Factoriales descendentes y ascendentes

Funciones matematicas

En matemáticas , el factorial descendente (a veces llamado factorial descendente , ^[1] producto secuencial descendente o factorial inferior ) se define como el polinomio

${\displaystyle (x)_{n}=x^{\underline {n}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)=\prod _{k=1}^{n}(x-k+1)=\prod _{k=0}^{n-1}(x-k).}$

El factorial ascendente (a veces llamado función de Pochhammer , polinomio de Pochhammer , factorial ascendente , ^[1] producto secuencial ascendente o factorial superior ) se define como

${\displaystyle x^{(n)}=x^{\overline {n}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)=\prod _{k=1}^{n}(x+k-1)=\prod _{k=0}^{n-1}(x+k).}$

El valor de cada uno se toma como 1 (un producto vacío ) cuando n = 0. Estos símbolos se denominan colectivamente potencias factoriales . ^[2]

El símbolo de Pochhammer , introducido por Leo August Pochhammer , es la notación ( x ) _n , donde n es un número entero no negativo . Se puede representar ya sea el aumento o la caída factorial, con diferentes artículos y autores utilizan diferentes convenciones. El propio Pochhammer usó ( x ) _n con otro significado, a saber, para denotar el coeficiente binomial . ^[3]${\displaystyle {\tbinom {x}{n}}}$

En este artículo, el símbolo ( x ) _n se usa para representar el factorial descendente y el símbolo x ^{( n )} se usa para el factorial ascendente. Estas convenciones se utilizan en combinatoria , ^[4] aunque las notaciones de subrayado / sobrelineado de Knuth son cada vez más populares. ^{[2] [5]} En la teoría de funciones especiales (en particular la función hipergeométrica ) y en la obra de referencia estándar Abramowitz y Stegun , el símbolo de Pochhammer ( x ) _n${\displaystyle x^{\underline {n}},x^{\overline {n}}}$se utiliza para representar el factorial ascendente. ^{[6] [7]}

Cuando x es un entero positivo, ( x ) _n da el número de n- permutaciones de un conjunto de elementos x , o de manera equivalente, el número de funciones inyectivas de un conjunto de tamaño n a un conjunto de tamaño  x . Además, ( x ) _n es "el número de formas de organizar n banderas en x astas de bandera", ^[8] donde se deben usar todas las banderas y cada asta de bandera puede tener como máximo una bandera. En este contexto, otras notaciones como _x P _n y P ( x, n ) también se utilizan a veces.

Ejemplos de

Los primeros factoriales ascendentes son los siguientes:

${\displaystyle x^{(0)}=x^{\overline {0}}=1}$

${\displaystyle x^{(1)}=x^{\overline {1}}=x}$

${\displaystyle x^{(2)}=x^{\overline {2}}=x(x+1)=x^{2}+x}$

${\displaystyle x^{(3)}=x^{\overline {3}}=x(x+1)(x+2)=x^{3}+3x^{2}+2x}$

${\displaystyle x^{(4)}=x^{\overline {4}}=x(x+1)(x+2)(x+3)=x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x}$

Los primeros factoriales que caen son los siguientes:

${\displaystyle (x)_{0}=x^{\underline {0}}=1}$

${\displaystyle (x)_{1}=x^{\underline {1}}=x}$

${\displaystyle (x)_{2}=x^{\underline {2}}=x(x-1)=x^{2}-x}$

${\displaystyle (x)_{3}=x^{\underline {3}}=x(x-1)(x-2)=x^{3}-3x^{2}+2x}$

${\displaystyle (x)_{4}=x^{\underline {4}}=x(x-1)(x-2)(x-3)=x^{4}-6x^{3}+11x^{2}-6x}$

Los coeficientes que aparecen en las expansiones son números de Stirling del primer tipo .

