La axonometría es un procedimiento gráfico perteneciente a la geometría descriptiva que genera una imagen plana de un objeto tridimensional. El término "axonometría" significa "medir a lo largo de ejes " e indica que las dimensiones y la escala de los ejes de coordenadas juegan un papel crucial. El resultado de un procedimiento axonométrico es una proyección paralela del objeto a escala uniforme . En general, la proyección paralela resultante es oblicua (los rayos no son perpendiculares al plano de la imagen); pero en casos especiales el resultado es ortográfico(los rayos son perpendiculares al plano de la imagen), lo que en este contexto se denomina axonometría ortogonal .
En el dibujo técnico y en arquitectura , perspectiva axonométrica es una forma de dos dimensiones representación de tridimensionales objetos cuyo objetivo es preservar la impresión de volumen o alivio . A veces también llamada perspectiva rápida o perspectiva artificial, se diferencia de la perspectiva cónica y no representa lo que el ojo realmente ve: en particular, las líneas paralelas permanecen paralelas y los objetos distantes no se reducen de tamaño. Puede considerarse una cónica de perspectiva cónica cuyo centro se ha desplazado hacia el infinito, es decir, muy lejos del objeto observado.
El término axonometría se utiliza tanto para el procedimiento gráfico que se describe a continuación, como para la imagen producida por este procedimiento.
La axonometría no debe confundirse con la proyección axonométrica , que en la literatura inglesa suele referirse a la axonometría ortogonal .
Principio de axonometría
El teorema de Pohlke es la base del siguiente procedimiento para construir una proyección paralela escalada de un objeto tridimensional: [1] [2]
- Seleccione las proyecciones de los ejes de coordenadas, de modo que los tres ejes de coordenadas no se contraigan en un solo punto o línea. Por lo general, el eje z es vertical.
- Seleccione para estas proyecciones los escorzos ,, y , dónde
- La proyección de un punto se determina en tres subpasos (el resultado es independiente del orden de estos subpasos):
- comenzando en el punto , muévete por la cantidad en la dirección de , luego
- muévete por la cantidad en la dirección de , luego
- muévete por la cantidad en la dirección de y finalmente
- Marcar la posición final como punto .
Para obtener resultados no distorsionados, seleccione cuidadosamente las proyecciones de los ejes y escorzos (ver más abajo). Para producir una proyección ortográfica , solo se seleccionan libremente las proyecciones de los ejes de coordenadas; los escorzos son fijos (ver de: orthogonale Axonometrie ). [3]
La elección de las imágenes de los ejes y los acortamientos.
Notación:
- ángulo entre -eje y -eje
- ángulo entre -eje y -eje
- ángulo entre -eje y -eje.
Los ángulos se pueden elegir de modo que
Los acortamientos :
Sólo para la elección adecuada de ángulos y acortamientos se obtienen imágenes no distorsionadas. El siguiente diagrama muestra las imágenes del cubo de la unidad para varios ángulos y acortamientos y da algunas pistas sobre cómo tomar estas decisiones personales.
Para mantener el dibujo simple, uno debe elegir simples para acortar, por ejemplo o .
Si dos acortamientos son iguales, la proyección se llama dimetrica .
Si los tres acortamientos son iguales, la proyección se llama isométrica .
Si todos los acortamientos son diferentes, la proyección se llama trimétrica .
Los parámetros del diagrama de la derecha (por ejemplo, de la casa dibujada en papel cuadriculado) son: Por tanto, es una axonometría dimetrica . El plano de la imagen es paralelo al plano yz y cualquier figura plana paralela al plano yz aparece en su forma real.
Axonometrías especiales
Nombre o propiedad | α = ∠ x̄z̄ | β = ∠ ȳz̄ | γ = ∠ x̄ȳ | α h | β h | v x | v y | v z | v |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Ortogonal, ortográfico, plano | 90 ° | 0 ° | 270 ° | 0 ° | 270 ° | v | 0% | alguna | |
Trimétrico | 90 ° + α h | 90 ° + β h | 360 ° - α - β | alguna | alguna | alguna | alguna | alguna | alguna |
Dimetrico | v | ||||||||
Isometrico | v | ||||||||
Normal | 100% | ||||||||
Oblicua, clinográfica | <90 ° | <90 ° | alguna | alguna | alguna | bronceado (α h ) | |||
Simétrico | α | 360 ° - 2 · α | <90 ° | α h | alguna | ||||
Equiángulo | 120 ° | 30 ° | |||||||
Normal, 1∶1 isométrico | v | 100% | |||||||
Isométrica estándar abreviada | √⅔ ≈ 81% | ||||||||
Pixel, 1∶2 isométrico | 116,6 ° | 126,9 ° | arctan ( v ) | 50% | |||||
Ingenieria | 131,4 ° | 97,2 ° | 131,4 ° | arccos (¾) | arcsin (⅛) | 50% | v | 100% | |
Caballero | 90 ° + α h | 90 ° | 270 ° - α | alguna | 0 ° | alguna | |||
Gabinete, cavalier dimetric | <100% | ||||||||
Caballero isométrico estándar | 135 ° | 135 ° | 45 ° | v | |||||
Gabinete estándar 1∶2 | 50% | v | |||||||
Gabinete de 30 ° | 116,6 ° | 153,4 ° | arctan ( v x ) | ||||||
Armario de 60 ° | 153,4 ° | 116,6 ° | arccot ( v x ) | ||||||
30 ° caballero | 120 ° | 150 ° | 30 ° | alguna | |||||
Vista aérea, a vista de pájaro | 135 ° | 90 ° | 45 ° | v | alguna | 100% | |||
Militar | v | ||||||||
Planometrico | 90 ° + α h | 180 ° - α h | alguna | 90 ° - α h | alguna | ||||
Planométrico normal | 100% | ||||||||
Planométrico acortado | ⅔ ≈ 67% |
Proyección del ingeniero
- los acortamientos son: (axonometría dimetrica) y
- los ángulos entre los ejes son:
Estos ángulos están marcados en muchos cuadrados alemanes .
