En geometría proyectiva , un plano en el infinito es el hiperplano en el infinito de un espacio proyectivo tridimensional o de cualquier plano contenido en el hiperplano en el infinito de cualquier espacio proyectivo de dimensión superior. Este artículo se ocupará únicamente del caso tridimensional.
Definición
Hay dos enfoques para definir el plano en el infinito que dependen de si uno comienza con un 3-espacio proyectivo o un 3-espacio afín .
Si se da un 3-espacio proyectivo, el plano en el infinito es cualquier plano proyectivo distinguido del espacio. [1] Este punto de vista enfatiza el hecho de que este plano no es geométricamente diferente a cualquier otro plano. Por otro lado, dado un 3-espacio afín, el plano en el infinito es un plano proyectivo que se agrega al 3-espacio afín para darle propiedades de cierre de incidencia . Lo que significa que los puntos del plano en el infinito son los puntos donde se encontrarán las líneas paralelas del 3-espacio afín, y las líneas son las líneas donde se encontrarán los planos paralelos del 3-espacio afín. El resultado de la adición es el 3-espacio proyectivo,. Este punto de vista enfatiza la estructura interna del plano en el infinito, pero lo hace parecer "especial" en comparación con los otros planos del espacio.
Si el 3-espacio afín es real, , luego la adición de un plano proyectivo real en el infinito produce el 3-espacio proyectivo real .
Representación analítica
Dado que dos planos proyectivos cualesquiera en un espacio tridimensional proyectivo son equivalentes, podemos elegir un sistema de coordenadas homogéneo para que cualquier punto del plano en el infinito se represente como ( X : Y : Z : 0). [2] Cualquier punto en el espacio tridimensional afín se representará como ( X : Y : Z : 1). Los puntos en el plano en el infinito parecen tener tres grados de libertad, pero las coordenadas homogéneas son equivalentes a cualquier cambio de escala:
- ,
de modo que las coordenadas ( X : Y : Z : 0) se pueden normalizar , reduciendo así los grados de libertad a dos (por lo tanto, una superficie, es decir, un plano proyectivo).
Proposición : Cualquier línea que pase por el origen (0: 0: 0: 1) y por un punto ( X : Y : Z : 1) cortará el plano en el infinito en el punto ( X : Y : Z : 0).
Prueba : una línea que pasa por puntos (0: 0: 0: 1) y ( X : Y : Z : 1) constará de puntos que son combinaciones lineales de los dos puntos dados:
Para que tal punto se encuentre en el plano en el infinito, debemos tener, . Entonces, al elegir, obtenemos el punto , según sea necesario. QED
Cualquier par de líneas paralelas en el espacio tridimensional se intersecarán en un punto del plano en el infinito. Además, cada línea en el espacio tridimensional interseca el plano en el infinito en un punto único. Este punto está determinado por la dirección, y solo por la dirección, de la línea. Para determinar este punto, considere una línea paralela a la línea dada, pero que pasa por el origen, si la línea aún no pasa por el origen. Luego elija cualquier punto, que no sea el origen, en esta segunda línea. Si las coordenadas homogéneas de este punto son ( X : Y : Z : 1), entonces las coordenadas homogéneas del punto en el infinito a través del cual pasan la primera y la segunda línea es ( X : Y : Z : 0).
Ejemplo : considere una línea que pasa por los puntos (0: 0: 1: 1) y (3: 0: 1: 1). Una línea paralela pasa por los puntos (0: 0: 0: 1) y (3: 0: 0: 1). Esta segunda línea interseca el plano en el infinito en el punto (3: 0: 0: 0). Pero la primera línea también pasa por este punto:
Cuándo . ■
Cualquier par de planos paralelos en el espacio tridimensional afín se intersecará en una línea proyectiva (una línea en el infinito ) en el plano en el infinito. Además, cada plano en el espacio tridimensional afín se cruza con el plano en el infinito en una línea única. [3] Esta línea está determinada por la dirección, y solo por la dirección, del avión.
Propiedades
Dado que el plano en el infinito es un plano proyectivo, es homeomorfo a la superficie de una "esfera módulo antípodas", es decir, una esfera en la que los puntos antípodas son equivalentes: S 2 / {1, -1} donde el cociente se entiende como un cociente por una acción de grupo (ver espacio de cociente ).
Notas
- ^ Samuel 1988 , p. 11
- ^ Meserve 1983 , p. 150
- ↑ Woods , 1961 , p. 187
Referencias
- Bumcrot, Robert J. (1969), geometría proyectiva moderna , Holt, Rinehart y Winston
- Meserve, Bruce E. (1983) [1955], Conceptos fundamentales de geometría , Dover, ISBN 0-486-63415-9
- Pedoe, Dan (1988) [1970], Geometría / Un curso completo , Dover, ISBN 0-486-65812-0
- Samuel, Pierre (1988), Geometría Proyectiva , Lecturas UTM en Matemáticas, Springer-Verlag, ISBN 0-387-96752-4
- Woods, Frederick S. (1961) [1922], Geometría superior / Introducción a métodos avanzados en geometría analítica , Dover
- Yale, Paul B. (1968), Geometría y simetría , Holden-Day