POVM

En el análisis funcional y la teoría de la medición cuántica , una medida valorada por un operador positivo ( POVM ) es una medida cuyos valores son operadores semidefinidos positivos en un espacio de Hilbert . Los POVM son una generalización de las medidas con valor de proyección (PVM) y, en consecuencia, las medidas cuánticas descritas por los POVM son una generalización de las medidas cuánticas descritas por los PVM (llamadas medidas proyectivas).

En una analogía aproximada, un POVM es para un PVM lo que un estado mixto es un estado puro . Se necesitan estados mixtos para especificar el estado de un subsistema de un sistema más grande (ver purificación del estado cuántico ); de manera análoga, los POVM son necesarios para describir el efecto en un subsistema de una medición proyectiva realizada en un sistema más grande.

Los POVM son el tipo de medición más general en mecánica cuántica y también se pueden utilizar en la teoría cuántica de campos . ^[1] Se utilizan ampliamente en el campo de la información cuántica .

Definición

En el caso más simple, de un POVM con un número finito de elementos que actúan sobre un espacio de Hilbert de dimensión finita , un POVM es un conjunto de matrices positivas semidefinidas en un espacio de Hilbert que suman la matriz identidad , ^{[2] : 90}${\displaystyle \{F_{i}\}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=\operatorname {I} .}$

En mecánica cuántica, el elemento POVM está asociado con el resultado de la medición , de manera que la probabilidad de obtenerlo al realizar una medición en el estado cuántico viene dada por${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (\rho F_{i})}$,

donde está el operador de rastreo . Cuando el estado cuántico que se mide es un estado puro, esta fórmula se reduce a ${\displaystyle \operatorname {tr} }$${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (|\psi \rangle \langle \psi |F_{i})=\langle \psi |F_{i}|\psi \rangle }$.

El caso más simple de un POVM generaliza el caso más simple de un PVM, que es un conjunto de proyectores ortogonales que suman la matriz de identidad :${\displaystyle \{\Pi _{i}\}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\Pi _{i}=\operatorname {I} ,\quad \Pi _{i}\Pi _{j}=\delta _{ij}\Pi _{i}.}$

Las fórmulas de probabilidad para un PVM son las mismas que para el POVM. Una diferencia importante es que los elementos de un POVM no son necesariamente ortogonales. Como consecuencia, el número de elementos del POVM puede ser mayor que la dimensión del espacio de Hilbert en el que actúan. Por otro lado, el número de elementos del PVM es como máximo la dimensión del espacio de Hilbert.${\displaystyle n}$${\displaystyle N}$

En general, los POVM también se pueden definir en situaciones donde el número de elementos y la dimensión del espacio de Hilbert no es finito:

Definición . Dejar que sea el espacio medible ; es decir, una σ-álgebra de subconjuntos de . Un POVM es una función definida en cuyos valores están los operadores autoadjuntos no negativos delimitados en un espacio de Hilbert de manera que y para cada ,${\displaystyle (X,M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle F(X)=\operatorname {I} _{\mathcal {H}}}$${\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle E\mapsto \langle F(E)\psi \mid \psi \rangle \ ({\text{for every }}E\in M)}$

es una medida aditiva contable no negativa en el σ-álgebra .${\displaystyle M}$

Su propiedad clave es que determina una medida de probabilidad en el espacio de resultados, por lo que se puede interpretar como la probabilidad (densidad) del resultado al realizar una medición en el estado cuántico .${\displaystyle \langle F(E)\psi \mid \psi \rangle }$${\displaystyle E}$${\displaystyle |\psi \rangle }$

Esta definición debe contrastarse con la de la medida con valor de proyección , que es similar, excepto que para las medidas con valor de proyección, los valores de deben ser operadores de proyección.${\displaystyle F}$

Teorema de dilatación de Naimark

Artículo principal: teorema de dilatación de Naimark

Nota: una ortografía alternativa de esto es "Teorema de Neumark"

