Una proyección paralela (o proyección axonométrica ) es una proyección de un objeto en un espacio tridimensional sobre un plano fijo , conocido como plano de proyección o plano de imagen , donde los rayos , conocidos como líneas de visión o líneas de proyección , son paralelos a cada uno. otro. Es una herramienta básica en geometría descriptiva . La proyección se llama ortográfica si los rayos son perpendiculares (ortogonales) al plano de la imagen y oblicuos o sesgados si no lo son.
Descripción general
Una proyección paralela es un caso particular de proyección en matemáticas y proyección gráfica en dibujo técnico . Las proyecciones paralelas pueden verse como el límite de una proyección central o en perspectiva , en la que los rayos pasan por un punto fijo llamado centro o mirador , ya que este punto se desplaza hacia el infinito. Dicho de otra manera, una proyección paralela corresponde a una proyección en perspectiva con una distancia focal infinita (la distancia entre la lente y el punto focal en la fotografía ) o " zoom ". Además, en las proyecciones paralelas, las líneas que son paralelas en el espacio tridimensional permanecen paralelas en la imagen proyectada bidimensional.
Una proyección en perspectiva de un objeto a menudo se considera más realista que una proyección paralela, ya que se parece más a la visión y la fotografía humanas . Sin embargo, las proyecciones paralelas son populares en aplicaciones técnicas, ya que se conserva el paralelismo de las líneas y caras de un objeto y se pueden tomar medidas directas a partir de la imagen. Entre las proyecciones paralelas, las proyecciones ortográficas se consideran las más realistas y los ingenieros las utilizan habitualmente. Por otro lado, ciertos tipos de proyecciones oblicuas (por ejemplo , proyección cavalier , proyección militar ) son muy simples de implementar y se utilizan para crear imágenes de objetos rápidas e informales.
El término proyección paralela se utiliza en la literatura para describir tanto el procedimiento en sí (una función de mapeo matemático) como la imagen resultante producida por el procedimiento .
Propiedades
Cada proyección paralela tiene las siguientes propiedades:
- Se define de forma única por su plano de proyección Π y la direcciónde las líneas de proyección (paralelas). La dirección no debe ser paralela al plano de proyección.
- Cualquier punto del espacio tiene una imagen única en el plano de proyección Π , y los puntos de Π son fijos.
- Cualquier línea que no sea paralela a la dirección está mapeado en una línea; cualquier línea paralela a se asigna a un punto.
- Las líneas paralelas se mapean en líneas paralelas o en un par de puntos (si son paralelas a ).
- La relación de la longitud de dos segmentos de línea en una línea permanece sin cambios. Como caso especial, los puntos medios se asignan a los puntos medios.
- La longitud de un segmento de línea paralelo al plano de proyección permanece sin cambios . La longitud de cualquier segmento de línea se acorta si la proyección es ortográfica. [ aclaración necesaria ]
- Cualquier círculo que se encuentre en un plano paralelo al plano de proyección se asigna a un círculo con el mismo radio. Cualquier otro círculo se asigna a una elipse o un segmento de línea (si la dirección es paralelo al plano del círculo).
- Los ángulos en general no se conservan. Pero los ángulos rectos con una línea paralela al plano de proyección permanecen sin cambios.
- Cualquier rectángulo se asigna a un paralelogramo o un segmento de línea (si es paralelo al plano del rectángulo).
- Cualquier figura en un plano que sea paralelo al plano de la imagen es congruente con su imagen.
Tipos
Proyección ortográfica
La proyección ortográfica se deriva de los principios de la geometría descriptiva y es un tipo de proyección paralela donde los rayos de proyección son perpendiculares al plano de proyección. Es el tipo de proyección de elección para dibujos de trabajo . El término ortográfico a veces se reserva específicamente para representaciones de objetos donde los ejes o planos principales del objeto también son paralelos al plano de proyección (o el papel en el que se dibuja la proyección ortográfica o paralela). Sin embargo, también se utiliza el término vista primaria . En las proyecciones de múltiples vistas , se producen hasta seis imágenes de un objeto, con cada plano de proyección perpendicular a uno de los ejes de coordenadas. Sin embargo, cuando los planos o ejes principales de un objeto no son paralelos al plano de proyección, sino que están inclinados hasta cierto punto para revelar múltiples lados del objeto, se denominan vistas auxiliares o imágenes . A veces, el término proyección axonométrica se reserva únicamente para estas vistas y se yuxtapone con el término proyección ortográfica . Pero la proyección axonométrica podría describirse con mayor precisión como sinónimo de proyección paralela y la proyección ortográfica como un tipo de proyección axonométrica .
