Cero de una función

En matemáticas , un cero (también llamado a veces raíz ) de una función real , compleja o generalmente con valores vectoriales , es un miembro del dominio de tal que desaparece en ; es decir, la función alcanza el valor de 0 en , o de manera equivalente, es la solución de la ecuación . ^[1] Un "cero" de una función es, por tanto, un valor de entrada que produce una salida de 0. ^[2] ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle f (x)}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle f (x) = 0}$

La raíz de un polinomio es un cero de la función polinomial correspondiente . ^[1] El teorema fundamental del álgebra muestra que cualquier polinomio distinto de cero tiene un número de raíces como máximo igual a su grado , y que el número de raíces y el grado son iguales cuando se consideran las raíces complejas (o más generalmente, el raíces en una extensión algebraicamente cerrada ) contados con sus multiplicidades . ^[3] Por ejemplo, el polinomio de grado dos, definido por ${\ Displaystyle f}$

Si la función asigna números reales a números reales, entonces sus ceros son las coordenadas de los puntos donde su gráfica se encuentra con el eje x . Un nombre alternativo para tal punto en este contexto es una intersección. ${\ Displaystyle x}$ ${\ displaystyle (x, 0)}$ ${\ Displaystyle x}$

Cada ecuación en lo desconocido puede reescribirse como ${\ Displaystyle x}$

reagrupando todos los términos en el lado izquierdo. De ello se deduce que las soluciones de tal ecuación son exactamente los ceros de la función . En otras palabras, un "cero de una función" es precisamente una "solución de la ecuación obtenida al igualar la función a 0", y el estudio de ceros de funciones es exactamente lo mismo que el estudio de soluciones de ecuaciones. ${\ Displaystyle f}$

Todo polinomio real de grado impar tiene un número impar de raíces reales (contando multiplicidades ); Asimismo, un polinomio real de grado par debe tener un número par de raíces reales. En consecuencia, los polinomios reales impares deben tener al menos una raíz real (porque el número entero impar más pequeño es 1), mientras que los polinomios pares pueden no tener ninguna. Este principio se puede probar con referencia al teorema del valor intermedio : dado que las funciones polinomiales son continuas , el valor de la función debe cruzar cero, en el proceso de cambio de negativo a positivo o viceversa (lo que siempre ocurre para funciones impares).