En geometría , una relación de incidencia es una relación heterogénea que captura la idea que se expresa cuando se utilizan frases como "un punto se encuentra en una línea" o "una línea está contenida en un plano". La relación de incidencia más básica es la que existe entre un punto, P , y una línea, l , a veces denotada como P I l . Si P I l el par ( P , l ) se llama bandera . Hay muchas expresiones que se utilizan en el lenguaje común para describir la incidencia (por ejemplo, una líneapasa a través de un punto, un punto se encuentra en un plano, etc.) pero se prefiere el término "incidencia" porque no tiene las connotaciones adicionales que tienen estos otros términos y se puede usar de manera simétrica. Enunciados como "la línea l 1 se cruza con la línea l 2 " también son enunciados sobre relaciones de incidencia, pero en este caso, se debe a que es una forma abreviada de decir que "existe un punto P que incide tanto con la línea l 1 como con línea l 2 ". Cuando un tipo de objeto puede considerarse como un conjunto del otro tipo de objeto ( es decir , un plano es un conjunto de puntos), entonces una relación de incidencia puede verse como contención .
Enunciados como "dos líneas cualesquiera de un plano se encuentran" se denominan proposiciones de incidencia . Esta afirmación en particular es cierta en un plano proyectivo , aunque no en el plano euclidiano, donde las líneas pueden ser paralelas . Históricamente, la geometría proyectiva se desarrolló para hacer verdaderas las proposiciones de incidencia sin excepciones, como las causadas por la existencia de paralelos. Desde el punto de vista de la geometría sintética , la geometría proyectiva debe desarrollarse utilizando proposiciones como axiomas . Esto es más significativo para los planos proyectivos debido a la validez universal del teorema de Desargues en dimensiones superiores.
En contraste, el enfoque analítico es definir el espacio proyectivo basado en álgebra lineal y utilizando coordenadas homogéneas . Las proposiciones de incidencia se derivan del siguiente resultado básico en espacios vectoriales : dados los subespacios U y W de un espacio vectorial (de dimensión finita) V , la dimensión de su intersección es dim U + dim W - dim ( U + W ) . Teniendo en cuenta que la dimensión geométrica del espacio proyectivo P ( V ) asociado a V es tenue V - 1 y que la dimensión geométrica de cualquier subespacio es positiva, la proposición básica de incidencia en este escenario puede tomar la forma: subespacios lineales L y M de proyectiva espacio P se reúnen proporcionado dim L + dim M ≥ dim P . [1]
En las secciones siguientes se limitan a aviones proyectivas definidas sobre campos , a menudo denotados por PG (2, F ) , donde F es un campo, o P 2 F . Sin embargo, estos cálculos pueden extenderse naturalmente a espacios proyectivos de dimensiones superiores, y el campo puede ser reemplazado por un anillo de división (o skewfield) siempre que se preste atención al hecho de que la multiplicación no es conmutativa en ese caso.
PG (2, F )
Deje que V sea el espacio vectorial tridimensional definida sobre el campo F . El plano proyectivo P ( V ) = PG (2, F ) consiste en los subespacios vectoriales unidimensionales de V , llamados puntos , y los subespacios vectoriales bidimensionales de V , llamados líneas . La incidencia de un punto y una línea viene dada por la contención del subespacio unidimensional en el subespacio bidimensional.
Fije una base para V para que podamos describir sus vectores como triples de coordenadas (con respecto a esa base). Un subespacio vectorial unidimensional consta de un vector distinto de cero y todos sus múltiplos escalares. Los múltiplos escalares distintos de cero, escritos como triples de coordenadas, son las coordenadas homogéneas del punto dado, llamadas coordenadas de punto . Con respecto a esta base, el espacio solución de una sola ecuación lineal {( x , y , z ) | ax + by + cz = 0 } es un subespacio bidimensional de V y, por tanto, una línea de P ( V ) . Esta línea se puede denotar por las coordenadas de línea [ a , b , c ] , que también son coordenadas homogéneas ya que los múltiplos escalares distintos de cero darían la misma línea. También se utilizan ampliamente otras notaciones. Coordenadas de los puntos pueden ser escritos como vectores de columna, ( x , y , z ) T , con dos puntos, ( x : y : z ) , o con un subíndice, ( x , y , z ) P . Correspondientemente, las coordenadas de línea pueden ser escritas como vectores fila, ( un , b , c ) , con dos puntos, [ un : b : c ] o con un subíndice, ( un , b , c ) L . También son posibles otras variaciones.