El teorema de la dilatación de Naimark ^[3] muestra cómo se pueden obtener los POVM a partir de los PVM que actúan en un espacio más grande. Este resultado es de importancia crítica en la mecánica cuántica, ya que permite realizar mediciones de POVM físicamente. ^{[4] : 285}

En el caso más simple, de un POVM con un número finito de elementos que actúan sobre un espacio de Hilbert de dimensión finita, el teorema de Naimark dice que si hay un POVM que actúa sobre un espacio de dimensión de Hilbert , entonces existe un PVM que actúa sobre un espacio de Hilbert de dimensión y una isometría tal que para todos${\displaystyle \{F_{i}\}_{i=1}^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}}$${\displaystyle d_{A}}$${\displaystyle \{\Pi _{i}\}_{i=1}^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A'}}$${\displaystyle d_{A'}}$ ${\displaystyle V:{\mathcal {H}}_{A}\to {\mathcal {H}}_{A'}}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle F_{i}=V^{\dagger }\Pi _{i}V}$

Una manera de construir tal un PVM y isometría ^{[5] [6]} es dejar que , , y${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A'}={\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}}$${\displaystyle \Pi _{i}=\operatorname {I} _{A}\otimes |i\rangle \langle i|_{B}}$

${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {F_{i}}}_{A}\otimes {|i\rangle }_{B}}$

Tenga en cuenta que en esta construcción la dimensión del espacio de Hilbert más grande viene dada por . Este no es el mínimo posible, como da una construcción más complicada (asumiendo eso ). ^{[4] : 285}${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A'}}$${\displaystyle d_{A'}=nd_{A}}$${\displaystyle d_{A'}=n}$${\displaystyle n\geq d_{A}}$

Esta construcción se puede convertir en una receta para una realización física del POVM extendiendo la isometría a una unitaria , es decir, encontrando tal que${\displaystyle V}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle V=U(\operatorname {I} _{A}\otimes |0\rangle _{B}).}$

Esto siempre se puede hacer. La receta para realizar la medición POVM descrita por en un estado cuántico es entonces preparar una ancilla en el estado , evolucionarla junto con la unitaria y realizar la medición proyectiva en la ancilla descrita por el PVM . Entonces es fácil ver que la probabilidad de obtener un resultado con este método es la misma que la probabilidad de obtenerlo con el POVM original. Eso es,${\displaystyle \{F_{i}\}_{i=1}^{n}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle |0\rangle _{B}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle U}$${\displaystyle \{|i\rangle \langle i|_{B}\}_{i=1}^{n}}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (\rho F_{i})=\operatorname {tr} \left(\operatorname {I} _{A}\otimes |i\rangle \langle i|_{B}\left[U\rho _{A}\otimes |0\rangle \langle 0|_{B}U^{\dagger }\right]\right).}$

Estado posterior a la medición

El estado posterior a la medición no lo determina el propio POVM, sino el PVM que lo realiza físicamente. Dado que hay infinitos PVM diferentes que realizan el mismo POVM, los operadores por sí solos no determinan cuál será el estado posterior a la medición. Para ver eso, tenga en cuenta que para cualquier unitario los operadores${\displaystyle \{F_{i}\}_{i=1}^{n}}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle M_{i}=W{\sqrt {F_{i}}}}$

también tendrá la propiedad de que , de modo que utilizando la isometría${\displaystyle M_{i}^{\dagger }M_{i}=F_{i}}$

${\displaystyle V_{W}=\sum _{i=1}^{n}{M_{i}}_{A}\otimes {|i\rangle }_{B}}$

En la construcción anterior también se implementará el mismo POVM. En el caso de que el estado que se está midiendo esté en un estado puro , el unitario resultante lo toma junto con el ancilla para establecer${\displaystyle |\psi \rangle _{A}}$${\displaystyle U_{W}}$

