Puntual

Aplicar operaciones a funciones en términos de valores para cada "punto" de entrada

En matemáticas , el calificador puntual se usa para indicar que una determinada propiedad se define considerando cada valor de alguna función.Una clase importante de conceptos puntuales son las operaciones puntuales , es decir, operaciones definidas en funciones aplicando las operaciones a valores de función por separado para cada punto en el dominio de la definición. Las relaciones importantes también se pueden definir puntualmente.${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f.}$

Operaciones puntuales

Suma puntual (gráfico superior, violeta) y producto (verde) de las funciones sin (gráfico inferior, azul) e ln (rojo). El corte vertical resaltado muestra el cálculo en el punto x = 2π.

Definición formal

Una operación binaria o : Y × Y → Y en un conjunto Y puede elevarse puntualmente a una operación O : ( X → Y ) × ( X → Y ) → ( X → Y ) en el conjunto X → Y de todas las funciones de X a Y de la siguiente manera: Dadas dos funciones f ₁ : X → Y y f ₂ : X → Y , defina la función O( f ₁ , f ₂ ): X → Y por

( O ( f ₁ , f ₂ )) ( x ) = O ( f ₁ ( x ), f ₂ ( x )) para todo x ∈ X .

Comúnmente, O y O se denotan con el mismo símbolo. Una definición similar se utiliza para las operaciones unario o , y para las operaciones de otra aridad . ^{[ cita requerida ]}

Ejemplos

${\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x)&{\text{(pointwise addition)}}\\(f\cdot g)(x)&=f(x)\cdot g(x)&{\text{(pointwise multiplication)}}\\(\lambda \cdot f)(x)&=\lambda \cdot f(x)&{\text{(pointwise multiplication by a scalar)}}\end{aligned}}}$

donde .${\displaystyle f,g:X\to R}$

Consulte también producto puntual y escalar .

Un ejemplo de una operación sobre funciones que no es puntual es la convolución .

Propiedades

Las operaciones puntuales heredan propiedades tales como asociatividad , conmutatividad y distributividad de las operaciones correspondientes en el codominio . Si se trata de una estructura algebraica , el conjunto de todas las funciones del conjunto portador de puede convertirse en una estructura algebraica del mismo tipo de forma análoga.${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$

Operaciones por componentes

Las operaciones por componentes generalmente se definen en vectores, donde los vectores son elementos del conjunto para algún número natural y algún campo . Si denotamos la -ésima componente de cualquier vector como , entonces la adición de componentes es .${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle i}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle (u+v)_{i}=u_{i}+v_{i}}$

Las operaciones por componentes se pueden definir en matrices. Suma de matrices, donde es una operación por componentes mientras que la multiplicación de matrices no lo es.${\displaystyle (A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}}$

Una tupla puede considerarse una función y un vector es una tupla. Por lo tanto, cualquier vector corresponde a la función tal que , y cualquier operación de componentes sobre vectores es la operación puntual sobre funciones correspondientes a esos vectores.${\displaystyle v}$${\displaystyle f:n\to K}$${\displaystyle f(i)=v_{i}}$

Relaciones puntuales

En la teoría de órdenes es común definir un orden parcial puntual en funciones. Con A , B posets , el conjunto de funciones A → B se puede ordenar por f ≤ g si y solo si (∀ x ∈ A) f ( x ) ≤ g ( x ). Los pedidos puntuales también heredan algunas propiedades de los posets subyacentes. Por ejemplo, si A y B son celosías continuas , entonces también lo es el conjunto de funciones A → B con orden puntual. ^[1]Usando el orden puntual en las funciones, uno puede definir de manera concisa otras nociones importantes, por ejemplo: ^[2]

• Un operador de cierre c en un poset P es un automapa monótono e idempotente en P (es decir, un operador de proyección ) con la propiedad adicional de que id _A ≤ c , donde id es la función de identidad .
• Del mismo modo, un operador de proyección k se llama un operador kernel si y sólo si k ≤ ID _A .

Un ejemplo de una relación infinitaria puntual es la convergencia puntual de funciones: una secuencia de funciones

${\displaystyle (f_{n})_{n=1}^{\infty }}$

con

${\displaystyle f_{n}:X\longrightarrow Y}$

converge puntualmente a una función si para cada en${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=f(x).}$

Notas

1. Gierz y col., P. xxxiii
2. Gierz, et al., P. 26

Referencias

Para ejemplos de teoría de órdenes:

• TS Blyth, Celosías y estructuras algebraicas ordenadas , Springer, 2005, ISBN  1-85233-905-5 .
• G. Gierz, KH Hofmann, K. Keimel, JD Lawson, M. Mislove, DS Scott : Continuous Lattices and Domains , Cambridge University Press, 2003.

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