Incidencia expresada algebraicamente
Dado un punto P = ( x , y , z ) y una línea l = [ a , b , c ] , escrito en términos de coordenadas de punto y línea, el punto es incidente con la línea (a menudo escrito como P I l ), si y solo si,
- ax + por + cz = 0 .
Esto se puede expresar en otras notaciones como:
Independientemente de la notación empleada, cuando las coordenadas homogéneas del punto y la línea se consideran simplemente triples ordenados, su incidencia se expresa como si su producto escalar sea igual a 0.
La línea incidente con un par de puntos distintos.
Sean P 1 y P 2 un par de puntos distintos con coordenadas homogéneas ( x 1 , y 1 , z 1 ) y ( x 2 , y 2 , z 2 ) respectivamente. Estos puntos determinan una línea única l con una ecuación de la forma ax + by + cz = 0 y deben satisfacer las ecuaciones:
- ax 1 + por 1 + cz 1 = 0 y
- ax 2 + por 2 + cz 2 = 0 .
En forma matricial, este sistema de ecuaciones lineales simultáneas se puede expresar como:
Este sistema tiene una solución no trivial si y solo si el determinante ,
La expansión de esta ecuación determinante produce una ecuación lineal homogénea, que debe ser la ecuación de la línea l . Por lo tanto, hasta un factor constante común distinto de cero tenemos l = [ a , b , c ] donde:
- a = y 1 z 2 - y 2 z 1 ,
- b = x 2 z 1 - x 1 z 2 , y
- c = x 1 y 2 - x 2 y 1 .
En términos de la notación escalar de producto triple para vectores, la ecuación de esta línea se puede escribir como:
- P ⋅ P 1 × P 2 = 0 ,
donde P = ( x , y , z ) es un punto genérico.
Colinealidad
Se dice que los puntos que inciden en la misma línea son colineales . El conjunto de todos los puntos incidentes con la misma línea se denomina rango .
Si P 1 = ( x 1 , y 1 , z 1 ), P 2 = ( x 2 , y 2 , z 2 ) y P 3 = ( x 3 , y 3 , z 3 ) , entonces estos puntos son colineales si y solo si
es decir, si y solo si el determinante de las coordenadas homogéneas de los puntos es igual a cero.
Intersección de un par de líneas
Sea l 1 = [ a 1 , b 1 , c 1 ] y l 2 = [ a 2 , b 2 , c 2 ] un par de líneas distintas. Entonces la intersección de las rectas l 1 y l 2 es el punto a P = ( x 0 , y 0 , z 0 ) que es la solución simultánea (hasta un factor escalar) del sistema de ecuaciones lineales:
- a 1 x + b 1 y + c 1 z = 0 y
- un 2 x + b 2 y + c 2 z = 0 .
La solución de este sistema da:
- x 0 = b 1 c 2 - b 2 c 1 ,
- y 0 = a 2 c 1 - a 1 c 2 , y
- z 0 = un 1 b 2 - un 2 b 1 .
Alternativamente, considere otra línea l = [ a , b , c ] que pasa por el punto P , es decir, las coordenadas homogéneas de P satisfacen la ecuación:
- ax + por + cz = 0 .
Combinando esta ecuación con las dos que definen P , podemos buscar una solución no trivial de la ecuación matricial:
Tal solución existe siempre que el determinante,
Los coeficientes de un , b y c en esta ecuación dan las coordenadas homogéneas de P .
La ecuación de la línea genérica que pasa por el punto P en notación escalar de producto triple es:
- l ⋅ l 1 × l 2 = 0 .
Concurrencia
Se dice que las líneas que se encuentran en el mismo punto son concurrentes . El conjunto de todas las líneas de un plano que inciden en el mismo punto se denomina lápiz de líneas centradas en ese punto. El cálculo de la intersección de dos líneas muestra que todo el lápiz de líneas centrado en un punto está determinado por dos de las líneas que se cruzan en ese punto. De ello se deduce inmediatamente que la condición algebraica para que tres líneas, [ a 1 , b 1 , c 1 ], [ a 2 , b 2 , c 2 ], [ a 3 , b 3 , c 3 ] sean concurrentes es que el determinante ,
Ver también
Referencias
- ^ Joel G. Broida y S. Gill Williamson (1998) Una introducción completa al álgebra lineal , Teorema 2.11, p 86, Addison-Wesley ISBN 0-201-50065-5 . El teorema dice que dim ( L + M ) = dim L + dim M - dim ( L ∩ M ) . Por lo tanto, dim L + dim M > dim P implica dim ( L ∩ M )> 0 .
- Harold L. Dorwart (1966) La geometría de la incidencia , Prentice Hall .