Propiedades

Los factoriales ascendentes y descendentes están simplemente relacionados entre sí:

${\displaystyle m^{(n)}={(m+n-1)}_{n}=(-1)^{n}(-m)_{n}}$

${\displaystyle {(m)}_{n}={(m-n+1)}^{(n)}=(-1)^{n}(-m)^{(n)}}$

Los factoriales ascendentes y descendentes están directamente relacionados con el factorial ordinario :

${\displaystyle n!=1^{(n)}=(n)_{n}}$

${\displaystyle (m)_{n}={\frac {m!}{(m-n)!}}}$

${\displaystyle m^{(n)}={\frac {(m+n-1)!}{(m-1)!}}}$

Los factoriales ascendentes y descendentes se pueden usar para expresar un coeficiente binomial :

${\displaystyle {\frac {x^{(n)}}{n!}}={x+n-1 \choose n}\quad {\text{and}}\quad {\frac {(x)_{n}}{n!}}={x \choose n}.}$

Por lo tanto, muchas identidades en coeficientes binomiales se trasladan a los factoriales ascendentes y descendentes.

Los factoriales ascendentes y descendentes están bien definidos en cualquier anillo unital y, por lo tanto, se puede considerar que x es, por ejemplo, un número complejo , incluidos los números enteros negativos, o un polinomio con coeficientes complejos, o cualquier función de valor complejo .

El factorial ascendente se puede extender a valores reales de n usando la función gamma siempre que x y x  +  n sean números reales que no sean enteros negativos:

${\displaystyle x^{(n)}={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}},}$

y también el factorial descendente:

${\displaystyle (x)_{n}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1)}}.}$

Si D denota diferenciación con respecto ax , uno tiene

${\displaystyle D^{n}(x^{a})=(a)_{n}\cdot x^{a-n}.}$

El símbolo de Pochhammer también es parte integral de la definición de la función hipergeométrica : La función hipergeométrica se define para | z | <1 por la serie de potencias

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{a^{(n)}b^{(n)} \over c^{(n)}}{z^{n} \over n!}}$

siempre que c no sea igual a 0, −1, −2, .... Sin embargo, tenga en cuenta que la literatura sobre funciones hipergeométricas generalmente usa la notación para factoriales ascendentes.${\displaystyle {(a)}_{n}}$

Relación con el cálculo umbral

El factorial descendente ocurre en una fórmula que representa polinomios usando el operador de diferencia directa Δ y que es formalmente similar al teorema de Taylor :

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {\,\Delta ^{n}\!f(0)\,}{n!}}\right]\,(x)_{n}.}$

En esta fórmula y en muchos otros lugares, el factorial descendente ( x ) _n en el cálculo de diferencias finitas juega el papel de x ⁿ en el cálculo diferencial. Tenga en cuenta, por ejemplo, la similitud de a .${\displaystyle \Delta \!\left[\,(x)_{n}\,\right]=n\,(x)_{n-1}}$${\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} x}}\left[\,x^{n}\,\right]=n\,x^{n-1}}$

Un resultado similar es válido para el factorial ascendente.

El estudio de analogías de este tipo se conoce como cálculo umbral . Una teoría general que cubre tales relaciones, incluidas las funciones factoriales ascendentes y descendentes, viene dada por la teoría de secuencias polinómicas de tipo binomial y secuencias de Sheffer . Los factoriales ascendentes y descendentes son secuencias de Sheffer de tipo binomial, como lo muestran las relaciones:

${\displaystyle (a+b)^{(n)}=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}(a)^{(n-j)}(b)^{(j)}}$

${\displaystyle (a+b)_{n}=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}(a)_{n-j}(b)_{j}}$

donde los coeficientes son los mismos que los de la expansión de una potencia de un binomio ( identidad Chu-Vandermonde ).

De manera similar, la función generadora de los polinomios de Pochhammer asciende al exponencial umbral,

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(x)_{n}~{\frac {t^{n}}{n!}}=(1+t)^{x}~,}$

ya que

${\displaystyle \operatorname {\Delta } _{x}\left(1+t\right)^{x}=t\,\left(1+t\right)^{x}~.}$

Identidades y coeficientes de conexión

Los factoriales ascendentes y descendentes están relacionados entre sí a través de los números de Lah : ^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{n}&=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n-1}{k-1}}{\frac {n!}{k!}}\times x^{(k)}\\&=(-1)^{n}(-x)^{(n)}=(x-n+1)^{(n)}\\x^{(n)}&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(n-1)_{n-k}\times (x)_{k}\\&=(-1)^{n}(-x)_{n}=(x+n-1)_{n}.\end{aligned}}}$

