - - + - + - + + - + - - + + - - - + - - + + - + - - + - - + - + - + - + + - + - - + + - - - + - - + + - + - - - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + + - - + + + + - - - - - - - - + + + + - - + + + - + + + - - + + + - + + - - + + + + - - - - - - - - + + + + + - - - - - - - - + + + + - - + + + - + + - - + + + + - + + + + - - + + + - + + - - + + + + - - - - - - - + - + + + + - - - - - - - - + + + + - - + + + - + + - + - + + + - + + - - + + + + - - - - - - - - + + + + - + - + + - - + + + + - - - - - - - - + + + + - - + + + + - + - - + + - + - - + - + - + - + + - + - - + + - - - - + - - + + - - - + - - + + - + - - + - + - + - + + - - + - - + - + - + - + + - + - - + + - - - + - - + + - - - + + - + - - + - + - + - + + - + - - + + - - - + - - - + + - - - + - - + + - + - - + - + - + - + + - 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- + + + - - - + - - + + - + + - + - - + - + + - + - - - + + - + - - - + + - + - - + - + - - + - + + - + - - + - + + - + + - + - - - + + - + - - - + + - - + - + + - - + + - + - - + - - + - + + - + + - + - - - - - + + - + - - + + - - + - + + + - - + - + + - + + - - + + + + - + - + - + - + - + - + - + - - + - + - + - - + - - - + + + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - - + - - - + + - + + - + - + - + - - + - + - + - + - + - + - + - + - - - + + - - - + - + - + - + + - + - + - + + - + - + - + - + - - - + - + + + - + - - + - + + - + - - + - + - + - - + - + - + - - + - + - - + - + + - + - - + - + + - + + - + - - + - + - + - - + - - + - + - + + - + - + - + - - + - - + - + + - + + - + - - + - - - + - + - - + - + - + - + + - + - + - + + - + + - + - - - + + + - - + + - - + + - - + + - - + - - + + - - + - - + + - - + + - + + - - + + - - + + - - + + - - - + + - - + - - + + - - + - + + + - - + + - - - - + + - - + + + - - + + - - - + + - - + - - - - + + - - + + + + - - + + - + + - - + + - - - + + - - - + + + + - - - - + + + + - - - - + + - - - - + + + - + - - - + - - - + + + + - - - - + + + + - + + - - - - + + + - + - - - - + - - + + + + - - + + - - - - + - - + + + + - + + - + - - - - - + + - - - - + + - - + + + + - - - + + + + - + + - + PB36+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + - + + + + - + + + + - - + + - - - - - - + + + + - - - - - - + + - - + + + + + - - + + - - - - - - + + + + - - - - - - + + - - + + + + + - + + + + + - - - - - - + + - - + + + + + - + + + + - - + + - - - - - - + + + + - + + + + - - + + - - - - - - + + + + - - - - - - + + - - + + + + + + - + - - + - + - + + - - + + - + - - - + - + - - + + - - + - + - - + + - + - - - + - + - - + + - - + - + - + + - + - - + - + - + + - - - + + - - + + - + - - - + - + - - + + - - + - + - + + - + - - + - + - - + + - - + - + - + + - + - - + - + - + + - - + + - + - - - + - + - - - + - + + - + - - + - + - + + - - + + - + - - - + - + - - + + - - + - - + - + + - - + + - + - - - + - + - - + + - - + - 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+ - - + - - + - + - + + - - + + - + - - - + - + - - + + - - + - + - + + - - + - - - + - + - - + + - - + - + - + + - + - - + - + - + + - - + + - - - + + - + - - - + - + - - + + - - + - + - + + - + - - + - + - + + - - - + + - - + - + - + + - + - - + - + - + + - - + + - + - - - + - + - - - + - + - + + - + - - + - + - + + - - + + - + - - - + - + - - + + - - - + - + - + + - - + + - + - - - + - + - - + + - - + - + - + + - + - - - - + + + + - - - - - - + + - - + + + + + - + + + + - - + + - - - + - - - + + - - + + + + + - + + + + - - + + - - - - - - + + + + - - - + - - - + - + - - + + - - + - + - + + - + - - + - + - + + - - + + - + - - - - - - + + + + - - - - - - + + - - + + + + + - + + + + - - + + - + - - - - - + + - - + + + + + - + + + + - - + + - - - - - - + + + + - + PB40+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + - + + + + + + + - - + + - - + + - - - - - - - - + + + + - - - - + + - - - - + - + + + + + - - + + - - + + - - - - - - - + + + + - - - - + + - - - - + + + - + + + - - + + - - + + - - - - - - - - + + + + - - - - + + - - - - + + + + + - + + + - - - - + + - - - - + + + + + + + + - - + + - - + + - - - - - - - - + - + + - + - + - + - - + + - - + + - - + - + - + - + + - + - - + - + + - - + - + + + - + - - + - + + - - + - + + - + - + - + - - + + - - + + - - + - + - + - + + + - - + + - - + - + - + - + + - + - - + - + - - + - + + - + - + - + - - + + + - - + - + + - + - + - + - - + + - - + + - - + - + - + - + + - + - - + - + + + - - + - + - + - + + - + - - + - + + - - + - + + - + - + - + - - + + - - + + - + + - + - + - + - - + + - - + + - - + - + - + - + + - + - - + - + + - - + + - + + - + - - + - + + - - + - + + - + - + - + - - + + - - + + - - + - + - + + - + + - - + - + + - + - + - + - - + + - - + + - - + - + - + - + + - + - - + + - + - + + - + - - + - + + - - + - + + - + - + - + - - + + - - + + - - + - + + - + - + - + + - + - - + - + + - - + - + + - + - + - + - - + + - - + + - - + + - - + + - - + + - - - - - - - - + + + + - - - - + + - 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+ - + + + - - - - - + - - - + + - + - + + - - + - - + - + - - + + - + + + + - - - + - + + + - - - - - + - - - + + - + - + + - - + - - + - + - - + + + - + + + + + - - - - - + - - - + + - + - + + - - + - - + - + - - + + + - + + + + + - - - - + + + - - + - - + - + - - + + + - + + + + + - - - + - + + + - - - - - + - - - + + - - + + + - - - + - + + + - - - - - + - - - + + - + - + + - - + - - + - + - - + + + - + + + + - + + + + + - - - + - + + + - - - - - + - - - + + - + - + + - - + - - + - + - - + + + - + + - - + - - + - + - - + + + - + + + + + - - - + - + + + - - - - - + - - - + - + + - - + + + - + + + + + - - - + - + + + - - - - - + - - - + + - + - + + - - + - - - + + - - - + - + + + - - - - - + - - - + + - + - + + - - + - - + - + - - + + + - + + + + + - - - - - + - - - + + - + - + + - - + - - + - + - - + + + - + + + + + - - - + - + + - + + + + + - - - + - + + + - - - - - + - - - + + - + - + + - - + - - + - + - - + + + - + + + - + + + + + - - - + - + + + - - - - - + - - - + + - + - + + - 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