${\displaystyle U_{W}(|\psi \rangle _{A}|0\rangle _{B})=\sum _{i=1}^{n}M_{i}|\psi \rangle _{A}|i\rangle _{B},}$

y la medida proyectiva en la ancilla colapsará al estado ^{[2] : 84}${\displaystyle |\psi \rangle _{A}}$

${\displaystyle |\psi '\rangle _{A}={\frac {M_{i_{0}}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |M_{i_{0}}^{\dagger }M_{i_{0}}|\psi \rangle }}}}$

en la obtención de resultado . Cuando el estado que se mide se describe mediante una matriz de densidad , el estado posterior a la medición correspondiente viene dado por${\displaystyle i_{0}}$${\displaystyle \rho _{A}}$

${\displaystyle \rho '_{A}={M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger } \over {\rm {tr}}(M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger })}}$.

Vemos, por tanto, que el estado posterior a la medición depende explícitamente del unitario .${\displaystyle W}$

Otra diferencia con las medidas proyectivas es que una medida POVM en general no es repetible. Si en la primera medición se obtuvo el resultado , la probabilidad de obtener un resultado diferente en una segunda medición es${\displaystyle i_{0}}$${\displaystyle i_{1}}$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i_{1}|i_{0})={\operatorname {tr} (M_{i_{1}}M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger }M_{i_{1}}^{\dagger }) \over {\rm {tr}}(M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger })}}$,

que puede ser distinto de cero si y no son ortogonales. En una medición proyectiva, estos operadores son siempre ortogonales y, por lo tanto, la medición siempre es repetible.${\displaystyle M_{i_{0}}}$${\displaystyle M_{i_{1}}}$

Un ejemplo: discriminación inequívoca del estado cuántico

Representación de la esfera de Bloch de estados (en azul) y POVM óptimo (en rojo) para una discriminación inequívoca de estados cuánticos en los estados y . Tenga en cuenta que en la esfera de Bloch los estados ortogonales son antiparalelos.${\displaystyle |\psi \rangle =|0\rangle }$${\displaystyle |\varphi \rangle =(|0\rangle +|1\rangle )/{\sqrt {2}}}$

Suponga que tiene un sistema cuántico de dimensión 2 que sabe que está en el estado o en el estado , y desea determinar cuál es. Si y son ortogonales, esta tarea es fácil: el conjunto formará un PVM, y una medición proyectiva en esta base determinará el estado con certeza. Sin embargo, si y no son ortogonales, esta tarea es imposible , en el sentido de que no hay ninguna medida, ni PVM ni POVM, que los distinga con certeza. ^{[2] : 87} La imposibilidad de discriminar perfectamente entre estados no ortogonales es la base de los protocolos de información cuántica como la criptografía cuántica.${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\varphi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\varphi \rangle }$${\displaystyle \{|\psi \rangle \langle \psi |,|\varphi \rangle \langle \varphi |\}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\varphi \rangle }$, lanzamiento de monedas cuánticas y dinero cuántico .

La tarea de la discriminación inequívoca del estado cuántico (UQSD) es la mejor alternativa: nunca cometer un error sobre si el estado es o , a costa de tener a veces un resultado no concluyente. Esta tarea no puede ser realizada por una medida descriptiva, porque necesitamos tener tres resultados, , , y las mediciones no concluyentes, y proyectivas en la dimensión 2 pueden tener como máximo 2 resultados.${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\varphi \rangle }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \varphi }$

El POVM que da la mayor probabilidad de un resultado concluyente en esta tarea viene dado por ^{[7] [8]}

${\displaystyle F_{\psi }={\frac {1}{1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\varphi ^{\perp }\rangle \langle \varphi ^{\perp }|}$

${\displaystyle F_{\varphi }={\frac {1}{1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\psi ^{\perp }\rangle \langle \psi ^{\perp }|}$