Las vistas principales incluyen planos , elevaciones y secciones ; y las proyecciones isométrica , dimetrica y trimétrica podrían considerarse vistas auxiliares . Una característica típica (pero no obligatoria) de las proyecciones ortográficas de múltiples vistas es que un eje del espacio generalmente se muestra como vertical.
Cuando la dirección de visualización es perpendicular a la superficie del objeto representado, independientemente de la orientación del objeto, se denomina proyección normal . Así, en el caso de un cubo orientado con el sistema de coordenadas de un espacio, las vistas primarias del cubo se considerarían proyecciones normales .
Proyección oblicua
En una proyección oblicua , los rayos de proyección paralelos no son perpendiculares al plano de visión, sino que inciden en el plano de proyección en un ángulo distinto de noventa grados. [1] Tanto en la proyección ortográfica como en la oblicua, las líneas paralelas en el espacio aparecen paralelas en la imagen proyectada. Debido a su simplicidad, la proyección oblicua se utiliza exclusivamente con fines pictóricos más que para dibujos formales de trabajo. En un dibujo pictórico oblicuo, los ángulos mostrados que separan los ejes de coordenadas, así como los factores de escorzo (escala) son arbitrarios. La distorsión creada de este modo generalmente se atenúa alineando un plano del objeto de la imagen para que sea paralelo al plano de proyección, creando una imagen de tamaño completo y verdaderamente formada del plano elegido. Los tipos especiales de proyecciones oblicuas incluyen proyecciones militares , de caballería y de gabinete . [2]
Representación analítica
Si el plano de la imagen viene dado por la ecuación y la dirección de proyección por , luego la línea de proyección a través del punto está parametrizado por
- con .
La imagen de es la intersección de la línea con avion ; está dado por la ecuación
En varios casos, estas fórmulas se pueden simplificar.
(S1) Si uno puede elegir los vectores y tal que , la fórmula de la imagen se simplifica a
(S2) En una proyección ortográfica, los vectores y son paralelos. En este caso, se puede elegir y uno se pone
(S3) Si uno puede elegir los vectores y tal que , y si el plano de la imagen contiene el origen, uno tiene y la proyección paralela es un mapeo lineal :
(Aquí es la matriz de identidad yel producto exterior .)
De esta representación analítica de una proyección paralela se pueden deducir la mayoría de las propiedades enunciadas en las secciones anteriores.
Historia
La axonometría se originó en China . [3] Su función en el arte chino era diferente a la perspectiva lineal en el arte europeo, ya que su perspectiva no era objetiva, ni miraba desde el exterior. En cambio, sus patrones utilizaron proyecciones paralelas dentro de la pintura que permitieron al espectador considerar tanto el espacio como la progresión continua del tiempo en un rollo. [4] Según el autor científico y periodista de Medium Jan Krikke, la axonometría y la gramática pictórica que la acompaña habían adquirido un nuevo significado con la introducción de la computación visual y el dibujo de ingeniería . [4] [3] [5] [6]
El concepto de isometría había existido en una forma empírica aproximada durante siglos, mucho antes de que el profesor William Farish (1759-1837) de la Universidad de Cambridge fuera el primero en proporcionar reglas detalladas para el dibujo isométrico. [7] [8]
Farish publicó sus ideas en el artículo de 1822 "On Isometric Perspective", en el que reconocía la "necesidad de dibujos técnicos precisos y libres de distorsión óptica. Esto lo llevaría a formular isometría. Isometría significa" medidas iguales "porque la misma escala es utilizado para altura, ancho y profundidad ". [9]
A partir de mediados del siglo 19, según Jan Krikke (2006) [9] isometría se convirtió en una "herramienta de valor incalculable para los ingenieros, y poco después axonometría y isometría fueron incorporados en el plan de estudios de los cursos de formación de arquitectura en Europa y el de EE.UU. La aceptación popular de la axonometría llegó en la década de 1920, cuando los arquitectos modernistas de la Bauhaus y De Stijl la adoptaron ". [9] Los arquitectos de De Stijl como Theo van Doesburg utilizaron la axonometría para sus diseños arquitectónicos , que causaron sensación cuando se exhibieron en París en 1923 ". [9]
Desde la década de 1920, la axonometría, o perspectiva paralela, ha proporcionado una técnica gráfica importante para artistas, arquitectos e ingenieros. Al igual que la perspectiva lineal, la axonometría ayuda a representar el espacio tridimensional en un plano de imagen bidimensional. Por lo general, viene como una característica estándar de los sistemas CAD y otras herramientas de computación visual. [4]
Modelo de motor de pulido óptico (1822), dibujado en perspectiva isométrica de 30 ° [10]
Ejemplo de un dibujo en perspectiva dimensional de una patente de EE. UU. (1874)
Ejemplo de proyección trimétrica que muestra la forma de la Torre del Banco de China en Hong Kong .
