Tangloids es un juego matemático para dos jugadores creado por Piet Hein para modelar el cálculo de espinores .
Una descripción del juego apareció en el libro "New Mathematical Diversions from Scientific American" de Martin Gardner de 1996 en una sección sobre las matemáticas del trenzado . [1] [2] [3]
Dos bloques planos de madera, cada uno perforado con tres pequeños agujeros, se unen con tres hilos paralelos. Cada jugador sostiene uno de los bloques de madera. El primer jugador sostiene un bloque de madera inmóvil, mientras que el otro jugador gira el otro bloque de madera durante dos revoluciones completas. El plano de rotación es perpendicular a las cuerdas cuando no se enredan. Las cuerdas ahora se superponen entre sí. Luego, el primer jugador intenta desenredar las cuerdas sin girar ninguna pieza de madera. Solo se permiten traslaciones (mover las piezas sin rotar). Posteriormente, los jugadores invierten los roles; quien pueda desenredar las cuerdas más rápido es el ganador. Pruébelo con una sola revolución. Por supuesto, las cuerdas se superponen nuevamente, pero no se pueden desenredar sin girar uno de los dos bloques de madera.
El truco de la taza balinesa , que aparece en la danza de la vela balinesa , es una ilustración diferente de la misma idea matemática. El mecanismo anti-torsión es un dispositivo destinado a evitar tales enredos de orientación . Se puede encontrar una interpretación matemática de estas ideas en el artículo sobre cuaterniones y rotación espacial .
Articulación matemática
Este juego sirve para aclarar la noción de que las rotaciones en el espacio tienen propiedades que no pueden explicarse intuitivamente considerando solo la rotación de un solo objeto rígido en el espacio. La rotación de vectores no abarca todas las propiedades del modelo abstracto de rotaciones dado por el grupo de rotación . La propiedad que se ilustra en este juego se denomina formalmente en matemáticas como la " doble cobertura de SO (3) por SU (2) ". Este concepto abstracto se puede esbozar a grandes rasgos de la siguiente manera.
Las rotaciones en tres dimensiones se pueden expresar como matrices de 3x3 , un bloque de números, uno para x, y, z. Si se consideran rotaciones arbitrariamente pequeñas, se llega a la conclusión de que las rotaciones forman un espacio , en el sentido de que si se piensa en cada rotación como un punto , siempre hay otros puntos cercanos, otras rotaciones cercanas que difieren solo en una pequeña cantidad. En los barrios pequeños , esta colección de puntos cercanos se asemeja al espacio euclidiano . De hecho, se asemeja al espacio euclidiano tridimensional, ya que hay tres direcciones posibles diferentes para rotaciones infinitesimales: x, y y z. Esto describe adecuadamente la estructura del grupo de rotación en barrios pequeños. Sin embargo, para secuencias de grandes rotaciones, este modelo se rompe; por ejemplo, girar a la derecha y luego acostarse no es lo mismo que acostarse primero y luego girar a la derecha. Aunque el grupo de rotación tiene la estructura del espacio 3D a pequeña escala, esa no es su estructura a gran escala. Los sistemas que se comportan como el espacio euclidiano a pequeña escala, pero que tienen una estructura global más complicada, se denominan variedades . Ejemplos famosos de variedades incluyen las esferas : globalmente, son redondas, pero localmente, se sienten y se ven planas, ergo " Tierra plana ".
Un examen cuidadoso del grupo de rotación revela que tiene la estructura de una esfera de 3 con puntos opuestos identificados! Eso significa que para cada rotación, de hecho, hay dos puntos opuestos polares diferentes en la 3-esfera que describen esa rotación. Esto es lo que ilustran los tangloides. La ilustración es bastante ingeniosa. Imagínese realizar la rotación de 360 grados un grado a la vez, como un conjunto de pequeños pasos. Estos pasos te llevan por un camino, en un viaje por esta variedad abstracta, este espacio abstracto de rotaciones. Al finalizar este viaje de 360 grados, uno no ha regresado a casa, sino al punto opuesto polar. Y uno está atascado allí: uno no puede volver al punto de partida hasta que hace otro, un segundo viaje de 360 grados.
La estructura de este espacio abstracto, de tres esferas con los polos opuestos identificados, es bastante extraña. Técnicamente, es un espacio proyectivo . Uno puede intentar imaginar tomar un globo, dejar salir todo el aire y luego pegar los puntos opuestos polares. Si se intenta en la vida real, pronto se descubre que no se puede hacer a nivel mundial. A nivel local, para cualquier parche pequeño, se pueden realizar los pasos de voltear y pegar; uno simplemente no puede hacer esto globalmente. (Tenga en cuenta que el globo es, la 2-esfera; no es la 3-esfera de rotaciones). Para simplificar aún más, uno puede comenzar con, el círculo, e intentar pegar los polos opuestos; uno todavía tiene un lío fallido. Lo mejor que se puede hacer es trazar líneas rectas a través del origen y luego declarar, por decreto, que los polos opuestos son el mismo punto. Esta es la construcción básica de cualquier espacio proyectivo.