${\displaystyle F_{?}=\operatorname {I} -F_{\psi }-F_{\varphi },}$

donde es el estado cuántico ortogonal a y es el uno ortogonal a .${\displaystyle |\varphi ^{\perp }\rangle }$${\displaystyle |\varphi \rangle }$${\displaystyle |\psi ^{\perp }\rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$

Tenga en cuenta que , cuando se obtiene el resultado , estamos seguros de que el estado cuántico es , y cuando se obtiene el resultado , estamos seguros de que el estado cuántico es .${\displaystyle \operatorname {tr} (|\varphi \rangle \langle \varphi |F_{\psi })=\operatorname {tr} (|\psi \rangle \langle \psi |F_{\varphi })=0}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle |\varphi \rangle }$

Suponiendo que el sistema cuántico puede estar en estado o con la misma probabilidad, la probabilidad de tener un resultado concluyente viene dada por${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\varphi \rangle }$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (|\psi \rangle \langle \psi |F_{\psi })+{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (|\varphi \rangle \langle \varphi |F_{\varphi })=1-|\langle \varphi |\psi \rangle |.}$

Este resultado se conoce como el límite de Ivanovic-Dieks-Peres, que lleva el nombre de los autores que fueron pioneros en la investigación de UQSD. ^{[9] [10] [11]}

Usando la construcción anterior podemos obtener una medida proyectiva que realiza físicamente este POVM. Las raíces cuadradas de los elementos POVM están dadas por

${\displaystyle {\sqrt {F_{\psi }}}={\frac {1}{\sqrt {1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}}|\varphi ^{\perp }\rangle \langle \varphi ^{\perp }|}$

${\displaystyle {\sqrt {F_{\varphi }}}={\frac {1}{\sqrt {1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}}|\psi ^{\perp }\rangle \langle \psi ^{\perp }|}$

${\displaystyle {\sqrt {F_{?}}}={\sqrt {\frac {2|\langle \varphi |\psi \rangle |}{1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}}|\gamma \rangle \langle \gamma |,}$

donde

${\displaystyle |\gamma \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2(1+|\langle \varphi |\psi \rangle |)}}}(|\psi \rangle +e^{i\arg(\langle \varphi |\psi \rangle )}|\varphi \rangle ).}$

Etiquetado de los tres estados posibles de la ancilla como , , , y la inicialización en el estado , vemos que el unitario resultante adopta el estado junto con la ancilla a${\displaystyle |{\text{result ?}}\rangle }$${\displaystyle |{\text{result ψ}}\rangle }$${\displaystyle |{\text{result φ}}\rangle }$${\displaystyle |{\text{result ?}}\rangle }$${\displaystyle U_{\text{UQSD}}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle U_{\text{UQSD}}(|\psi \rangle |{\text{result ?}}\rangle )={\sqrt {1-|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\varphi ^{\perp }\rangle |{\text{result ψ}}\rangle +{\sqrt {|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\gamma \rangle |{\text{result ?}}\rangle ,}$

y de manera similar toma el estado junto con la ancilla para${\displaystyle |\varphi \rangle }$

${\displaystyle U_{\text{UQSD}}(|\varphi \rangle |{\text{result ?}}\rangle )={\sqrt {1-|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\psi ^{\perp }\rangle |{\text{result φ}}\rangle +e^{-i\arg(\langle \varphi |\psi \rangle )}{\sqrt {|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\gamma \rangle |{\text{result ?}}\rangle .}$

Una medición en el ancilla luego da los resultados deseados con las mismas probabilidades que el POVM.

