En matemáticas y física , el truco del plato , también conocido como el truco de la cuerda de Dirac , el truco del cinturón o el truco de la taza balinesa , es una de las varias demostraciones de la idea de que girar un objeto con cuerdas atadas a él en 360 grados no es suficiente. devolver el sistema a su estado original, mientras que una segunda rotación de 360 grados, una rotación total de 720 grados, lo hace. [1] Matemáticamente, es una demostración del teorema de que SU (2) (que cubre doble SO (3) ) está simplemente conectado . Decir que SU (2) cubre doble SO (3) esencialmente significa que la unidadlos cuaterniones representan el grupo de rotaciones dos veces. [2] Se puede encontrar una articulación detallada, intuitiva pero semi-formal en el artículo sobre tangloides .
Demostraciones
Apoyando un plato pequeño sobre la palma, es posible realizar dos rotaciones de la mano mientras se mantiene el plato en posición vertical. Después de la primera rotación de la mano, el brazo se torcerá, pero después de la segunda rotación terminará en la posición original. Para hacer esto, la mano hace una rotación pasando por encima de su hombro, girando el brazo y luego otra rotación pasando por debajo que lo desenrosca.
Hay una danza de velas balinesa , [3] donde se sostiene una taza abierta de líquido en lugar de un plato. Dado que los pies pueden permanecer fijos durante la maniobra, pero la mano gira dos veces, y todos los brazos y hombros y otros segmentos del cuerpo conectan suavemente los pies a la mano y experimentan las rotaciones intermedias, entonces los bucles de rotación que experimenta cada segmento se colapsan progresivamente. a medida que se avanza desde la mano a lo largo del brazo hasta el hombro, el torso, las piernas y finalmente los pies, que representan el colapso del bucle en un punto, ya que no rotaron.
El giro en forma de ocho utilizado en el giro del bastón , el giro del bastón en las artes marciales y el manejo de la espada , proporciona una demostración similar. Aquí también es bastante fácil y natural colapsar el movimiento de la mano progresivamente hacia abajo a través de un meneo hasta una posición estacionaria, proporcionando una demostración adicional, y quizás más intuitiva, de que el bucle de doble rotación se puede colapsar en un punto.
En física matemática , el truco ilustra las matemáticas cuaterniónicas detrás del giro de los espinores . [4] Al igual que con el truco de la placa, los giros de estas partículas regresan a su estado original solo después de dos rotaciones completas, no después de una.
El truco del cinturón
El mismo fenómeno se puede demostrar usando un cinturón de cuero con una hebilla de marco ordinaria , cuya punta sirve como puntero. El extremo opuesto a la hebilla está sujeto para que no se pueda mover. El cinturón se extiende sin un giro y la hebilla se mantiene horizontal mientras se gira en el sentido de las agujas del reloj una vuelta completa (360 °), como lo demuestra la observación de la púa. El cinturón aparecerá entonces torcido, y ninguna maniobra de la hebilla que lo mantiene horizontal y apuntando en la misma dirección puede deshacer el giro. Obviamente, un giro de 360 ° en sentido antihorario desharía el giro. El elemento sorpresa del truco es que un segundo giro de 360 ° en el sentido de las agujas del reloj, aunque aparentemente hace que el cinturón se tuerza aún más, permite que el cinturón vuelva a su estado desenroscado al maniobrar la hebilla debajo del extremo sujeto mientras se mantiene siempre el cinturón. hebilla horizontal y apuntada en la misma dirección. [5]
Matemáticamente, el cinturón sirve como un registro, a medida que uno se mueve a lo largo de él, de cómo la hebilla se transformó de su posición original, con el cinturón desenroscado, a su posición rotada final. El extremo sujeto siempre representa la rotación nula. El truco demuestra que una ruta en el espacio de rotación (SO (3)) que produce una rotación de 360 grados no es homotopía equivalente a una rotación nula, pero una ruta que produce una doble rotación (720 °) es equivalente a nulo. [1]
En ficción
Una extensión ficticia del truco del cinturón aparece en la novela Solar de Ian McEwan como un dispositivo de la trama para explicar el trabajo del premio Nobel del protagonista. [ cita requerida ] Dick van Dyke realiza el truco del plato en la película para niños Chitty Chitty Bang Bang (1968). [6]
Ver también
Referencias
- ↑ a b Staley, Mark (mayo de 2010). "Comprensión de los cuaterniones y el truco del cinturón de Dirac". Revista europea de física . 31 (3): 467-478. arXiv : 1001.1778 . doi : 10.1088 / 0143-0807 / 31/3/004 .
- ^ http://www.cis.upenn.edu/~cis610/geombchap8.pdf Consultado el 9 de septiembre de 2018
- ^ Pandanggo sa ilaw - baile de velas
- ^ Charlie Wood (6 de septiembre de 2018). "Los números extraños que dieron a luz al álgebra moderna" . Revista Quanta . Consultado el 9 de septiembre de 2018 .
- ^ http://virtualmathmuseum.org/Surface/dirac-belt/DiracBelt.html Consultado el 9 de septiembre de 2018
- ^ Dick van Dyke realiza el truco del plato
- Bolker, Ethan D. (noviembre de 1973). "La llave inglesa Spinor". The American Mathematical Monthly . 80 (9): 977–984. doi : 10.2307 / 2318771 . JSTOR 2318771 .
- Pengelley, David; Ramras, Daniel (21 de febrero de 2017). "¿Cuán eficientemente se puede desenredar un doble giro? ¡Agitar es creer!". El inteligente matemático . 39 : 27–40. arXiv : 1610.04680 . doi : 10.1007 / s00283-016-9690-x . ISSN 0343-6993 .
enlaces externos
- Animación del truco del cinturón de Dirac, incluido el camino a través de SU (2)
- Animación del truco del cinturón de Dirac, con un cinturón doble
- Animación del truco extendido del cinturón de Dirac, que muestra que las partículas de giro 1/2 son fermiones: se pueden desenredar después de cambiar la posición de las partículas dos veces, pero no una vez.
- Air on the Dirac Strings, que muestra el truco del cinturón con varios cinturones unidos a una partícula esférica, por Louis Kauffman y sus colegas
- Video del truco de la copa balinesa
- El truco de las cuerdas de Dirac
- La nulotopía de doble propina