Un polyiamond (también poliamond o simplemente iamond ) es una poliforma cuya forma base es un triángulo equilátero . La palabra polyiamond es una formación posterior de diamante , porque esta palabra se usa a menudo para describir la forma de un par de triángulos equiláteros colocados de base a base, y la inicial 'di-' parece un prefijo griego que significa 'dos-' ( aunque el diamante en realidad deriva del griego ἀδάμας - también la base de la palabra "inflexible"). El nombre fue sugerido por el escritor de matemáticas recreativas Thomas H. O'Beirne en New Scientist 1961 número 1, página 164.
Contando
La pregunta combinatoria básica es: ¿Cuántos poliamantes diferentes existen con un número determinado de celdas? Al igual que los poliominós , los poliamantes pueden ser libres o unilaterales. Los poliamantes libres son invariantes tanto en la reflexión como en la traslación y la rotación. Los poliamantes de una cara distinguen los reflejos.
El número de n- diamantes libres para n = 1, 2, 3, ... es:
El número de poliamantes libres con agujeros viene dado por OEIS : A070764 ; el número de poliamantes libres sin agujeros viene dado por OEIS : A070765 ; el número de poliamantes fijos viene dado por OEIS : A001420 ; el número de poliamantes de una cara viene dado por OEIS : A006534 .
Nombre | Numero de formularios | Formularios | ||||||||||||
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Moniamond | 1 | |||||||||||||
Diamante | 1 | |||||||||||||
Triamond | 1 | |||||||||||||
Tetriamond | 3 | |||||||||||||
Pentiamond | 4 | |||||||||||||
Hexiamond | 12 |
Algunos autores también llaman al diamante ( rombo con un ángulo de 60 °) calisson en honor al dulce francés de forma similar. [1] [2]
Simetrías
Las posibles simetrías son simetría especular, simetría rotacional de 2, 3 y 6 pliegues, y cada una se combina con simetría especular.
La simetría rotacional doble con y sin simetría especular requiere al menos 2 y 4 triángulos, respectivamente. La simetría rotacional de 6 pliegues con y sin simetría especular requiere al menos 6 y 18 triángulos, respectivamente. La asimetría requiere al menos 5 triángulos. La simetría rotacional triple sin simetría especular requiere al menos 7 triángulos.
En el caso de solo simetría especular podemos distinguir tener el eje de simetría alineado con la cuadrícula o rotado 30 ° (requiere al menos 4 y 3 triángulos, respectivamente); lo mismo ocurre con la simetría rotacional triple, combinada con la simetría especular (requiere al menos 18 y 1 triángulos, respectivamente).
Generalizaciones
Al igual que los poliominós , pero a diferencia de los polihexes , los poliamantes tienen contrapartes tridimensionales , formadas por la agregación de tetraedros . Sin embargo, los politetraedros no colocan 3 espacios de la forma en que los poliamantes pueden colocar 2 espacios.
Teselaciones
Cada polyiamond de orden 8 o menos encaja en el plano, excepto el V-heptiamond. [3]
Correspondencia con polyhexes
Cada polyiamond corresponde a un polyhex , como se ilustra a la derecha. Por el contrario, cada polyhex es también un polyiamond, porque cada celda hexagonal de un polyhex es la unión de seis triángulos equiláteros adyacentes. (Tenga en cuenta, sin embargo, que ninguna correspondencia es uno a uno).
En la cultura popular
El conjunto de 22 poliamantes, desde el orden 1 hasta el orden 6, constituye la forma de las piezas de juego en el juego de mesa Blokus Trigon , donde los jugadores intentan enlosar un avión con tantos poliamantes como sea posible, sujeto a las reglas del juego.
Ver también
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Polyiamond" . MathWorld .
- Polyiamonds en The Poly Pages . Azulejos de polyiamond.
- VERHEXT : un juego de rompecabezas de la década de 1960 de Heinz Haber basado en hexiamantes ( archivado el 3 de marzo de 2016 en Wayback Machine )
Referencias
- ^ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (31 de diciembre de 2015). Una odisea espacial matemática: geometría sólida en el siglo XXI . ISBN 9781614442165.
- ^ David, Guy; Tomei, Carlos (1989). "El problema de los Calissons" . The American Mathematical Monthly . 96 (5): 429–431. doi : 10.1080 / 00029890.1989.11972212 . JSTOR 2325150 .
- ^ "Todos los poliamantes de orden ocho o menos, con la excepción de uno de los heptiamantes, teselarán el plano. La excepción es el heptiamante en forma de V. Gardner (sexto libro p.248) planteó el problema de identificar este heptiamante y reprodujo una prueba de imposibilidad de Gregory. Sin embargo, en combinación con otros heptiamantes u otros poliamantes, se pueden lograr teselaciones utilizando este heptiamante en forma de V ".