En geometría, un polígono de Reinhardt es un polígono equilátero inscrito en un polígono de Reuleaux . Como en los polígonos regulares , cada vértice de un polígono de Reinhardt participa en al menos un par definitorio del diámetro del polígono. Polígonos Reinhardt con lados existen, a menudo con múltiples formas, siempre que no es un poder de dos . Entre todos los polígonos conlados, los polígonos de Reinhardt tienen el mayor perímetro posible por su diámetro, el mayor ancho posible por su diámetro y el mayor ancho posible por su perímetro. Llevan el nombre de Karl Reinhardt , quien los estudió en 1922. [1] [2]
Construcción
Un polígono de Reuleaux es una forma convexa con lados de arco circular, cada uno centrado en un vértice de la forma y todos tienen el mismo radio; un ejemplo es el triángulo de Reuleaux . Estas formas son curvas de ancho constante . Algunos polígonos de Reuleaux tienen longitudes de lados que son múltiplos irracionales entre sí, pero si un polígono de Reuleaux tiene lados que se pueden dividir en un sistema de arcos de igual longitud, entonces el polígono formado como el casco convexo de los extremos de estos arcos es un Polígono Reinhardt. Necesariamente, los vértices del polígono de Reuleaux subyacente también son puntos finales de arcos y vértices del polígono de Reinhardt, pero el polígono de Reinhardt también puede tener vértices adicionales, dentro de los lados del polígono de Reuleaux. [3]
Si es una potencia de dos , entonces no es posible formar un polígono de Reinhardt conlados. Sies un número impar , entonces el polígono regular conlados es un polígono de Reinhardt. Cualquier otro número natural debe tener un divisor impar y un polígono de Reinhardt con Los lados pueden formarse subdividiendo cada arco de una polígono Reuleaux de lados en arcos más pequeños. Por lo tanto, los números posibles de lados de los polígonos de Reinhardt son números corteses , números que no son potencias de dos. Cuándoes un número primo impar , o dos veces un número primo, solo hay una forma depolígono Reinhardt de lados, pero todos los demás valores de tienen polígonos de Reinhardt con múltiples formas. [1]
Dimensiones y optimalidad
Los pares de diámetros de un polígono de Reinhardt forman muchos triángulos isósceles con los lados del triángulo, con ángulo de vértice, a partir del cual se pueden calcular las dimensiones del polígono. Si la longitud del lado de un polígono de Reinhardt es 1, entonces su perímetro es solo. El diámetro del polígono (la distancia más larga entre dos de sus puntos) es igual a la longitud del lado de estos triángulos isósceles,. Las curvas de ancho constante del polígono (la distancia más corta entre dos líneas de apoyo paralelas ) son iguales a la altura de este triángulo,. Estos polígonos son óptimos de tres formas:
- Tienen el perímetro más grande posible entre todos polígonos de lados con su diámetro, y el diámetro más pequeño posible entre todos -polígonos de caras con su perímetro. [1]
- Tienen el mayor ancho posible entre todos polígonos de lados con su diámetro, y el diámetro más pequeño posible entre todos -polígonos de lados con su ancho. [1]
- Tienen el mayor ancho posible entre todos polígonos de lados con su perímetro, y el perímetro más pequeño posible entre todos -polígonos de lados con su ancho. [1]
La relación entre perímetro y diámetro para estos polígonos fue probada por Reinhardt, [4] y redescubierta de forma independiente varias veces. [5] [6] La relación entre diámetro y ancho fue probada por Bezdek y Fodor en 2000; su trabajo también investiga los polígonos óptimos para este problema cuando el número de lados es una potencia de dos (para los cuales los polígonos de Reinhardt no existen). [7]
Simetría y enumeración
La polígonos de Reinhardt de lados formados a partir de Los polígonos de Reuleaux regulares de lados son simétricos: se pueden rotar en un ángulo de para obtener el mismo polígono. Los polígonos de Reinhardt que tienen este tipo de simetría rotacional se denominan periódicos y los polígonos de Reinhardt sin simetría rotacional se denominan esporádicos . Sies un semiprimo , o el producto de una potencia de dos con una potencia prima impar , entonces todosLos polígonos de Reinhardt de lados son periódicos. En los casos restantes, cuandotiene dos factores primos impares distintos y no es el producto de estos dos factores, también existen polígonos de Reinhardt esporádicos. [2]
Para cada , solo hay un número finito de -polígonos Reinhardt de caras. [3] Si es el factor primo más pequeño de , luego el número de distintos polígonos de Reinhardt periódicos de lados es
Los números de estos polígonos para valores pequeños de (contando dos polígonos como iguales cuando se pueden rotar o voltear para formarse entre sí) son: [1]
: | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | dieciséis | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |
#: | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 2 | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | 5 | 0 | 1 | 5 | 1 | 2 | 10 | 1 | 1 | 12 |
Ver también
- Polígono pequeño más grande , los polígonos maximizan el área por su diámetro
Referencias
- ^ a b c d e f Mossinghoff, Michael J. (2011), "Enumeración de polígonos isodiamétricos e isoperimétricos", Journal of Combinatorial Theory , Serie A, 118 (6): 1801-1815, doi : 10.1016 / j.jcta.2011.03 0.004 , MR 2793611
- ^ a b c Liebre, Kevin G .; Mossinghoff, Michael J. (2019), "La mayoría de los polígonos de Reinhardt son esporádicos", Geometriae Dedicata , 198 : 1–18, arXiv : 1405.5233 , doi : 10.1007 / s10711-018-0326-5 , MR 3933447
- ^ a b Datta, Basudeb (1997), "Un problema isoperimétrico discreto", Geometriae Dedicata , 64 (1): 55–68, doi : 10.1023 / A: 1004997002327 , MR 1432534
- ^ Reinhardt, Karl (1922), "Extremale Polygone gegebenen Durchmessers" , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 31 : 251-270
- ^ Vincze, Stephen (1950), "Sobre un problema de extremos geométricos", Acta Universitatis Szegediensis , 12 : 136-142, MR 0038087
- ^ Larman, DG; Tamvakis, NK (1984), "La descomposición de la-esfera y los límites de los dominios planos convexos ", Convexidad y teoría de grafos (Jerusalén, 1981) , North-Holland Math. Stud., 87 , Amsterdam: North-Holland, págs. 209-214, doi : 10.1016 / S0304-0208 (08) 72828-7 , MR 0791034
- ^ Bezdek, A .; Fodor, F. (2000), "Sobre polígonos convexos de ancho máximo", Archiv der Mathematik , 74 (1): 75–80, doi : 10.1007 / PL00000413 , MR 1728365