Ventajas de una proyección de ingeniero:
- acortamientos sencillos,
- una proyección ortográfica uniformemente escalada con factor de escala 1.06,
- el contorno de una esfera es un círculo (en general, una elipse).
Para más detalles: ver de: Axonometrie .
Perspectiva arrogante, perspectiva del gabinete
- plano de la imagen paralelo al plano yz.
En la literatura, los términos "perspectiva arrogante" y "perspectiva de gabinete" no se definen de manera uniforme. La definición anterior es la más general. A menudo, se aplican más restricciones. [6] [7] Por ejemplo:
- perspectiva del gabinete: elija adicionalmente (oblicuo) y (dimetrico),
- Perspectiva arrogante: elija adicionalmente (oblicuo) y (isométrico).
Vista de pájaro, proyección militar
- plano de la imagen paralelo al plano xy.
- proyección militar: elija adicionalmente (isométrico).
Estas axonometrías se utilizan a menudo para mapas de ciudades, con el fin de mantener las figuras horizontales sin distorsiones.
Axonometría isométrica
(No debe confundirse con una isometría entre espacios métricos).
Para una axonometría isométrica, todos los acortamientos son iguales. Los ángulos se pueden elegir arbitrariamente, pero una opción común es.
Para la isometría estándar o simplemente la isometría se elige:
- (todos los ejes sin distorsión)
La ventaja de una isometría estándar:
- las coordenadas se pueden tomar sin cambios,
- la imagen es una proyección ortográfica a escala con factor de escala . De ahí que la imagen tenga una buena impresión y el contorno de una esfera sea un círculo.
- Algunos sistemas de gráficos por computadora (por ejemplo, xfig ) proporcionan un ráster adecuado (ver diagrama) como soporte.
Para evitar la formación de incrustaciones, se puede optar por acortamientos poco prácticos.
- (en lugar de 1)
y la imagen es una proyección ortográfica (sin escala).
Círculos en axonometría
Una proyección paralela de un círculo es en general una elipse. Ocurre un caso especial importante, si el plano del círculo es paralelo al plano de la imagen, la imagen del círculo es entonces un círculo congruente. En el diagrama, el círculo contenido en la cara frontal no está distorsionado. Si la imagen de un círculo es una elipse, se pueden mapear cuatro puntos en diámetros ortogonales y el cuadrado circundante de tangentes y en la imagen paralelogramo rellenar una elipse a mano. Un método mejor, pero más lento, consiste en dibujar las imágenes de dos diámetros perpendiculares del círculo, que son diámetros conjugados de la elipse de la imagen, determinar los ejes de la elipse con la construcción de Rytz y dibujar la elipse .
Perspectiva arrogante: círculos
Proyección militar: esfera
Esferas en axonometría
En una axonometría general de una esfera, el contorno de la imagen es una elipse. El contorno de una esfera es un círculo solo en una axonometría ortogonal . Pero, como la proyección del ingeniero y la isometría estándar son proyecciones ortográficas escaladas, el contorno de una esfera también es un círculo en estos casos. Como muestra el diagrama, una elipse como el contorno de una esfera puede ser confusa, por lo que, si una esfera es parte de un objeto que se va a mapear, se debe elegir una axonometría ortogonal o una proyección de ingeniero o una isometría estándar.
Referencias
- Graf, Ulrich; Barner, Martin (1961). Darstellende Geometrie . Heidelberg: Quelle y Meyer. ISBN 3-494-00488-9.
- Fucke, Kirch Nickel (1998). Darstellende Geometrie . Leipzig: Fachbuch-Verlag. ISBN 3-446-00778-4.
- Leopold, Cornelie (2005). Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung . Stuttgart: Kohlhammer Verlag . ISBN 3-17-018489-X.
- Brailov, Aleksandr Yurievich (2016). Gráficos de ingeniería: fundamentos teóricos de la geometría de ingeniería para el diseño . Saltador. ISBN 978-3-319-29717-0.
- Stärk, Roland (1978). Darstellende Geometrie . Schöningh. ISBN 3-506-37443-5.
- Notas
- ^ Graf 1961 , pág. 144.
- ^ Stärk 1978 , p. 156.
- ^ Graf 1961 , pág. 145.
- ^ Graf 1961 , pág. 155.
- ^ Stärk 1978 , p. 168.
- ^ Graf 1961 , pág. 95.
- ^ Stärk 1978 , p. 159.
enlaces externos
- Axonometría ortogonal