El llamado "doble recubrimiento" se refiere a la idea de que este pegado de polos opuestos puede deshacerse. Esto se puede explicar de forma relativamente simple, aunque requiere la introducción de alguna notación matemática. El primer paso es soltar " álgebra de mentiras ". Este es un espacio vectorial dotado de la propiedad de que se pueden multiplicar dos vectores. Esto surge porque una rotación minúscula alrededor del eje x seguida de una rotación minúscula alrededor del eje y no es lo mismo que invertir el orden de estos dos; son diferentes, y la diferencia es una pequeña rotación a lo largo del eje z . Formalmente, esta desigualdad se puede escribir como, teniendo en cuenta que x , y y z no son números sino rotaciones infinitesimales. No se desplazan .
Entonces uno puede preguntarse, "¿qué más se comporta así?" Bueno, obviamente las matrices de rotación 3D lo hacen; después de todo, el punto es que describen correctamente, perfectamente matemáticamente, las rotaciones en el espacio 3D. Sin embargo, también hay matrices de 2x2, 4x4, 5x5, ... que también tienen esta propiedad. Uno puede preguntarse razonablemente "OK, entonces, ¿cuál es la forma de sus variedades?". Para el caso de 2x2, el álgebra de Lie se llama su (2) y la variedad se llama SU (2) , y curiosamente, la variedad de SU (2) es la 3-esfera (pero sin la identificación proyectiva de los opuestos polares) .
Esto ahora permite que uno juegue un poco de truco. Tomar un vector en el espacio 3D ordinario (nuestro espacio físico) y aplicar una matriz de rotación lo. Se obtiene un vector rotado. Este es el resultado de aplicar una rotación ordinaria de "sentido común" a. Pero también se tienen las matrices de Pauli ; Estas son matrices complejas de 2x2 que tienen la propiedad del álgebra de Lie que y entonces estos modelan el comportamiento de rotaciones infinitesimales. Considere entonces el producto. La "doble cobertura" es la propiedad de que no existe una, sino dos matrices de 2x2. tal que
Aquí, denota el inverso de ; es decir, La matriz es un elemento de SU (2), por lo que para cada matriz en SO (3), hay dos correspondientes : ambas cosas y hará el truco. Estos dos son los polos opuestos, y la proyección se reduce a la observación trivial de que El juego tangeloide pretende ilustrar que una rotación de 360 grados lleva a uno en un camino desde a . Esto es bastante preciso: se puede considerar una secuencia de pequeñas rotaciones y el correspondiente movimiento de ; el resultado cambia de signo. En términos de ángulos de rotación la matriz tendrá un en ella, pero la coincidencia tendrá un en eso. Una mayor elucidación requiere escribir estas fórmulas.
El boceto se puede completar con algunas observaciones generales. Primero, las álgebras de Lie son genéricas, y para cada una, hay uno o más grupos de Lie correspondientes . En física, las rotaciones 3D de objetos 3D normales se describen obviamente mediante el grupo de rotación , que es un grupo de Lie de matrices 3x3.. Sin embargo, los espinores , las partículas spin-1/2 , giran de acuerdo con las matrices.en SU (2). Las matrices 4x4 describen la rotación de las partículas de espín-3/2, y las matrices de 5x5 describen las rotaciones de las partículas de espín-2, y así sucesivamente. La representación de los grupos de Lie y las álgebras de Lie se describen mediante la teoría de la representación . La representación de espín-1/2 pertenece a la representación fundamental , y el espín-1 es la representación adjunta . La noción de doble cobertura utilizada aquí es un fenómeno genérico, descrito por mapas de cobertura . Los mapas de cobertura son, a su vez, un caso especial de haces de fibra . La clasificación de los mapas de cobertura se realiza mediante la teoría de la homotopía ; en este caso, la expresión formal de doble cobertura es decir que el grupo fundamental esdonde el grupo de cobertura solo codifica las dos rotaciones equivalentes y sobre. En este sentido, el grupo de rotación proporciona la puerta, la llave al reino de vastas extensiones de matemáticas superiores.
Ver también
- Enredo de orientación
- Truco del plato
Referencias
- ^ Piet Hein , www.piethein.com, descargado el 13 de diciembre de 2011
- ^ Extracto de Scientific American del libro de M. Gardner: Nuevas desviaciones matemáticas de Martin Gardner de Scientific American , Simon y Schuster, 1996, ISBN 978-0-671-20989-6
- ↑ M. Gardner: Sphere Packing, Lewis Carroll y Reversi: New Mathematical Diversions de Martin Gardner Archivado el 6 deabril de 2012en la Wayback Machine , Cambridge University Press, septiembre de 2009 ISBN 978-0-521-75607-5
enlaces externos
- Tangloids , YouTube