En matemáticas recreativas , un polyhex es una poliforma con un hexágono regular (o 'hex' para abreviar) como forma base, construida uniendo 1 o más hexágonos. Las formas específicas se nombran por su número de hexágonos: monohex , dihex , trihex , tetrahex , etc. Fueron nombradas por David Klarner, quien las investigó.
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/2/23/Tetrahex-mixed-tiling.svg/220px-Tetrahex-mixed-tiling.svg.png)
Cada azulejo polyhex individual y polihex de teselación se pueden dibujar sobre un azulejo hexagonal regular .
Reglas de construcción
Las reglas para unir hexágonos pueden variar. Sin embargo, generalmente se aplican las siguientes reglas:
- Dos hexágonos pueden unirse solo a lo largo de un borde común y deben compartir la totalidad de ese borde.
- No se pueden superponer dos hexágonos.
- Debe estar conectado un polyhex. Las configuraciones de polígonos básicos desconectados no califican como polyhexes.
- La imagen especular de un polihex asimétrico no se considera un polihex distinto (los polihex son "de doble cara").
Propiedades de teselación
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/2/2a/Pentahex-tiling-cross.svg/220px-Pentahex-tiling-cross.svg.png)
Todos los polyhexes con menos de cinco hexágonos pueden formar al menos un mosaico plano regular.
Además, los mosaicos planos de los dihex y polihexes rectos son invariantes bajo una rotación o reflexión de 180 grados paralelos o perpendiculares al eje largo del dihex (simetría de rotación de orden 2 y de reflexión de orden 4), y los mosaicos hexagonales y algunos otros polihexes ( como el hexahex con un agujero, abajo) son invariantes bajo una rotación de 60, 120 o 180 grados (orden 6 de rotación y simetría de reflexión).
Además, el hexágono es un hexágono , por lo que todos los polihexes también son poliamantes distintos . Además, como un triángulo equilátero es un hexágono y tres triángulos equiláteros más pequeños, es posible superponer un poliamante grande en cualquier polihex, dando dos poliamantes correspondientes a cada polihex. Esto se utiliza como la base de una división infinita de un hexágono en hexágonos cada vez más pequeños (un mosaico irreparable) o en hexágonos y triángulos.
Enumeración
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/b/b0/Dihexes-fixed.svg/220px-Dihexes-fixed.svg.png)
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/6/65/Tetrahex-pistols.svg/220px-Tetrahex-pistols.svg.png)
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/3/37/Cyclic-hexahex.svg/120px-Cyclic-hexahex.svg.png)
Al igual que con los poliominós , los polihexes se pueden enumerar como polihexes libres (donde las rotaciones y reflexiones cuentan como la misma forma), polihexes fijos (donde las diferentes orientaciones cuentan como distintas) y polihexes unilaterales (donde las imágenes especulares cuentan como distintas pero las rotaciones cuentan como idénticas ). También se pueden distinguir en función de si pueden contener huecos. El número de n- hexes libres para n = 1, 2, 3,… es 1, 1, 3, 7, 22, 82, 333, 1448,… (secuencia A000228 en la OEIS ); el número de polyhexes libres con agujeros viene dado por OEIS : A038144 ; el número de polyhexes libres sin agujeros viene dado por OEIS : A018190 ; el número de polihexes fijos viene dado por OEIS : A001207 ; el número de polyhexes de una cara viene dado por OEIS : A006535 . [1] [2]
norte | Libre | Gratis con agujeros | Gratis sin agujeros | Unilateral | Reparado |
---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
2 | 1 | 0 | 1 | 1 | 3 |
3 | 3 | 0 | 3 | 3 | 11 |
4 | 7 | 0 | 7 | 10 | 44 |
5 | 22 | 0 | 22 | 33 | 186 |
6 | 82 | 1 | 81 | 147 | 814 |
7 | 333 | 2 | 331 | 620 | 3652 |
8 | 1448 | 13 | 1435 | 2821 | 16689 |
9 | 6572 | 67 | 6505 | 12942 | 77359 |
10 | 30490 | 404 | 30086 | 60639 | 362671 |
Simetría
De los polyhexes hasta los hexahexes, 2 tienen simetría de rotación y reflexión de 6 veces (por lo tanto, también simetría de 3 y 2 veces), el monohex y el hexahex con un agujero, otros 3 tienen una rotación de 3 veces (el trihex compacto, la hélice tetrahex y el hexahex que parecen un triángulo equilátero) y simetría de reflexión de 3 veces, otros 9 tienen rotación y reflexión de 2 veces, 8 solo tienen una rotación de 2 veces, 16 solo tienen una reflexión de 2 veces y los otros 78 (la mayoría de los tetrahexes, pentahexes o hexahexes) son asimétricos. Los mosaicos de la mayoría de los polihexos simétricos de reflexión también son invariantes bajo reflejos de deslizamiento del mismo orden por la longitud del polihex.
Monohexicos
Hay un monohex. Coloca el plano como un mosaico hexagonal regular .
Dihexes
Hay un dihex gratis:
Trihexes
Hay 3 trihexes libres y de dos caras:
Tetrahexes
Hay 7 tetrahexes libres y de dos caras. Se les dan nombres, en el orden que se muestran: barra, gusano, pistola, hélice, arco, abeja y ola. [3]
Pentahexes
Hay 22 pentahexes libres y de dos caras:
Hexahexes
Hay 82 hexahexes libres y de dos caras:
Ver también
- Mosaico
- Teoría de la filtración
- Polyiamond - mosaicos con triángulos equiláteros
- Polyomino - mosaicos con cuadrados
- Hidrocarburo aromático policíclico - hidrocarburos cuya estructura se basa en polihexes
- Rep-tile : mosaicos de formas que están hechas de copias más pequeñas de sí mismas.
Referencias
- ^ Wolfram Mathworld: Polyhex
- ^ Glenn C. Rhoads, mosaicos planos por polyominoes, polyhexes y polyiamonds, Journal of Computational and Applied Mathematics 174 (2005), No. 2, págs. 329–353
- ^ Gardner, M. Show de magia matemática: más rompecabezas, juegos, desviaciones, ilusiones y otros juegos de la mente matemática de Scientific American. Nueva York: Vintage, pág. 147, 1978. PDF