Este POVM se ha utilizado para distinguir experimentalmente estados de polarización no ortogonal de un fotón, utilizando el grado de libertad de la trayectoria como ancilla. La realización del POVM con una medición proyectiva fue ligeramente diferente a la que se describe aquí. ^{[12] [13]}

Ver también

• SIC-POVM
• Medición cuántica
• Formulación matemática de la mecánica cuántica
• Matriz de densidad
• Operación cuántica
• Medida con valor de proyección
• Medida vectorial

Referencias

1. Peres, Asher ; Terno, Daniel R. (2004). "Teoría de la relatividad y la información cuántica". Reseñas de Física Moderna . 76 (1): 93-123. arXiv : quant-ph / 0212023 . Código Bibliográfico : 2004RvMP ... 76 ... 93P . doi : 10.1103 / RevModPhys.76.93 .
2. M. Nielsen e I. Chuang, Computación cuántica e información cuántica, Cambridge University Press, (2000)
3. IM Gelfand y MA Neumark, Sobre la incrustación de anillos normalizados en el anillo de operadores en el espacio de Hilbert, Rec. Matemáticas. [Estera. Sbornik] NS 12 (54) (1943), 197–213.
4. A. Peres. Teoría cuántica: conceptos y métodos. Editores académicos Kluwer, 1993.
5. J. Preskill, Lecture Notes for Physics: Quantum Information and Computation, Capítulo 3, http://www.theory.caltech.edu/people/preskill/ph229/#lecture
6. J. Watrous. La teoría de la información cuántica. Cambridge University Press, 2018. Capítulo 2.3, https://cs.uwaterloo.ca/~watrous/TQI/
7. JA Bergou; U. Herzog; M. Hillery (2004). "Discriminación de estados cuánticos". En M. Paris; J. Řeháček (eds.). Estimación de estado cuántico . Saltador. págs.  417 –465. doi : 10.1007 / 978-3-540-44481-7_11 . ISBN 978-3-540-44481-7.
8. Chefles, Anthony (2000). "Discriminación del estado cuántico". Física contemporánea . Informa UK Limited. 41 (6): 401–424. arXiv : quant-ph / 0010114v1 . Código Bibliográfico : 2000ConPh..41..401C . doi : 10.1080 / 00107510010002599 . ISSN 0010-7514 . 
9. Ivanovic, ID (1987). "Cómo diferenciar entre estados no ortogonales". Physics Letters A . Elsevier BV. 123 (6): 257-259. Código bibliográfico : 1987PhLA..123..257I . doi : 10.1016 / 0375-9601 (87) 90222-2 . ISSN 0375-9601 . 
10. Dieks, D. (1988). "Superposición y distinguibilidad de estados cuánticos". Physics Letters A . Elsevier BV. 126 (5–6): 303–306. Código bibliográfico : 1988PhLA..126..303D . doi : 10.1016 / 0375-9601 (88) 90840-7 . ISSN 0375-9601 . 
11. Peres, Asher (1988). "Cómo diferenciar entre estados no ortogonales". Physics Letters A . Elsevier BV. 128 (1–2): 19. Código bibliográfico : 1988PhLA..128 ... 19P . doi : 10.1016 / 0375-9601 (88) 91034-1 . ISSN 0375-9601 . 
12. B. Huttner; A. Muller; JD Gautier; H. Zbinden; N. Gisin (1996). "Medición cuántica inequívoca de estados no ortogonales". Physical Review A . APS. 54 (5): 3783. Código Bibliográfico : 1996PhRvA..54.3783H . doi : 10.1103 / PhysRevA.54.3783 . PMID 9913923 . 
13. RBM Clarke; A. Chefles; SM Barnett; E. Riis (2001). "Demostración experimental de discriminación estatal óptima sin ambigüedades". Physical Review A . APS. 63 (4): 040305 (R). arXiv : quant-ph / 0007063 . Código Bibliográfico : 2001PhRvA..63d0305C . doi : 10.1103 / PhysRevA.63.040305 .

• POVM
  • K. Kraus, Estados, efectos y operaciones, Lecture Notes in Physics 190, Springer (1983).
  • EBDavies, Teoría cuántica de sistemas abiertos, Academic Press (1976).
  • AS Holevo , Aspectos probabilísticos y estadísticos de la teoría cuántica, North-Holland Publ. Cy., Amsterdam (1982).

enlaces externos

• Demostración interactiva sobre la discriminación del estado cuántico