Problema de curvatura escalar prescrito
En la geometría de Riemann , una rama de las matemáticas , el problema de curvatura escalar prescrito es el siguiente: dada una variedad cerrada y suave M y una función suave de valor real f en M , construya una métrica de Riemann en M cuya curvatura escalar sea igual a f . Debido principalmente al trabajo de J. Kazdan y F. Warner en la década de 1970, este problema se comprende bien.
La solución en dimensiones superiores
Si la dimensión de M es tres o mayor, entonces cualquier función suave ƒ que tome un valor negativo en algún lugar es la curvatura escalar de alguna métrica de Riemann. La suposición de que f sea negativa en algún lugar es necesaria en general, ya que no todas las variedades admiten métricas que tienen una curvatura escalar estrictamente positiva. (Por ejemplo, el toro tridimensional es una variedad de este tipo). Sin embargo, Kazdan y Warner demostraron que si M admite alguna métrica con curvatura escalar estrictamente positiva, entonces cualquier función suave f es la curvatura escalar de alguna métrica de Riemann.
Ver también
Referencias
- Aubin, Thierry. Algunos problemas no lineales en geometría riemanniana. Springer Monographs in Mathematics, 1998.
- Kazdan, J. y Warner F. Curvatura escalar y deformación conforme de la estructura de Riemann. Revista de geometría diferencial. 10 (1975). 113-134.
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