La pregeometría , y en la pregeometría combinatoria completa , son esencialmente sinónimos de " matroide ". Fueron presentados por Gian-Carlo Rota con la intención de proporcionar un término alternativo menos "inefablemente cacofónico". Además, el término geometría combinatoria , a veces abreviado como geometría , tenía la intención de reemplazar "matroide simple". Estos términos se utilizan ahora con poca frecuencia en el estudio de las matroides.
En la rama de la lógica matemática llamada teoría del modelo , las matroides finitarias infinitas, llamadas allí "pregeometrías" (y "geometrías" si son matroides simples), se utilizan en la discusión de los fenómenos de independencia.
Resulta que muchos conceptos fundamentales del álgebra lineal (cierre, independencia, subespacio, base, dimensión) se conservan en el marco de las geometrías abstractas.
El estudio de cómo las pregeometrías, las geometrías y los operadores de cierre abstracto influyen en la estructura de los modelos de primer orden se denomina teoría de la estabilidad geométrica .
Definiciones
Pregeometrías y geometrías
Una pregeometría combinatoria (también conocida como matroide finitario ), es una estructura de segundo orden:, dónde (llamado mapa de cierre ) satisface los siguientes axiomas. Para todos y :
- es un homomorfismo en la categoría de órdenes parciales ( monótono creciente ), y domina (Es decir implica .) y es idempotente .
- Carácter finito : para cada hay algo finito con .
- Principio de intercambio : si, luego (y por tanto por monotonicidad e idempotencia de hecho ).
Una geometría es una pregeometría en la que el cierre de singletons son singletons y el cierre del conjunto vacío es el conjunto vacío.
Independencia, bases y dimensión
Conjuntos dados , es independiente sobre Si para cualquier .
Un conjunto es una base para encima si es independiente sobre y .
Dado que una pregeometría satisface la propiedad de intercambio de Steinitz, todas las bases son de la misma cardinalidad, de ahí la definición de la dimensión de encima como no tiene ambigüedad.
Los conjuntos son independientes sobre Si [ inconsistente ] siempre que es un subconjunto finito de . Tenga en cuenta que esta relación es simétrica.
En conjuntos mínimos sobre teorías estables, la relación de independencia coincide con la noción de independencia bifurcada.
Automorfismo de geometría
Un automorfismo de geometría de una geometría es una biyección tal que para cualquier .
Una pregeometría se dice que es homogéneo si para cualquier cerrado y dos elementos cualesquiera hay un automorfismo de que mapas a y arregla puntual.
La geometría y las localizaciones asociadas
Dada una pregeometría su geometría asociada (a veces referida en la literatura como la geometría canónica ) es la geometría dónde
- , y
- Para cualquier ,
Es fácil ver que la geometría asociada de una pregeometría homogénea es homogénea.
Dado la localización de es la geometría dónde .
Tipos de pregeometrías
Dejar ser una pregeometría, entonces se dice que es:
- trivial (o degenerado ) si.
- modular si hay dos conjuntos cerrados de dimensiones finitas satisfacer la ecuación (o equivalentemente que es independiente de encima ).
- localmente modular si tiene una localización en un singleton que es modular.
- (localmente) proyectivo si no es trivial y (localmente) modular.
- localmente finito si los cierres de conjuntos finitos son finitos.
La trivialidad, la modularidad y la modularidad local pasan a la geometría asociada y se conservan bajo la localización.
Si es una pregeometría homogénea localmente modular y luego la localización de en es modular.
La geometría es modular si y solo si siempre , , y luego .
Ejemplos de
El ejemplo trivial
Si es cualquier conjunto que podamos definir . Esta pregeometría es una geometría trivial, homogénea y localmente finita.
Espacios vectoriales y espacios proyectivos
Dejar ser un campo (un anillo de división en realidad es suficiente) y dejar ser un -espacio vectorial dimensional sobre . Luego es una pregeometría donde los cierres de conjuntos se definen como su tramo.
Esta pregeometría es homogénea y modular. Los espacios vectoriales se consideran el ejemplo prototípico de modularidad.
es localmente finito si y solo si es finito.
no es una geometría, ya que el cierre de cualquier vector no trivial es un subespacio de tamaño al menos .
La geometría asociada de un -espacio vectorial dimensional sobre es el -espacio proyectivo dimensional sobre. Es fácil ver que esta pregeometría es una geometría proyectiva.
Espacios afines
Dejar ser un -espacio afín dimensional sobre un campo. Dado un conjunto, defina su cierre como su casco afín (es decir, el subespacio afín más pequeño que lo contiene).
Esto forma un homogéneo -geometría dimensional.
Un espacio afín no es modular (por ejemplo, si y ser líneas paralelas, entonces la fórmula en la definición de modularidad falla). Sin embargo, es fácil comprobar que todas las localizaciones son modulares.
Campos algebraicamente cerrados
Dejar ser un campo algebraicamente cerrado cony definir el cierre de un conjunto como su cierre algebraico .
Mientras que los espacios vectoriales son modulares y los espacios afines son "casi" modulares (es decir, en todas partes localmente modulares), los campos algebraicamente cerrados son ejemplos de la otra extremidad, ni siquiera localmente modulares (es decir, ninguna de las localizaciones es modular).
Referencias
HH Crapo y G.-C. Rota (1970), Sobre los fundamentos de la teoría combinatoria: geometrías combinatorias . MIT Press, Cambridge, Mass.
Pillay, Anand (1996), Teoría de la estabilidad geométrica . Guías lógicas de Oxford. Prensa de la Universidad de Oxford.