Las siguientes fórmulas relacionan las potencias integrales de una variable x mediante sumas utilizando los números de Stirling del segundo tipo (anotados por corchetes {ⁿ
_k}  ): ^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{n}&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}(x)_{k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}(-1)^{n-k}x^{(k)}.\end{aligned}}}$

Dado que los factoriales descendentes son una base para el anillo polinomial , se puede expresar el producto de dos de ellos como una combinación lineal de factoriales descendentes:

${\displaystyle (x)_{m}(x)_{n}=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}{n \choose k}k!\cdot (x)_{m+n-k}~.}$

Los coeficientes se denominan coeficientes de conexión y tienen una interpretación combinatoria como el número de formas de identificar (o "pegar") k elementos cada uno de un conjunto de tamaño my un conjunto de tamaño n  .${\textstyle {m \choose k}{n \choose k}k!}$

También hay una fórmula de conexión para la razón de dos factoriales ascendentes dada por

${\displaystyle {\frac {x^{(n)}}{x^{(i)}}}=(x+i)^{(n-i)},n\geq i~.}$

Además, podemos expandir las leyes del exponente generalizado y los poderes negativos ascendentes y descendentes a través de las siguientes identidades: ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{m+n}&=(x)_{m}(x-m)_{n}\\x^{(m+n)}&=x^{(m)}(x+m)^{(n)}\\x^{(-n)}&={\frac {\Gamma (x-n)}{\Gamma (x)}}={\frac {(x-n-1)!}{(x-1)!}}={\frac {1}{(x-n)^{(n)}}}={\frac {1}{(x-1)_{n}}}={\frac {1}{(x-1)(x-2)\cdots (x-n)}}={\frac {1}{n!{\binom {x-1}{n}}}}=(-n)!{\binom {x-n-1}{-n}}\\(x)_{-n}&={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+n-1)}}={\frac {x!}{(x+n)!}}={\frac {1}{(x+n)_{n}}}={\frac {1}{(x+1)^{(n)}}}={\frac {1}{(x+1)(x+2)\cdots (x+n)}}={\frac {1}{(-n)!{\binom {x+n}{-n}}}}=(-n)!{\binom {x}{-n}}.\end{aligned}}}$

Finalmente, las fórmulas de duplicación y multiplicación para los factoriales ascendentes y descendentes proporcionan las siguientes relaciones:

${\displaystyle x_{k+mn}=x^{(k)}m^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}\left({\frac {x-k-j}{m}}\right)_{n},m\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle x^{(k+mn)}=x^{(k)}m^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}\left({\frac {x+k+j}{m}}\right)^{(n)},m\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle (ax+b)^{(n)}=x^{n}\prod _{j=0}^{n-1}\left(a+{\frac {b+j}{x}}\right),x\in \mathbb {Z} ^{+}}$

${\displaystyle (2x)^{(2n)}=2^{2n}x^{(n)}\left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{(n)}.}$

Notaciones alternativas

Una notación alternativa para el factorial ascendente

${\displaystyle x^{\overline {m}}\equiv (x)_{+m}\equiv (x)_{m}=\overbrace {x(x+1)\ldots (x+m-1)} ^{m{\text{ factors}}}\qquad {\text{for integer }}m\geq 0,}$

y por la caída factorial

${\displaystyle x^{\underline {m}}\equiv (x)_{-m}=\overbrace {x(x-1)\ldots (x-m+1)} ^{m{\text{ factors}}}\qquad {\text{for integer }}m\geq 0~;}$

se remonta a A. Capelli (1893) y L. Toscano (1939), respectivamente. ^[2] Graham, Knuth y Patashnik ^[10] proponen pronunciar estas expresiones como " x a la m subiendo" y " x a la m bajando", respectivamente.

Otras notaciones para el factorial descendente incluyen P ( x ,  n )  , ^x P _n  , P _{x , n}  o _x P _n  . (Ver permutación y combinación ).

Una notación alternativa para el factorial ascendente x ^{( n )} es la menos común ( x )⁺
_n . Cuando ( x )⁺
_nse usa para denotar el factorial ascendente, la notación ( x )^-
_nse usa típicamente para el factorial descendente ordinario, para evitar confusiones. ^[3]

Generalizaciones

El símbolo de Pochhammer tiene una versión generalizada llamada símbolo de Pochhammer generalizado , que se utiliza en el análisis multivariado . También hay un q -análogo , el símbolo q -Pochhammer .

