El problema de Yamabe se refiere a una conjetura en el campo matemático de la geometría diferencial , que se resolvió en los años ochenta. Es una declaración sobre la curvatura escalar de las variedades de Riemann :
Sea ( M , g ) una variedad Riemanniana lisa cerrada. Entonces existe una función positiva y suave f en M tal que la métrica de Riemann fg tiene una curvatura escalar constante.
Al calcular una fórmula de cómo la curvatura escalar de fg se relaciona con la de g , esta declaración se puede reformular de la siguiente forma:
Sea ( M , g ) una variedad Riemanniana lisa cerrada. Entonces existe una función positiva y suave φ en M , y un número c , tal que
Aquí n denota la dimensión de M , R g indica la curvatura escalar de g , y Δ g designa el operador de Laplace-Beltrami de g .
El matemático Hidehiko Yamabe , en el artículo Yamabe (1960) , dio los enunciados anteriores como teoremas y proporcionó una prueba; sin embargo, Trudinger (1968) descubrió un error en su demostración. El problema de comprender si las afirmaciones anteriores son verdaderas o falsas se conoció como el problema de Yamabe. El trabajo combinado de Yamabe, Trudinger, Thierry Aubin y Richard Schoen proporcionó una resolución afirmativa al problema en 1984.
Ahora se considera un problema clásico en el análisis geométrico , y la demostración requiere nuevos métodos en los campos de la geometría diferencial y las ecuaciones diferenciales parciales . Un punto decisivo en la resolución final del problema por parte de Schoen fue la aplicación del teorema de la energía positiva de la relatividad general , que es un teorema matemático puramente diferencial-geométrico probado por primera vez (en un contexto provisional) en 1979 por Schoen y Shing-Tung Yau .
Ha habido un trabajo más reciente debido a Simon Brendle , Marcus Khuri, Fernando Codá Marques y Schoen, que trata de la colección de todas las funciones positivas y suaves f tal que, para una variedad Riemanniana dada ( M , g ) , la métrica fg tiene curvatura escalar constante. Además, el problema de Yamabe, tal como se plantea en entornos similares, como para las variedades riemannianas no compactas completas, aún no se comprende completamente.
El problema de Yamabe en casos especiales
Aquí, nos referimos a una "solución del problema de Yamabe" en una variedad riemmanniana como una métrica de Riemann g en M para la cual hay una función suave positiva con
En un colector de Einstein cerrado
Dejar ser una variedad suave de Riemann. Considere una función suave positiva así que eso es un elemento arbitrario de la clase conforme suave de Un cálculo estándar muestra
Tomando el producto g -inner con resultados en
Si se supone que es Einstein, luego el lado izquierdo desaparece. Si se asume cerrado, entonces se puede hacer una integración por partes, recordando la identidad Bianchi para ver
Si R tiene una curvatura escalar constante, el lado derecho desaparece. La consiguiente desaparición del lado izquierdo prueba el siguiente hecho, debido a Obata (1971):
Toda solución al problema de Yamabe en una variedad de Einstein cerrada es Einstein.
Obata luego pasó a demostrar que, excepto en el caso de la esfera estándar con su métrica habitual de curvatura de sección constante, las únicas métricas de curvatura escalar constante en la clase conforme de una métrica de Einstein (en una variedad cerrada) son constantes múltiplos de la métrica dada. La prueba procede mostrando que el gradiente del factor conforme es en realidad un campo Killing conforme. Si el factor de conformidad no es constante, siguiendo las líneas de flujo de este campo de gradiente, comenzando en un mínimo del factor de conformidad, permite mostrar que el colector está relacionado de forma conforme con el cilindro., y por lo tanto tiene una curvatura de Weyl que se desvanece.
El caso no compacto
Una pregunta estrechamente relacionada es el llamado "problema de Yamabe no compacto", que pregunta: ¿Es cierto que en cada variedad de Riemannian completa suave ( M , g ) que no es compacta, existe una métrica que es conforme a g , tiene una curvatura escalar constante y también es completa? La respuesta es no, debido a los contraejemplos dados por Jin (1988) . Se conocen varios criterios adicionales bajo los cuales se puede demostrar que existe una solución al problema de Yamabe para una variedad no compacta (por ejemplo, Aviles y McOwen (1988) ); sin embargo, la obtención de una comprensión completa de cuándo se puede resolver el problema en el caso no compacto sigue siendo un tema de investigación.
Ver también
Referencias
Artículos de investigación
- Aubin, Thierry (1976), "Ecuaciones différentielles non linéaires et problème de Yamabe concernnant la courbure scalaire", J. Math. Puras Appl. , 55 : 269–296
- Avilés, P .; McOwen, RC (1988), "Deformación conforme a curvatura escalar negativa constante en variedades de Riemann no compactas", J. Differ. Geom. , 27 (2): 225–239, doi : 10.4310 / jdg / 1214441781 , MR 0925121
- Jin, Zhiren (1988), "Un contraejemplo del problema de Yamabe para variedades completas no compactas", Lect. Notas de matemáticas. , Lecture Notes in Mathematics, 1306 : 93–101, doi : 10.1007 / BFb0082927 , ISBN 978-3-540-19097-4
- Lee, John M .; Parker, Thomas H. (1987), "El problema de Yamabe" , Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense , 17 : 37–81, doi : 10.1090 / s0273-0979-1987-15514-5.
- Obata, Morio (1971), "Las conjeturas sobre las transformaciones conformes de las variedades de Riemann", J. Geometría diferencial , 6 : 247-258, doi : 10.4310 / jdg / 1214430407 , MR 0303464
- Schoen, Richard (1984), "Deformación conforme de una métrica de Riemann a una curvatura escalar constante", J. Differ. Geom. , 20 (2): 479–495, doi : 10.4310 / jdg / 1214439291
- Trudinger, Neil S. (1968), "Observaciones sobre la deformación conforme de las estructuras de Riemann en variedades compactas" , Ann. Norma de la Scuola. Sorber. Pisa (3) , 22 : 265–274, MR 0240748
- Yamabe, Hidehiko (1960), "Sobre una deformación de estructuras riemannianas en variedades compactas" , Osaka Journal of Mathematics , 12 : 21–37, ISSN 0030-6126 , MR 0125546
Libros de texto
- Aubin, Thierry. Algunos problemas no lineales en geometría riemanniana. Springer Monografías en Matemáticas. Springer-Verlag, Berlín, 1998. xviii + 395 págs. ISBN 3-540-60752-8
- Schoen, R .; Yau, S.-T. Conferencias sobre geometría diferencial. Apuntes de conferencias preparados por Wei Yue Ding, Kung Ching Chang [Gong Qing Zhang], Jia Qing Zhong y Yi Chao Xu. Traducido del chino por Ding y SY Cheng. Con un prefacio traducido del chino por Kaising Tso. Actas de conferencias y notas de conferencias sobre geometría y topología, I. International Press, Cambridge, MA, 1994. v + 235 págs. ISBN 1-57146-012-8
- Struwe, Michael. Métodos variacionales. Aplicaciones a ecuaciones diferenciales parciales no lineales y sistemas hamiltonianos. Cuarta edición. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. Una serie de encuestas modernas en matemáticas [Resultados en matemáticas y áreas relacionadas. 3ra Serie. Una serie de encuestas modernas en matemáticas], 34. Springer-Verlag, Berlín, 2008. xx + 302 págs. ISBN 978-3-540-74012-4