En teoría de números , un número educado es un número entero positivo que se puede escribir como la suma de dos o más números enteros positivos consecutivos. Un número entero positivo que no es educado se llama descortés . [1] [2] Los números de mala educación son exactamente las potencias de dos , y los números de cortesía son los números naturales que no son potencias de dos.
Los números corteses también se han llamado números de escalera porque los diagramas de Young que representan gráficamente las particiones de un número educado en números enteros consecutivos (en la notación francesa de dibujar estos diagramas) se asemejan a escaleras . [3] [4] [5] Si todos los números de la suma son estrictamente mayores que uno, los números así formados también se denominan números trapezoidales porque representan patrones de puntos dispuestos en un trapecio . [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12]
El problema de representar números como sumas de enteros consecutivos y de contar el número de representaciones de este tipo ha sido estudiado por Sylvester , [13] Mason, [14] [15] Leveque , [16] y muchos otros autores más recientes. [1] [2] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] Los números corteses describen los posibles números de lados de los polígonos de Reinhardt . [24]
Ejemplos y caracterización
Los primeros números educados son
- 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, ... (secuencia A138591 en la OEIS ).
Los números descortés son exactamente las potencias de dos . [13] Se deduce del teorema de Lambek-Moser que el n- ésimo número educado es f ( n + 1), donde
Cortesía
La cortesía de un número positivo se define como la cantidad de formas en que se puede expresar como la suma de números enteros consecutivos. Para cada x , la cortesía de x es igual al número de divisores impares de x que son mayores que uno. [13] La cortesía de los números 1, 2, 3, ... es
Por ejemplo, la cortesía de 9 es 2 porque tiene dos divisores impares, 3 y él mismo, y dos representaciones de cortesía.
- 9 = 2 + 3 + 4 = 4 + 5;
la cortesía de 15 es 3 porque tiene tres divisores impares, 3, 5 y 15, y (como es familiar para los jugadores de cribbage ) [25] tres representaciones de cortesía
- 15 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 7 + 8.
Una forma fácil de calcular la cortesía de un número positivo descomponiendo el número en sus factores primos , tomando las potencias de todos los factores primos mayores que 2, sumando 1 a todos ellos, multiplicando los números así obtenidos entre sí y restando 1. Por ejemplo, 90 tiene cortesía 5 porque; las potencias de 3 y 5 son respectivamente 2 y 1, y aplicando este método.
Construcción de representaciones corteses a partir de divisores impares.
Para ver la conexión entre los divisores impares y las representaciones educadas, suponga que un número x tiene el divisor impar y > 1. Entonces y los enteros consecutivos centrados en x / y (de modo que su valor promedio es x / y ) tienen x como su suma:
Algunos de los términos de esta suma pueden ser cero o negativos. Sin embargo, si un término es cero, se puede omitir y se puede usar cualquier término negativo para cancelar los positivos, lo que lleva a una representación cortés de x . (El requisito de que y > 1 corresponde al requisito de que una representación cortés tenga más de un término; aplicar la misma construcción para y = 1 solo conduciría a la representación trivial de un término x = x ). Por ejemplo, el número cortés x = 14 tiene un único divisor impar no trivial, 7. Por lo tanto, es la suma de 7 números consecutivos centrados en 14/7 = 2:
- 14 = (2 - 3) + (2 - 2) + (2 - 1) + 2 + (2 + 1) + (2 + 2) + (2 + 3).
El primer término, −1, cancela un +1 posterior, y el segundo término, cero, se puede omitir, lo que lleva a la representación cortés
- 14 = 2 + (2 + 1) + (2 + 2) + (2 + 3) = 2 + 3 + 4 + 5.
A la inversa, toda representación cortés de x puede formarse a partir de esta construcción. Si una representación tiene un número impar de términos, x / y es el término medio, mientras que si tiene un número par de términos y su valor mínimo es m puede extenderse de forma única a una secuencia más larga con la misma suma y un número impar de términos, incluyendo los números 2 m - 1 - ( m - 1), - ( m - 2), ..., −1, 0, 1, ..., m - 2, m - 1 Después de esta extensión, nuevamente, x / y es el término medio. Mediante esta construcción, las representaciones corteses de un número y sus divisores impares mayores que uno pueden colocarse en una correspondencia uno a uno , dando una prueba biyectiva de la caracterización de los números corteses y la cortesía. [13] [26] De manera más general, la misma idea da una correspondencia de dos a uno entre, por un lado, representaciones como una suma de enteros consecutivos (permitiendo cero, números negativos y representaciones de un solo término) y por el otro otros divisores impares (incluido 1). [15]
Otra generalización de este resultado establece que, para cualquier n , el número de particiones de n en números impares que tienen k valores distintos es igual al número de particiones de n en números distintos que tienen k corridas máximas de números consecutivos. [13] [27] [28] Aquí, una ejecución es uno o más valores consecutivos de modo que el siguiente valor consecutivo más grande y el siguiente más pequeño no forman parte de la partición; por ejemplo, la partición 10 = 1 + 4 + 5 tiene dos corridas, 1 y 4 + 5. Una representación educada tiene una sola corrida, y una partición con un valor d es equivalente a una factorización de n como el producto d ⋅ ( n / d ), por lo que el caso especial k = 1 de este resultado establece nuevamente la equivalencia entre representaciones corteses y factores impares (incluyendo en este caso la representación trivial n = ny el factor impar trivial 1).
Números trapezoidales
Si una representación cortés comienza con 1, el número así representado es un número triangular
De lo contrario, es la diferencia de dos números triangulares no consecutivos
Este segundo caso se llama número trapezoidal. [12] También se pueden considerar números educados que no son trapezoidales. Los únicos números de este tipo son los números triangulares con un solo divisor impar no trivial, porque para esos números, de acuerdo con la biyección descrita anteriormente, el divisor impar corresponde a la representación triangular y no puede haber otras representaciones corteses. Por lo tanto, el número de cortesía no trapezoidal debe tener la forma de una potencia de dos multiplicada por un número primo impar. Como observan Jones y Lord, [12] hay exactamente dos tipos de números triangulares con esta forma:
- los números perfectos pares 2 n - 1 (2 n - 1) formados por el producto de un primo de Mersenne 2 n - 1 con la mitad de la potencia más cercana de dos , y
- los productos 2 n - 1 (2 n + 1) de un Fermat primo 2 n + 1 con la mitad de la potencia más cercana de dos.
(secuencia A068195 en la OEIS ). Por ejemplo, el número perfecto 28 = 2 3 - 1 (2 3 - 1) y el número 136 = 2 4 - 1 (2 4 + 1) son ambos este tipo de número educado. Se conjetura que hay infinitos números primos de Mersenne, en cuyo caso también hay infinitos números corteses de este tipo.
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enlaces externos
- Polite Numbers , NRICH, Universidad de Cambridge, diciembre de 2002
- Introducción a las sumas rúnicas , R. Knott.
- ¿Existe algún patrón en el conjunto de números trapezoidales? Intelectualism.org pregunta del día, 2 de octubre de 2003. Con un diagrama que muestra números trapezoidales codificados por colores por el número de términos en sus expansiones.