Ejemplo de proyección dimetrica en el arte chino en una edición ilustrada del Romance de los Tres Reinos , China, c. CE del siglo XV .
Detalle de la versión original de A lo largo del río durante el festival Qingming atribuido a Zhang Zeduan (1085-1145). Tenga en cuenta que la imagen cambia entre la proyección axonométrica y la proyección en perspectiva en diferentes partes de la imagen y, por lo tanto, es inconsistente.
Limitaciones
Los objetos dibujados con proyección paralela no parecen más grandes o más pequeños a medida que se encuentran más cerca o más lejos del espectador. Si bien es ventajoso para los dibujos arquitectónicos , donde las medidas deben tomarse directamente de la imagen, el resultado es una distorsión percibida, ya que, a diferencia de la proyección en perspectiva , no es así como funciona normalmente la visión humana o la fotografía. También puede resultar fácilmente en situaciones en las que la profundidad y la altitud son difíciles de medir, como se muestra en la ilustración de la derecha.
Esta ambigüedad visual se ha aprovechado en el op art , así como en los dibujos de "objetos imposibles". Aunque no es estrictamente paralela, la Cascada de MC Escher (1961) es una imagen muy conocida, en la que un canal de agua parece viajar sin ayuda a lo largo de un camino descendente, para luego caer paradójicamente una vez más cuando regresa a su fuente. Por tanto, el agua parece desobedecer la ley de conservación de la energía .
Ver también
- Proyección (álgebra lineal)
Referencias
- Esquema de Schaum: geometría descriptiva , McGraw-Hill, (1 de junio de 1962), ISBN 978-0070272903
- Joseph Malkevitch (abril de 2003), "Matemáticas y arte" , Feature Column Archive , American Mathematical Society
- Ingrid Carlbom, Joseph Paciorek (diciembre de 1978), "Proyecciones geométricas planas y transformaciones de visualización", Encuestas de computación de ACM , 10 (4): 465–502, doi : 10.1145 / 356744.356750 , S2CID 708008
- ^ Maynard, Patric (2005). Dibujar distinciones: las variedades de expresión gráfica . Prensa de la Universidad de Cornell. pag. 22. ISBN 0-8014-7280-6.
- ^ Desai, Apurva A. (22 de octubre de 2008). Gráficos por computadora . PHI Learning Pvt. Ltd. p. 242. ISBN 978-81-203-3524-0.
- ^ a b Krikke, enero (2 de enero de 2018). "Por qué el mundo se basa en una" perspectiva " china " .
- ↑ a b c Jan Krikke (2000). "Axonometría: una cuestión de perspectiva". En: Computer Graphics and Applications, IEEE julio / agosto de 2000. Vol. 20 (4), págs. 7–11.
- ^ Krikke, J. (julio de 2000). "Axonometría: una cuestión de perspectiva" . Aplicaciones y gráficos informáticos IEEE . 20 (4): 7-11. doi : 10.1109 / 38.851742 .
- ^ {{Cite web | title = ¿Una perspectiva china del ciberespacio? | Url = http://powys-lannion.net/Powys/America/Chinese.htm%7C}
- ^ Barclay G. Jones (1986). Proteger la arquitectura histórica y las colecciones de los museos de los desastres naturales . Universidad de Michigan. ISBN 0-409-90035-4 . pag. 243.
- ^ Charles Edmund Moorhouse (1974). Mensajes visuales: comunicación gráfica para estudiantes de último año .
- ↑ a b c d J. Krikke (1996). "¿ Una perspectiva china para el ciberespacio? Archivado el 1 de junio de 2009 en la Wayback Machine ". En: Boletín del Instituto Internacional de Estudios Asiáticos , 9, verano de 1996.
- ^ William Farish (1822) "En perspectiva isométrica". En: Transacciones filosóficas de Cambridge . 1 (1822).