El teorema de Pohlke es el teorema fundamental de la axonometría . Fue establecido en 1853 por el pintor alemán y profesor de geometría descriptiva Karl Wilhelm Pohlke . La primera prueba del teorema fue publicada en 1864 por el matemático alemán Hermann Amandus Schwarz , quien fue alumno de Pohlke. Por lo tanto, el teorema a veces también se denomina teorema de Pohlke y Schwarz .
El teorema
- Tres secciones de línea arbitrarias en un plano que se origina en el punto , que no están contenidos en una línea, se puede considerar como la proyección paralela de tres bordesde un cubo .
Para un mapeo de un cubo unitario, uno tiene que aplicar una escala adicional en el espacio o en el plano. Debido a que una proyección paralela y una escala conservan las proporciones, se puede mapear un punto arbitrario. mediante el procedimiento axonométrico a continuación.
El teorema de Pohlke se puede establecer en términos de álgebra lineal como:
- Cualquier mapeo afín del espacio tridimensional en un plano puede considerarse como la composición de una similitud y una proyección paralela. [1]
Aplicación a la axonometría
El teorema de Pohlke es la justificación del siguiente procedimiento sencillo para construir una proyección paralela escalada de un objeto tridimensional usando coordenadas: [2] [3]
- Elija las imágenes de los ejes de coordenadas, no contenidas en una línea.
- Elija cualquier eje de coordenadas para acortamientos
- La imagen de un punto está determinado por los tres pasos, comenzando en el punto :
- ir en -dirección, luego
- ir en -dirección, luego
- ir en -dirección y
- 4. marcar el punto como .
Para obtener imágenes sin distorsiones, hay que elegir cuidadosamente las imágenes de los ejes y los acortamientos (ver Axonometría ). Para obtener una proyección ortográfica solo quedan libres las imágenes de los ejes y se determinan los acortamientos. (ver de: orthogonale Axonometrie ).
Comentarios sobre la prueba de Schwarz
Schwarz formuló y demostró la declaración más general:
- Los vértices de cualquier cuadrilátero se pueden considerar como una proyección paralela oblicua de los vértices de un tetraedro que es similar a un tetraedro dado. [4]
y usó un teorema de L'Huilier :
- Cada triángulo puede considerarse como la proyección ortográfica de un triángulo de una forma determinada.
Notas
- ^ G. Pickert: Vom Satz von Pohlke zur linearen Algebra , Didaktik der Mathematik 11 (1983), 4, págs. 297-306.
- ^ Ulrich Graf, Martin Barner: Darstellende Geometrie. Quelle y Meyer, Heidelberg 1961, ISBN 3-494-00488-9 , p. 144.
- ^ Roland Stärk: Darstellende Geometrie , Schöningh, 1978, ISBN 3-506-37443-5 , página 156.
- ^ Sklenáriková, Zita; Pémová, Marta (2007). "El teorema de Pohlke-Schwarz y su relevancia en la didáctica de las matemáticas" (PDF) . Quaderni di Ricerca en Didattica . GRIM (Departamento de Matemáticas, Universidad de Palermo, Italia) (17): 155.
Referencias
- K. Pohlke : Zehn Tafeln zur darstellenden Geometrie. Gaertner-Verlag, Berlín 1876 (Google Books.)
- Schwarz, HA : Elementarer Beweis des Pohlkeschen Fundamentalsatzes der Axonometrie , J. reine angew. Matemáticas. 63, 309–314, 1864.
- Arnold Emch: Prueba del teorema de Pohlke y sus generalizaciones por Affinity , American Journal of Mathematics, vol. 40, núm. 4 (octubre de 1918), págs. 366–374
enlaces externos
- F. Klein: El teorema fundamental de Pohlke , en matemáticas elementales desde un punto de vista superior: Volumen II: Geometría , p. 97 ,
- Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 años de geometría: matemáticas en la historia y la cultura, p. 398.
- Teorema de Pohlke-Schwarz , Enciclopedia de Matemáticas.