Una generalización del factorial descendente en la que una función se evalúa en una secuencia aritmética descendente de números enteros y los valores se multiplican es: ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle [f(x)]^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h),}$

donde - h es el decremento yk es el número de factores. La generalización correspondiente del factorial ascendente es

${\displaystyle [f(x)]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h).}$

Esta notación unifica los factoriales ascendentes y descendentes, que son [ x ] ^{k / 1} y [ x ] ^{k / −1} , respectivamente.

Para cualquier función aritmética fija y parámetros simbólicos , productos factoriales generalizados relacionados de la forma${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C} }$${\displaystyle x,t}$

${\displaystyle (x)_{n,f,t}:=\prod _{k=1}^{n-1}\left(x+{\frac {f(k)}{t^{k}}}\right)}$

puede estudiarse desde el punto de vista de las clases de números de Stirling generalizados del primer tipo definidos por los siguientes coeficientes de las potencias de en las expansiones de y luego por la siguiente relación de recurrencia triangular correspondiente:${\displaystyle x}$${\displaystyle (x)_{n,f,t}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]_{f,t}&=[x^{k-1}](x)_{n,f,t}\\&=f(n-1)t^{1-n}\left[{\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}}\right]_{f,t}+\left[{\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}}\right]_{f,t}+\delta _{n,0}\delta _{k,0}.\end{aligned}}}$

Estos coeficientes satisfacen una serie de propiedades análogas a las de los números de Stirling de la primera clase , así como relaciones de recurrencia y ecuaciones funcionales relacionadas con los números F-armónico , . ^[11]${\displaystyle F_{n}^{(r)}(t):=\sum _{k\leq n}{\frac {t^{k}}{f(k)^{r}}}}$

Una generalización simétrica se puede definir como

${\displaystyle x^{\underline {\overline {m}}}\equiv {\frac {x^{\overline {m}}x^{\underline {m}}}{x}}=x^{{\overline {m}}+{\underline {m}}-1}}$

Ver también

• Símbolo k de martillo pochhammer
• Identidad de Vandermonde

Referencias

1. Steffensen, JF (17 de marzo de 2006), Interpolation (2nd ed.), Dover Publications, p. 8, ISBN 0-486-45009-0 (Una reimpresión de la edición de 1950 de Chelsea Publishing Co.)
2. Knuth. El arte de la programación informática . Vol. 1 (3ª ed.). pag. 50.
3. Knuth, Donald E. (1992), "Two notes on notation", American Mathematical Monthly , 99 (5): 403–422, arXiv : math / 9205211 , doi : 10.2307 / 2325085 , JSTOR 2325085 , S2CID 119584305  . El comentario sobre el símbolo de Pochhammer está en la página 414.
4. Olver, Peter J. (1999). Teoría clásica invariante . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 101. ISBN 0-521-55821-2. Señor  1694364 .
5. Harris; Hirst; Mossinghoff (2008). Combinatoria y Teoría de Grafos . Saltador. Ch. 2. ISBN 978-0-387-79710-6.
6. Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . pag. 256.
7. Una lista útil de fórmulas para manipular el factorial ascendente en esta última notación se da en Slater, Lucy J. (1966). Funciones hipergeométricas generalizadas . Prensa de la Universidad de Cambridge. Apéndice I. MR 0201688 . 
8. Feller, William. Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones . Vol. 1. Cap. 2.
9. "Introducción a los factoriales y binomios" . Sitio de Wolfram Functions .
10. Graham, Ronald L .; Knuth, Donald E. y Patashnik, Oren (1988). Matemáticas concretas . Reading, MA: Addison-Wesley. págs. 47, 48. ISBN 0-201-14236-8.
11. Schmidt, Maxie D. (29 de marzo de 2017). "Identidades combinatorias para números de Stirling generalizados que expanden las funciones factoriales f y los números armónicos f". arXiv : 1611.04708v2 [ math.CO ].

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Símbolo de martillo perforador" . MathWorld .
• Pruebas elementales